4. 1.CZYM SĄ LICZBY ZESPOLONE. OKREŚL LICZBĘ „i”.
LICZBĄ ZES[POLONĄ NAZYWAMY LICZBĘ „ż” W POSTACI
Ż =A + Bi
GDZIE „A” ORAZ „B” SĄ DOWOLYMI LICZBAMI RZECZYWISTYMI , ZAŚ „i” LICZBĄ, KTÓREJ i2=-1.
LICZBĘ „i” NAZYWAMY JEDNOSTKĄ UROJONĄ ; LICZBĘ „A” NAZYWAMY CZĘŚCIĄ RZECZYWISTĄ LICZBY ZESPOLONEJ I OZNACZAMY A=REŻ ; LICZBĘ „B” NAZYWAMY CZĘŚCIĄ UROJONĄ I OZNACZAMY B=IMŻ
2.ARGUMENT I POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA.
DLA KAŻDEJ LICZBY ZESPOLONEJ Ż¹0 ISTNIEJE DOKŁADNIE JEDNA TAKA LICZBA jÎ(-p,p), ŻE :
Ż = |Ż|(COSj+iSINj)
COSj = A/|Ż|; SINjB/|Z|
POSTAĆ Ż = |Ż|(COSj+iSINj) LICZBY ZESPOLONEJ „Ż” GDZIE jÎR NAZYWAMY POSTACIĄ TRYGONOMETRYCZNĄ, A LICZBE „j” NZYWAMY ARGUMENTEM LICZBY ZESPOLONEJ „Ż” I OZNACZAMY SYMBOLEM ARG Ż.
JEŻELI ż¹0 ; jÎ(-p,p), TO LICZBĘ „j” NAZYWAMY ARGUMENTEM GŁÓWNYM LICZBY „Ż” I OZNACZAMY arg ż.
3.TWIERDZENIE O ILOCZYNIE I ILORAZIE LICZB ZESP.
JEŚLI Ż1 = |Ż1| (COSj1 + iSINj1);Ż2 = |Ż2|(COSj2+iSINj2), TO:
Ż1Ż2 = |Ż1| |Ż2| (COS(j1 + j2) + iSIN(j1 + j2 ));
ORAZ JEŻELI Ż2¹0 , TO:
Ż1/Ż2 = |Ż1| / |Ż2| (COS(j1 - j2) + iSIN(j1 - j2 ));
4. WZÓR DE MOIVERE’A.
JEŚLI Ż = |Ż|(COSj+iSINj), TO DLA KAŻDEJ LICZBY nÎN : Żn = |Ż|n(COSnj+iSINnj),
5. POJĘCIE PIERWIASTKA
JEŚLI nÎN, TO PIERWIASTKIEM „n”-TEGO STOPNIA Z LICZBY ZESPOLONEJ „Ż” NAZYWAMY KAŻDĄ TAKĄ LICZBĘ ZESPOLONĄ „W”, ŻE : „W” = Ż. DLA KAZDEJ LICZBY ZESPOL. Ż¹0 ISTNIEJE DOKŁADNIE „n” RÓŻNYCH PIERWIASTKÓW „n” TEGO STOPNIA Z LICZBY ZESP. „Ż”, SĄ NIMI :
kÎ{0,1,..,n-1} GDZIE j ARGŻ
6. DLA KAŻDYCH LICZB ZESPOLONYCH W,Ż:
a)Ż =Ż
b)W + Z = W + Z , W Z = W Z
c) W - Z = W - Z , (W/R) = W/Z
d) |Ż| ³ 0 , |Ż| = 0 óŻ ¹ 0
e) |Ż| = |-Ż| = |Ż|
f) |W+Ż| £ |W| + |Ż| -NIEROWNOŚĆ TRÓJKĄTA.
g) REŻ £ |Ż| ; IMŻ £ |Ż|
h) (|W| - |Ż| ) £ |W - Ż|
i) |WŻ| = |W| |Z|
3.FUNKCJE
1.ILOCZYN KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW
JEŚLI X i Y SĄ ZBIORAMI, TO SYMBOLEM XY OZNACZĆ BĘDZIEMY ZBIÓR WSZYSTKICH PAR <x,y>, ŻE xÎX; yÎY, ZBIÓR TEN NAZYWAMY ILOCZYNEM KARTEZJAŃSKIM ZBIORÓW X i Y
<x,y>Î X´Y ó xÎX Ù yÎY
<x,y>Ï X´Y ó xÏX Ù yÏY
2. FUNKCJA
ZŁÓŻMY, ZE X i Y SĄZBIORAMI. ZBIÓR fÌ X´Y NAZWYWAMY FUNKCJĄ OKREŚLONĄ NA ZBIORZE X I PRZYJMUJĄCĄ WARTOŚCI W ZBIORZE Y ó, GDY DLA KAŻDEGO x ÎX ISTNIEJE DOKŁADNIE JEDEN TAKI PUNKT yÎY, ŻE <x,y>Î f.
3. ZACIŚNIĘCIE (RESTRYKCJA) FUNKCJI.
JEŚLI f: X®Y ORAZ AÌX, TO FUNKCJĘ: A®Y OKREŚLAMY WZOREM f¤A(X) = f(x) NAZYWAMY ZACIŚNIĘCIEM FUNKCJI „f” DO ZBIORU „A”.
4. FUNKCJA RÓŻNOWARTOŚCIOWA:
FUNKCJĘ f: X®Y NAZYWAMY RÓŻNOWARTOŚCIOWĄ f: X®Y
ó GDY
5. FUNKCJA ODWROTNA
JEŚLI f: X®Y, TO FUNKCJĘ f -1: Y®X OKREŚLONĄ WZOREM:
x = f -1(y) Û y = f(x)
DLA KAŻDEGO xÎX i yÎY NAZYWAMY FUNKCJĄ ODWROTNĄ DO FUNKCJI „f”.
6. ZŁOŻENIE FUNKCJI
JEŚLI f:X®Y ; g:Y®Z, TO FUNKCJĘ: g·f:X®Z OKREŚLONĄ WZOREM :
(g · f) (x) = g ( f(x) )
NAZYWAMY ZŁOŻENIEM FUNKCJI
a) JEŚLI f:X®Y , g:Y®Z , h:Z®T , TO :
h · (g · f) = (h · g) ·f
b) JEŚLI f:X®Y , g:Y®Z, TO:
g · f: X®Z
c) JEŚLI f:X®Y , g: Y®Z, TO:
d) JEŚLI f: X®Y, g: Y®Z, TO:
g · f: X®Z , (g · f)-1 = f -1 · g -1
7. FUNKCJA „na”
JEŚLI f: X®Y, TO ZAMIAST
PISZEMY :
„f: X®Y”
8. MACIERZE I WYZNACZNIKI
1. CO TO JEST MACIERZ.
JEŚLI M i N SĄ LICZBAMI NATURALNYMI, TO FUNKCJĘ A:{1,...,N}´{1,...,N}®K, NAZYWAMY MACIERZĄ (PROSTOKĄTNĄ) NAD CIAŁEM K O M-WIERSZACH I N-KOLUMNACH. OZNACZAMY JĄ PRZEZ
[aij]M´N
2. WYZNACZNIK.
JEŚLI [aij]N´N Î N (K), TO LICZBĘ DET [aij] OKREŚLONĄ WZOREM :
Det [aij]N´N = å (sgns)as(1)1× as(N)N
NAZYWAMY WYZNACZNIKIEM MACIERZY JEDNOSTKOWEJ (DOWOLNEGO STOPNIA ) JEST RÓWNY JEDEN Det I =1.
a) JEŚLI MACIERZ „B” POWSTAŁA Z MACIERZY KWADRATOWEJ „A” PRZEZ PRZESTAWIENIE W NIEJ DWÓCH KOLUMN TO:
Det B = - Det A
b) JEŚLI DWIE KOLUMNY MACIERZY KWADRATOWEJ SĄ LINIOWO ZALEŻNE, TO WYZNACZNIK MUSI BYĆ ZEREM:
DET A = 0
c) TWIERDZENIE COUCHYE’GO O WYZNACZNIKU:
JEŚLI A,B SĄ MACIERZAMI KWADRATOWYMI STOPNIA, TO :
Det (AB) = (Det A) (Det B)
3. MINOR
W DANEJ MACIERZY „A” SKREŚLAMY PEWNE WIERSZE I PEWNE KOLUMNY TAK, ABY ELEMENTY NIE SKREŚLONE UTWORZYŁY MACIERZ KWADRATOWĄ „B”. JEŚLI „B” JEST MACIERZĄ STOPNIA „N” TO WYZNACZNIK Det B NAZYWAMY MINOREM STOPNIA „N” MACIERZY.
stivi7