mech.pdf

(484 KB) Pobierz
Materia³y æwiczeniowe
Materiały ćwiczeniowe
do małego kursu chemii teoretycznej
Mechanika klasyczna
Opracowanie:
Piotr Petelenz, Barbara Pac
WSTĘP
Podstawowe definicje i równania
Stan mechaniczny układu n punktów materialnych (reprezentujących cząstki) w pewnej chwili
t o uważamy za znany, jeśli zadane są (w ustalonym przez nas układzie współrzędnych) wszystkie
składowe wektora wodzącego (położenia) r i ( t o ) i prędkości
d
dt
r
& () ( )
t
=
i
[1. .1]
0
tt
=
0
Więzy są to równania postaci:
ϕ ( , , ..., , )
x x
12
x t const
n
3
=
[1.W.2a]
ϕ ( , , , , , , ..., , , , )
x y z x y z
1112 22
x y z t const
nnn
=
[1.W.2b]
wyrażające związki pomiędzy różnymi współrzędnymi, które ze względu na konstrukcję badanego
układu muszą być spełnione w trakcie ruchu.
We współrzędnych uogólnionych q i równania więzów spełnione są tożsamościowo. Znajomość
tych współrzędnych wyznacza jednoznacznie stan mechaniczny układu. (W oparciu o wartości
współrzędnych uogólnionych i równania więzów jesteśmy w stanie odtworzyć wartości
współrzędnych kartezjańskich). Definiujemy też prędkości uogólnione
q &
i
q
i =
dq
i
[1.W.3]
dt
Liczba stopni swobody jest to liczba współrzędnych uogólnionych niezbędnych do opisu układu. Dla
ruchu w przestrzeni trójwymiarowej
f=3n-r ,
[1. .4]
gdzie n jest liczbą cząstek, zaś r liczbą więzów.
Istotnymi pojęciami są również: energia kinetyczna
∑
3
n
T
=
1
2
m ii
& x
2
[1.W.5a]
i
=
1
∑
n
T
=
1
2
m x y
i
( & & )
2
+
2
+
z
2
[1.W.5b]
i
i
i
i
=
1
i potencjalna V. Ta ostatnia zdefiniowana jest poprzez siły działające na cząstki ,
F i = -grad V i [1.W.6]
Równania ruchu pozwalają w oparciu o znajomość stanu mechanicznego układu w chwili t o
przewidzieć jego stan mechaniczny w dowolnej chwili t . Konieczna jest do tego znajomość mas
punktów materialnych (cząstek) i sił działających na cząstki.
W przypadku braku więzów, najprostsze w użyciu są równania ruchu Newtona
F = m &&
r
[1.W.7]
mx F
ii
&& =
x
my F
ii
&& =
y
mz F
ii
z
[1.W.8a,b,c]
Są to równania różniczkowe drugiego rzędu względem czasu. Ich rozwiązanie pozwala
wyznaczyć poszukiwaną zależność r i ( t ), przy wykorzystaniu znajomości stanu mechanicznego układu
w chwili t o (warunków początkowych) dla określenia stałych całkowania .
W obecności więzów znacznie wygodniejsze w użyciu są równania ruchu Lagrange’a
d
dt
∂
∂
& −=0
∂
∂
L
q
i=1,...,f
[1.W.9]
i
i
gdyż ich ogólna postać jest identyczna w dowolnych współrzędnych uogólnionych. W powyższym
wzorze
Lq q T V
i
(, & ) =−
i
[1.W.10]
2
r i
&
&& =
L
q
76118105.001.png
oznacza funkcję Lagrange’a . Funkcję tę potrafimy wyrazić przez prędkości i współrzędne uogólnione
wiedząc, jak te ostatnie wyrażają się przez współrzędne kartezjańskie.
Znajomość funkcji Lagrange’a pozwala zdefiniować pędy uogólnione
p
i
= ∂
∂ &
L
q
i=1,...,f
[1.W.11]
i
a przy ich pomocy funkcję Hamiltona
∑ &
1
f
Hp ii
i
=
−
[1.W.12]
=
Ta ostatnia dla układów zachowawczych ma sens energii całkowitej
H=T+V. [1.W.13]
W odróżnieniu od funkcji Lagrange’a, która jako zmienne niezależne ma współrzędne uogólnione i
prędkości uogólnione, funkcja Hamiltona wyrażona być musi przez współrzędne uogólnione i pędy
uogólnione. Zastosowanie w funkcji Hamiltona zmiennych lagranżowskich jest poważnym błędem i
może prowadzić do nonsensownych wyników.
Podobnie jak w przypadku równań Lagrange’a, rozwiązanie równań ruchu Hamiltona
∂
∂
H
p
= &
q
i
[1.W.14a]
i
∂
∂
H
q
=− &
p
i
i=1,...,f
[1.W.14b]
i
pozwala wyznaczyć stan mechaniczny układu w dowolnej chwili t . Wprawdzie (w przeciwieństwie do
równań Newtona i Lagrange’a) równania te są pierwszego rzędu względem czasu, z przyczyn
technicznych ich zastosowanie nie jest wygodnym sposobem rozwiązania tego zagadnienia. Natomiast
z uwagi na symetrię występowania w nim współrzędnej uogólnionej q i i pędu uogólnionego p i ,
formalizm hamiltonowski jest często zwany kanonicznym i jest szczególnie przydatny do
wyprowadzania ogólnych charakterystyk układu (jak np. całki ruchu , czyli wielkości w ruchu
zachowywane) bez konieczności rozwiązywania równań ruchu.
W tym celu często stosowana jest zależność
dF
dt
= +
{, } ∂
FH
∂
F
t
[1.W.15]
gdzie wielkość
∑ ∂
f
F
q
∂
∂
H
p
∂
∂
∂
∂
{, } (
=
∂
−
)
[1. .16]
i
=
1
i
i
i
i
nosi nazwę nawiasu Poissona .
Dla opisu układów drgających, w szczególności cząsteczek, definiowane są tzw. współrzędne
normalne . Są to takie współrzędne uogólnione, w których zarówno energia kinetyczna T , jak i energia
potencjalna V wyrażają się jako sumy członów kwadratowych. Współrzędne normalne konstruowane
są więc w taki sposób, aby z wyrażeń na T i V wyeliminować iloczyny mieszane różnych
współrzędnych (np. x 1 x 2 ) i różnych prędkości (np. v 1 v 2 ). W rezultacie, równanie ruchu dla danej
współrzędnej normalnej (będącej kombinacją liniową kartezjańskich współrzędnych atomów) nie
zawiera żadnych członów, które zależałyby od innych współrzędnych; w przybliżeniu harmonicznym,
jego rozwiązanie opisuje ruch wszystkich (na ogół) atomów cząsteczki odbywający się w jednej fazie,
z określoną częstością.
3
H
q
F
p
FH
76118105.002.png 76118105.003.png
PRZYKŁADY
Zadanie 1
Dla cząsteczki wody znajdującej się w sytuacjach opisanych w punktach a-c :
I. określić liczbę więzów i zapisać ich równania
II. określić całkowitą liczbę stopni swobody oraz liczbę stopni swobody translacji, rotacji i oscylacji.
Sytuacje:
a) cząsteczka wody porusza się swobodnie;
b) cząsteczka wody jest zaadsorbowana fizycznie na płaskiej powierzchni katalizatora; tzn. wszystkie
atomy mają stały kontakt z ta powierzchnia ale mogą się po niej poruszać;
c) cząsteczka wody jest zaadsorbowana trzema atomami na powierzchni katalizatora; atom tlenu jest
zaadsorbowany chemicznie, a atomy wodoru– tylko fizycznie.
i ,y i ,z i ), ( i=1,2,3 ). Cząsteczka wody zbudowana jest z trzech atomów; w
trakcie jej ruchu zmianie ulegają więc wartości 9 współrzędnych kartezjańskich (rys.1). Liczba tych
współrzędnych jest w tym przypadku równocześnie liczbą stopni swobody cząsteczki; nie są bowiem
narzucone żadne warunki (więzy), które ograniczałyby możliwości położenia atomów względem
siebie (wzór [1.W.4]).
r
O
(x 3 ,y 3 ,z 3 )
H
(x 1 ,y 1 ,z 1 )
H
(x 2 ,y 2 ,z 2 )
Rys.1
Ruch dowolnej cząsteczki możemy rozpatrywać jako złożenie ruchu translacyjnego (ruchu środka
masy), rotacyjnego i oscylacyjnego.
Całkowita liczba stopni swobody cząsteczki wody jest równa 9; zarówno do opisu ruchu środka masy
jak i do opisu ruchu rotacyjnego cząsteczki potrzebne są 3 współrzędne uogólnione. W takim razie
opis ruchu oscylacyjnego będzie wymagał użycia 9-6 czyli 3 współrzędnych uogólnionych.
Zatem:
liczba stopni swobody cząsteczki wody: 9
liczba więzów 0
liczba stopni swobody translacji: 3
liczba stopni swobody rotacji: 3
liczba stopni swobody: 3
Zauważmy, ze środek masy cząsteczki nie bierze udziału w ruchu rotacyjnym i oscylacyjnym. Zatem
użycie do opisu ruchu translacyjnego współrzędnych środka masy pozwala na odseparowanie tego
ruchu od ruchu rotacyjnego i oscylacyjnego.
4
Ad. a)
Opisując położenie danego atomu określamy wartości trzech współrzędnych kartezjańskich ( x i ,y i ,z i ), a
więc jeden wektor wodzący r ( x
76118105.004.png
Ad. b
Załóżmy, ze powierzchnia katalizatora, na której została zaadsorbowana cząsteczka wody jest
ustawiona prostopadle do osi z w kartezjańskim układzie współrzędnych. Z warunków zadania
wynika, ze w trakcie ruchu wartości współrzędnych z 1 , z 2 , z 3 nie będą ulegały zmianie. Można zatem
zapisać 3 równania więzów:
z 1 = z 2 = z 3 = const [1.1.1]
Liczba stopni swobody w tym układzie będzie zatem wynosić 9-3=6 (w trakcie ruchu będą się
zmieniały wartości współrzędnych x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 )
Cząsteczka może poruszać się tylko w płaszczyźnie, a zatem posiada dwa stopnie swobody translacji i
jeden stopień swobody rotacji. W takim razie opis ruchu oscylacyjnego będzie wymagał teraz użycia
6-3 współrzędnych uogólnionych.
Podsumowując:
liczba stopni swobody cząsteczki wody:
6
liczba więzów
3
liczba stopni swobody translacji:
2
liczba stopni swobody oscylacji:
1
Ad. c
Załóżmy, jak poprzednio, ze powierzchnia katalizatora, na której została zaadsorbowana cząsteczka
wody jest ustawiona prostopadle do osi z w kartezjańskim układzie współrzędnych. Pozostają więc w
mocy zapisane już poprzednio (wzór [1.1.1]) równania więzów. Dodatkowo jednak należy uwzględnić
założenie, ze atom tlenu został zaadsorbowany chemicznie, a więc nie może poruszać się po
powierzchni katalizatora. W takim razie:
x 3 =const, y 3 =const [1.1.2a,b]
Do opisu ruchu w układzie potrzebne są zatem współrzędne x 1 , y 1 ,x 2 , y 2 a więc układ ma cztery stopnie
swobody.
Chemiczna adsorpcja atomu tlenu wyklucza ruch translacyjny cząsteczki. Do opisu ruchu rotacyjnego
wystarczy (jak w przypadku b) jedna współrzędna uogólniona. W takim razie opis ruchu
oscylacyjnego będzie wymagał teraz użycia 4-1=3 współrzędnych uogólnionych.
Zatem:
liczba stopni swobody cząsteczki wody:
4
liczba więzów
5
liczba stopni swobody translacji:
0
liczba stopni swobody oscylacji:
1
5
liczba stopni swobody rotacji:
3
liczba stopni swobody rotacji:
3

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin