Prawdopodobieństwo warunkowe
- przestrzeń probabilistyczna
Wyróżniamy zdarzenie
Określamy miarę
Twierdzenie:
Odwzorowanie jest miarą unormowaną.
Lemat:
a)
b) ff[1]
gdzie
Dowód lematu:
Pokażemy dwa zawierania ( „Í” ).
W drugą stronę mamy:
b)
Ponieważ zbiory te są rozłączne to ich podzbiory są rozłączne
Dowód twierdzenia:
1. Ponieważ to
2.f)
3. f
4.
Miarę nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym, a liczbę prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B.
Definicja:
Mówimy, że zdarzenia tworzą zupełny układ zdarzeń jeżeli:
1. Û zdarzenia wyczerpują wszystkie możliwości
2. Zdarzenia są parami rozłączne : f dla gdzie
3.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:
Założenia:
- zupełny układ zdarzeń
- wybieramy zdarzenie B
Teza:
Dowód:
(*)
Przykład:
Telegraficzne przekazywanie informacji odbywa się za pomocą przekazywania znaków „·” i „¾” . Statyczne właściwości zakłóceń powodują, że błędy występują przeciętnie w nadawanych sygnałów „·” i w nadawanych sygnałów „¾”. Ogólny stosunek liczby „·” do „¾” jest równy . Oblicz prawdopodobieństwo, że przy przyjmowaniu „·” w rzeczywistości ją nadano.
- zdarzenie polegające na tym, że nadano „·”
- zdarzenie polegające na tym, że nadano „¾”
- zdarzenie polegające na tym, że odebrano „·”
- zdarzenie polegające na tym, że odebrano „¾”
Zdarzenia i tworzą zupełny układ zdarzeń.
a) Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeżeli:
b) Zdarzenia są niezależne jeżeli dla każdego podciągu zdarzeń
ciągu zachodzi:
Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to niezależne są także następujące pary zdarzeń:
Dwa zdarzenia wyłączające się A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy:
lub
Dla każdego zdarzenia A pary A i f oraz A i W stanowią pary zdarzeń niezależnych.
Przestrzeń probabilistyczna jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni , , ... , jeżeli:
1.
2. - ciało jest rodziną zbiorów generowaną przez zbiory postaci
Można pokazać, że tak określone jest miarą, co więcej dla dowolnych istnieje dokładnie jedna miara o powyższej własności. Miarę nazywamy iloczynem kartezjańskim miar .
Iloczyn kartezjański przestrzeni probabilistycznych , , ... , można stosować jako model dla ciągu doświadczeń, gdy modelem j- tego doświadczenia jest przestrzeń probabilistyczna oraz gdy doświadczenia przebiegają niezależnie od siebie, czyli wynik żadnego doświadczenia nie wpływa na wynik innych doświadczeń.
- prawdopodobieństwo sukcesu
- prawdopodobieństwo porażki
Powyższą przestrzeń nazywamy modelem przestrzeni probabilistycznej dla n- prób Bernoulliego.
Model n- prób Bernoulliego jest iloczynem kartezjańskim n jednakowych
przestrzeni probabilistycznych . Jest to przypadek, gdy są możliwe tylko dwa wyniki każdego z przeprowadzonych doświadczeń.
co można także zapisać w postaci:
k – liczba sukcesów
Przestrzeń probabilistyczna n- prób Bernoulliego jest modelem dla ciągu n doświadczeń takich, że w każdym doświadczeniu wybieramy określony wynik ze zbioru wszystkich wyników, nazywamy sukcesem i kodujemy 1, a uzyskanie każdego innego wyniku nazywamy porażką i kodujemy 0. Prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo w każdym doświadczeniu. Doświadczenia przebiegają niezależnie od siebie.
5
[1] f - zbiór pusty
slimalke