4szeregi funkcyjne.pdf

Szeregi funkcyjne

Niech X – zbiór,

 Y , ∣⋅∣  - przestrzeń unormowana

oraz niech ∀ n ∈ℕ f n : X  Y ,

S : X  Y .

Definicja

Ciąg  S n  n ∈ℕ sum cząstkowych S n : = k =1

f k nazywamy szeregiem funkcyjnym

∞

i oznaczamy n =1

f n .

Definicje zbieżności szeregu funkcyjnego

∞

1) n =1

f n nazywamy zbieżnym punktowo do funkcji S : ⇔ ciąg jego sum cząstkowych

S n zmierza punktowo do funkcji S na zbiorze X , tzn. S n n ∞

∞

2) n =1

f n nazywamy zbieżnym jednostajnie do funkcji S : ⇔ ciąg  S n  n ∈ℕ jest

zbieżny jednostajnie na zbiorze X do S , tzn. S n S

n ∞

∞

3) n =1

f n nazywamy zbieżnym bezwzględnie : ⇔ n =1

∥ f n ∥ jest zbieżny punktowo, tzn.

jest zbieżny punktowo ciąg  S n *  n ∈ℕ , gdzie S n * : = k =1

∥ f k ∥ .

Uwaga

1) n =1

∞

n =1

f n - zbieżny jednostajnie ⇒

f n jest zbieżny punktowo.

∞

2) n =1

n =1

f n - zbieżny bezwzględnie ⇒

f n jest zbieżny punktowo.

3) Nie ma bezpośredniego związku między zbieżnością bezwzględną i jednostajną.

- 1 -

∞

Twierdzenie (WK zbieżności szeregu)

1) n =1

∞

f n jest zbieżny punktowo (bezwzględnie) ⇒ f n n ∞

0 , tzn. funkcją graniczną

ciągu  f n  n ∈ℕ jest funkcja f ≡0

∞

2) n =1

f n jest zbieżny jednostajnie ⇒ f n 0

n ∞

Twierdzenie (WKW Cauchy'ego zbieżności szeregu funkcyjnego)

N i e c h X – zbi ó r

 Y , ∥⋅∥  - przestrzeń Banacha

oraz niech

f n : X  Y dla n ∈ℕ.

Wtedy

∞

∥ k = m

∥ 

1) n =1

f n - zbieżny punktowo na X ⇔ ∀ x ∈ X ∀0 ∃ n 0 ∀ n  m  n 0

f k  x 

∞

∥ k = m

∥ 

2) n =1

f n - zbi e ż ny j e d n osta j n ie na X ⇔ ∀0 ∃ n 0 ∀ n  m  n 0 ∀ x ∈ X

f k  x 

Twierdzenie (kryterium Weierstrassa)

Niech X – zbiór

 Y , ∥⋅∥  - przestrzeń Banacha

oraz niech

f n : X  Y dla n ∈ℕ.

Jeśli

∞

∀ n ∈ℕ ∀ x ∈ X ∥ f n  x  ∥ ≤ a n oraz n =1

a n − szereg zbieżny,

∞

n =1

f n − zbieżny bezwzględnie i jednostajnie.

Dowód

1) Sprawdzamy WKW Cauchy'ego zbieżności jednostajnej:

∥ k = m

∥  .

∀0 ∃ n 0 ∀ n  m  n 0 ∀ x ∈ X

f k  x 

- 2 -

N i e c h 0 oraz n i e ch k = m

a k  . W t e d y

∥ k = m

∥ ≤ k = m

∥ f k  x  ∥ ≤ k = m

f k  x 

a k  .

∞

Ponieważ szereg n =1

ℝ− zupełna

ciąg S n = k =1

a n jest zbieżny ⇒

a n spełnia warunek Cauchy'ego ⇒

⇒ ∃ N : ∀ n  m  N ∣ S n − S m −1 ∣ ⇔ ∃ N : ∀ n  m  N k = m

a k 

∥ k = m

∥ .

Niech n 0 : = N. Wtedy ∀ n  m  n 0

f k  x 

∞

Zatem k = m

f k jest zbieżny jednostajnie.

∞

2) Aby sprawdzić czy n =1

f n jest zbieżny bezwzględnie, wystarczy zbadać zbieżność

∞

punktową szeregu n =1

∥ f n ∥ .

Niech x ∈ X . Wtedy

a n − zbieżny }

∥ f n  x  ∥ ≤ a n

∞

na podstawie kryt. porównawczego

⇒

n =1

∥ f n  x  ∥ − zbieżny

n =1

∞

Zatem ∀ x ∈ X szereg n =1

∥ f n  x  ∥ jest zbieżny ⇒ n =1

f n − zbieżny bezwzględnie.



Uwaga

∞

Szereg n =1

a n występujący w twierdzeniu Weierstrassa nazywamy majorantą liczbową

∞

szeregu funkcyjnego n =1

f n .

Przykład*

Zbadać zbieżność szeregu funkcyjnego n =1

∞

x n dla x ∈ℝ.

Musi być spełniony WK zbieżności punktowej ∥ x n ∥=∣ x ∣ n n ∞ 0 , co zachodzi, gdy | x | 1 .

- 3 -

∞

Wtedy

S n  x = x  x 2  x 3  x n = x 1− x n 

1− x

więc

x 1− x n 

1− x = x

∞

lim

n ∞

S n  x = lim

n ∞

1− x ⇒ n =1

x n − zbieżny dla x ∈−1 ; 1.

Zatem D p =−1 ; 1.

Badamy czy zachodzi WK zbieżności jednostajnej:

d sup  x n ; 0 n ∞

∞

x ∈−1 ; 1 ∣ x n ∣ =1

⇒ szereg n =1

x n nie jest zbieżny jednostajnie

n ∞

na przedziale −1 ; 1 .

Niech 0 r 1 . Wykażemy, że n =1

∞

x n

jest zbieżny jednostajnie w [− r ; r ].

Niech x ∈[− r ; r ]. Wtedy

| x n | ≤ r n , r 1

}

∞

kryt Weierstrassa

∞

⇒

n =1

x n − zbieżny jednostajnie w [− r ; r ] ⇒

n =1

r n − zbieżny

∞

⇒ n =1

x n − zbieżny niemal jednostajnie w (-1;1).

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu n 1

∞

sin nx

n 2 .

Zauważmy, że sin nx

n 2 ≤ 1

n 2 dla n ∈ℕ.

∞

sin nx

Ponieważ szereg n =1

n 1

n 2 będący majorantą szeregu

n 2 jest zbieżny, więc na

∞

sin nx

podstawie kryterium Weierstrassa, n 1

n 2 jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie w ℝ.

Konsekwencją twierdzeń o ciągłości funkcji granicznej oraz o przejściach do granicy przy

różniczkowaniu i całkowaniu ciągów funkcyjnych są następujące twierdzenia:

- 4 -

d sup  x n ; 0= sup

Twierdzenie (o ciągłości sumy szeregu)

Niech X – przestrzeń metryczna

Y – przestrzeń unormowana

∀ n ∈ℕ f n : X  Y

f n ∈ C  X 

} ⇒ S ∈ C  X 

∞

oraz n =1

f n - zbieżny jednostajnie do sumy S na X

Twierdzenie (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego)

} ⇒ ∀ x ∈ I  n =1

∞



∞

= n =1

 f' n  x   ,

f n  x 

n =1

f n − zbieżny punktowo na I

∞

n =1

f n ' − zbieżny jednostajnie na I

czyli szereg można różniczkować „wyraz po wyrazie”.

Dowód

Twierdzenie jest wnioskiem z twierdzenia o przejściu do granicy przy różniczkowaniu

ciągu funkcyjnego.



Przykład

∞

sin nx

} ⇒

n =1

n 3 − zbieżny nawet jednostajnie na I ⊂ℝ

dx  sin nx

 = cos nx

 n =1



tw. o różn. szer. f.

∞

sin nx

n 3

= n =1

cos nx

n 2

n 3

n 2

∞

cos nx

n =1

n 2 − zbieżny jednostajnie

Twierdzenie (o całkowaniu szeregu funkcyjnego)

} ∀ x ∈ I ∫ x 0 x [ n =1

∞

] dx = n =1

∞

[ ∫ x 0 x f n  x  dx ] ,

f n  x 

∞

n =1

f n − zbieżny jednostajnie na I

czyli szereg można całkować „wyraz po wyrazie”.

- 5 -

Niech przedział I ⊂ℝ

∀ n ∈ℕ f n : I ℝ ,

f n ∈ D  I 

∞

Niech I ⊂ℝ

∀ n ∈ℕ f n : I ℝ ,

x 0 ∈ I

f n − całkowalna na I

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: