MatematykaPodrecznik.pdf

(3029 KB) Pobierz
MATEMATYKA
Zbiory i odwzorowania
2
Liczby zespolone
4
4
Macierze, wyznaczniki, układy równan liniowych
6
6
Algebra liniowa
2
2
Wektory w przestrzeni. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni
6
6
Ci agi i szeregi liczbowe
4
4
Przestrzen metryczna
2
Rachunek rózniczkowy funkcji jednej zmiennej
6
8
Rachunek rózniczkowy funkcji wielu zmiennych
8
6
Całka nieoznaczona
6
6
Całka oznaczona
6
6
Równania rózniczkowe zwyczajne
8
8
Prace kontrolne
4
60 60
1
976088733.010.png
1. ZBIORY I ODWZOROWANIA
MATEMATYKA
1Zbioryiodwz rowana
1.1 Liczby naturalne i zasada indukcji zupełnej
Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4,...}
oraz naturalne uporz adkowanie tego zbioru, w którym po kazdej liczbie naturalnej n nast epuje
liczba naturalna n+1,sa poj eciami pierwotnymi. Wszystkie własnosci liczb naturalnych
wynikaj ˛ azkilkuwłasnosci podstawowych, które przyjmuje si e bez dowodu jako aksjomaty
teorii liczb naturalnych. Do aksjomatów tych nalezy zasada indukcji zupełnej,która
formułuje twierdzenie:
Twierdzenie 1.1 Jezeli W jest własnosci aokreslon awzbiorzeN itaka, ze:
1. liczba 1 ma własnosc W,
2. dla kazdej liczby naturalnej n prawdziwa jest implikacja:
jezeli n ma własnosc W,ton+1ma własnosc W
to kazda liczba naturalna ma własnosc W.
Wykazemy, ze dla wszystkich liczb naturalnych i nie mniejszych od 5 zachodzi nierównosc
2 n >n 2
(1)
W tym celu udowodnimy, ze funkcja f (n)=2 n −n 2 przyjmuje wartosci dodatnie dla
wszystkich n naturalnych nie mniejszych od 5.Dlan = n 0 =5mamy f (n 0 )=f (n)=
32−25 > 0.Mamywykazac, ze dla n≥ 5 prawdziwa jest implikacja
f (n) > 0 ⇒f (n+1)> 0
W wyniku przekształcen otrzymujemy
f (n+1) = 2 n+1 −(n+1) 2 =2· 2 n −n 2 −2n−1=
=2· 2 n −2n 2 +
¡
n 2 −2n−1
¢
¡
¢
¡
¢
2 n −n 2
n 2 −2n−1
=2
+
=
=2f (n)+(n−3) (n+1)+2
Wida ´ cstad, ze dla n≥ 5 spełniona jest nierównos ´ c(1).
Pot eg e a n owykładniku n naturalnym i podstawie a dowolnej definiujemy indukcyjne za
pomoc arównosci:
1. a 1 = a,
2. a n+1 = a · a n dla dowolnego n naturalnego.
Zpowyzszych równosci wynika, ze a 2 = a·a, a 3 = a·a·a itd. Mozemy to wyrazi ´ cjednym
wzorem
a n = a · a · a · ... · a
|
{z
}
n razy
Uwaga 1.1 W zbiorze liczb naturalnych dodawanie i mnozenie s a działaniami wewn etrz-
nymi ikazde z tych działa ´ njestł aczne. Zatem N jest półgrup azewzgledu na dodawanie i
półgrup azewzgledu na mno zenie.
2
976088733.011.png
MATEMATYKA
1. ZBIORY I ODWZOROWANIA
1.2 Liczby całkowite i liczby wymierne
Zbiór liczb całkowitych
Z ={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
składa si ˛ ez:
1. liczb całkowitych dodatnich +1, +2, +3,...,któreuwazamy za identyczne z liczbami
naturalnymi 1, 2, 3,...,
2. liczb całkowitych ujemnych −1, −2, −3,.. ,któresa liczbami przeciwnymi do liczb
naturalnych,
3. liczby zero 0, która jest liczb acałkowit aneutraln˛a(anidodatnia, ani ujemn a).
Dwie liczby nazywamy liczbami wzajemnie przeciwnymi, jezeli ich suma jest zerem. Liczb e
przeciwn ˛adon oznaczamy −n, a liczb ˛eprzeciwn˛ado−n oznaczamy −(−n)=n.Liczba
przeciwn a do zera jest zero.
Uwaga 1.2 W zbiorze liczb całkowitych dodawanie, odejmowanie i mnozenie s a działaniami
wewn etrznymi.
Liczb awymierna nazywamy liczb e, któr amozna przedstawi ´ cwpostaciułamka zwykłego
m
n
n 6=0
którego licznik m jest dowoln a liczb ˛acałkowit a, a mianownik n jest liczb ˛acałkowit ˛arózn a
od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q.Zamia t m
n piszemy cz esto m/n. Liczb e
całkowit a m utozsamiamy z ułamkiem m
1 .
Przedstawienie liczby wymiernej w postaci ułamka zwykłego jest mozliwe na nieskonczenie
wiele sposobów, bowiem
m
n = km
k 6=0
kn
Ułamek m
n nazywamy skróconym, jezeli jego licznik i mianownik nie maj a wspólnego
podzielnika, a mianownik jest liczb acałkowit adodatnia.
Uwaga 1.3 W zbiorze liczb wymiernych dodawanie, odejmowanie, mnozenie i dzielenie s a
działaniami wewn etrznymi.
Mozemy teraz rozszerzy ´ cdefinicj ˛ epotegi na wykładnik zero i wykładnik całkowity ujemny
dla dowolnej podstawy niezerowej
a 0 =1 a
−n =1/a n
dla a 6=0
3
976088733.012.png
1. ZBIORY I ODWZOROWANIA
MATEMATYKA
1.3 Liczby rzeczywiste
1.3.1 Liczby niewymierne
Wsród wielkosci rozwazanych w geometrii s ˛atakie,któreniedaj˛asi˛ewyraz ´czapomoca
liczb wymiernych. Do wielkosci tych nalez a:
1. pole okr egu o promieniu 1,
2. długos´cprzekatnej kwadratu o boku jednostkowym,
3. długos ´ ckrawedzi szescianu o obj etosci równej 10 itp.
Dla wyrazenia tych wielkosci rozszerzono poj ecie liczby wprowadzaj ac liczby niewymierne.
Poszczególne liczby niewymierne s a dane jako pierwiastki pewnych równan, jako granice
pewnych ci agów lub za pomoc ainnychwarunków.Uwazamy, ze liczba niewymierna jest przez
dany warunek okreslona, jezeli warunek ten pozwala o kazdej liczbie wymiernej rozstrzygn ac
czy jest mniejsza, czy wi eksza od danej liczby niewymiernej. Warunek ten rozdziela zbiór liczb
wymiernych na dwie klasy: doln ˛aigórna. Mówimy, ze liczba niewymierna jest przekrojem
zbioru liczb wymiernych. Jednoczesnie warunek ten pozwala wyznaczy ´ cprzyblizenie wymierne
danej liczby niewymiernej z dowolnie małym bdem. Zilustrujemy to opisem.
Długosc x kraw edzi szescianu o obj etosci 10 jest liczb a wyznaczon a przez warunek x 3 =10.
Okazuje si e, ze szescian dowolnej liczby wymiernej jest albo wi ekszy albo mniejszy od tej
wartosci. Wówczas zaliczamy dan a liczb ˛ ewymierna d o klasy górnej lub dolnej. Jest to
przekrój zbioru liczb wymiernych wyznaczaj acy liczb e
√
3
10.
Sprawdzenie
Klasa Przekrój Klasa
Sprawdzenie
warunku
dolna
górna
warunku
2 3 =8
2.1 3 =9.261
2.15 3 =9.938375
3 3 =27
2.2 3 =10.648
2.16 3 =10.077696
2
2.1
2.15
3
2.2
2.16
√
...
...
3
10
...
...
√
10 zbłedem
m nie jszym od 0.01.Wpowyzszy sposób mozemy wyznaczy ´ cprzyblizenie wymierne liczby
3
Tak wi ec liczby wymierne 2.15 i 2.16 s aprzyblizeniami liczby niewymiernej
3
√
10 zbłedem dowolnie małym.
1.3.2 Przekrój Dedekinda
Definicja 1.1 Podział zbioru liczb wymiernych na dwa podzbiory A, B niepuste i takie, ze
1. kazda liczba wymierna nalezy do A lub do B,
2. ka ˙ zdaliczbawymiernanalez aca do A jest mniejsza od kazdej liczby wymiernej nalez acej
do B
nazywamy przekrojem zbioru liczb wymiernych.
Nie jest mozliwe, aby w klasie A istniałaliczbanajwieksza a iabyjednoczesnie w klasie B
istniała liczba najmniejsza b,gdy ˙ zwtedysrednia arytmetyczna nie mogłaby naleze´cdozadnej
4
976088733.013.png 976088733.001.png 976088733.002.png 976088733.003.png
MATEMATYKA
1. ZBIORY I ODWZOROWANIA
zklasA, B iwarunek1niebyłby spełniony. Fakt ten wyrazamy wówi ac: wzbiorzeliczb
wymiernych nie ma skoków.
Jest mozliwe, ze w klasie A istnieje liczba najwi eksza c,awklasieB nie ma liczby
najmniejszej, lub odwrotnie, w klasie B istnieje liczba najmniejsza c,awklasieA nie ma
liczby najwi ekszej. Wówczas mówimy, ze przekrój zbioru liczb wymiernych wyznacza
liczb ˛ ewymierna c.
Jezeli w klasie A nie ma liczby najwi ekszej, ani w klasie B nie ma liczby najmniejszej,
to mówimy, ze przekrój ujawnia luk e w zbiorze liczb wymiernych oraz wyznacza liczb e
niewymiern a, która t ˛eluk˛ezapełnia.
Jednolite uj ecie liczb wymiernych i niewymiernych za pomoc a przekrojów wprowadził
Dedekind.
1.3.3 Liczby rzeczywiste
Wszystkie liczby wymierne i niewymierne (wszystkie przekroje Dedekinda) razem wzi ete
tworz a zbiór liczb rzeczywistych R. Przy wykonywaniu działan na liczbach rzeczywistych
p osłu guj em y si ˛eprzyblizeniami wymiernymi tych liczb. Pokazemy to na przykładzie sumy
3
√
√
2.Biorac przybli zenia dziesi etne tych liczb, dolne i górne, z błedem mniejszym od
0.01 idodajac je
10 +
√
2.15 <
3
10 < 2.16
√
1.41 <
2
< 1.42
√
√
3.56 <
3
10 +
2 < 3.58
otrzymujemy przybli zenia sumy z błedem mniejszym od 0.02.
Uwaga 1.4 W zbiorze liczb rzeczywistych R dodawanie, odejmowanie, mnozenie, dzielenie
(przez liczb ˛ erózn ˛ aodzera)orazpotegowanie przy wykładniku całkowitym s a działaniami
wewn etrznymi.
Definicja 1.2 Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia naturalnego n liczby rzeczywistej c
nazywamy liczb e rzeczywist a
√
x = n
c
(2)
która jest rozwi azaniem równania
x n = c
(3)
przy zastrzezeniu, ze jezeli n jest liczb a parzyst a, to x≥ 0 i c≥ 0.
Pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego liczby ujemnej nie istnieje,bowiemrównanie
(3) nie ma rozwi azania, gdy n jest pa rzyste, a c<0.J ez eli pier wia stek arytm et yczny is tniej e,
to jest okreslony jednoznacznie:
√
√
√
√
√ −8=−2, 4
√ −16−
n
0=0, n
1=1, 3
8=2, 3
16 = 2, 4
nie istnieje.
Definicja 1.3 Pot eg e a m/n owykładniku wymiernym n ,gdziem jest liczb acałkowit a, a n
liczb a naturaln a, definiujemy wzorem
m
n = n
√
(4)
a
a m
dla a>0
ograniczaj ac si e do przypadku, gdy podstawa a jest liczb adodatnia.
5
976088733.004.png 976088733.005.png 976088733.006.png 976088733.007.png 976088733.008.png 976088733.009.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin