linearyzacja charakterystyk nieliniowych - uproszczenie modelu nieliniowego tak ze charakterystyke nieliniowa przybliza sie lokalnie w otoczeniu wybranego punktu (warunki: male odchylenia od tego punktu oraz powinna istniec pochodna w tym punkcie - brak skokow lub zalaman charakterystyki statycznej) funcje liniowe rozwija sie w szereg Taylora i pomija sie wyrazy nieliniowe metoda funkcji opisujacej - wykorzystuje zasade linearyzacji harmonicznej metoda funkcji opisujacej - badanie wlasnosci pewnego typu nieliniowych ukladow Funkcja opisujaca J(A) nieliniowego elementu nazywamy stosunek wartosci zespolonej amplitudy pierwszej harmonicznej odpowiedzi tego elementu wywolanej wymuszeniem sinusoidalnym do wartosci zespolonej amplitudy tego wymuszenia w stanie ustalonym B jfi B1+jC1 j -jpsi J(A) = - e = ------ = --- calka od 0 do 2pi z f(Asinpsi)e po dpsi E A piA funkcja ta charakteryzuje sie w sposob przyblizony wlasnosci elementu nieliniowego i jest odpowiednikiem transmitancji widmowej elementu liniowego metoda portretow fazowych (metoda plaszczyzny fazowej) - analizowanie wlasnosci nieliniowych ukladow linearyzacja harmoniczna - stabilnosc ukladu - (przypadek ukladu liniowego stacjonarnego o parametrach skupionych) rozwiazanie swobodne ukladu (przy niezerowych warunkach poczatkowych) pozostaje ograniczone w dowolnym czasie stabilnosc asymptotyczna - uklad nie tylko jest stabilny ale przy czasie dazacym do nieskonczonosci rozwiazanie swobodne dazy do zera punkt rownowagi stabilny globalnie - obszar stabilnosci jest nieograniczony stabilnosc punktu rownowagi w sensie Lapunowa - punkt rownowagi jest stabilny dla kazdego (dowolnie malego) obszaru o promieniu epsylon otaczajacego badany punkt rownowagi mozna znalezc taki obszar o promieniu delta(epsylon) ze trajektorie zaczynajace sie z punktow okreslonych warunkami poczatkowymi i lezacych wewnatrz obszaru o promieniu delta nie wychodza poza obszar o promieniu epsylon punkt stabilny asymptotycznie ponadto przy czasie dazacym do nieskonczonosci trajektorie daza do samego punktu rownowagi n n-1 kryterium Hurwitza - ans + an-1s + ... + a1s + a0 = 0 wszystkie pierwiastki tego rownania beda lezec w lewej polplaszczyznie plaszczyzny pierwiastkow jesli: ai > 0 i=0,1,2,...,n wszystkie wyznaczniki ponizszej macierzy > 0 _ _ | an-1 an 0 0 0 0 0 0 | | an-3 an-2 an-1 an 0 0 0 0 | | an-5 an-4 an-3 an-2 an-1 an 0 0 | | | | | | | | 0 0 0 a0 a1 a2 a3 a4 | | 0 0 0 0 0 a0 a1 a2 | | 0 0 0 0 0 0 0 a0 | |_ _| deltan = a0*deltan-1 kryterium Routha - badanie wspolczynnikow rownania charakterystycznego n n-1 ans + an-1s + ... + a1s + a0 = 0 ai > 0 i=1,2,...,n badanie siatki Routha an an-2 an-4 an-6 ... an-1 an-3 an-5 an-7 ... b1 b2 b3 b4 ... c1 c2 c3 c4 d1 d2 d3 d4 e1 e2 e3 e4 b,c,d,e - wspolczynniki |an an-2| |an an-4| |an an-6| |an-1 an-3| |an-1 an-5| |an-1 an-7| b1 = ------------ b2 = ------------ b3 = ------------- -an-1 -an-1 -an-1 |an-1 an-3| |an-1 an-5| |b1 b2 | |b1 b3 | c1 = ------------ c2 = ------------ -b1 -b1 wszystkie wspolczynniki lewej skrajnej kolumny tablicy Routha sa dodatnie w ukladzie niestabilnym wspolczynniki tej kolumny zmieniaja znak a liczba zmian ich znaku rowna jest liczbie pierwistkow lezacych w prawej polplaszczyznie plaszczyzny pierwiastkow jezeli jeden z otrzymamych wierszy ma wszystkie wspolczynniki zerowe wtedy tworzymy wielomian pomocniczy ktorego wspolczynnikami sa wspolczynniki ostatniego niezerowego wiersza tablicy Routha i zastepujemy zerowy wiersz wspolczynnikami pochodnej tego wielomianu wzgledem s jezeli jeden z otrzymanych wierszy ma wspolczynnik zerowy wtedy mnozymy cale rownanie charakterystyczne przez czynnik (s+a) gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia nie bedaca pierwistkiem rownania kryterium Michajlowa - rownanie charakterystyczne ukladu regulacji automatycznej n n-1 M(s) = ans + an-1 + ... + a1s + a0 = 0 posiadajece n pierwiastkow s1,s2,...,sn mozna zapisac M(s) = an(s-s1)(s-s2)...(s-sn) = 0 s=jw stad M(s) = an(jw-s1)(jw-s2)...(jw-sn) = 0 funkje M(jw) jako funkcje zmiennej zespolonej mozna zapisac w postaci jargM(jw) M(jw) = |M(jw)|e M(jw) = P(w) + jQ(w) Rownanie charakterystyczne ma wszystkie pierwiastki w lewej polplaszczyznie pierwiastkow jesli przyrost argumentu M(jw) przy zmianie pulsacji w od 0 do +oo wynosi n*pi/2 czyli pi delta arg M(jw) = n* -- 0<w<oo 2 n - stopien rownania charakterystycznego koniec wektora M(jw) zakresla na plaszczyznie zespolonej krzywa zwana hodografem M(jw) uklad bedzie stabilny jesli przy zmianie pulsacji w od 0 do +oo wektor M(jw) opisze w kierunku dodatnim kat n*pi/2 czyli jesli hodograf wektora M(jw) przechodzi kolejno przez n cwiartek ukladu wspolrzednych P(w) i Q(w) kierunek dodatni - przeciwny do kierunku ruchu wskazowek zegara metoda Nyquista badania stabilnosci - metoda czestotliwosciowa (takze doswiadczalna) kryterium stabilnosci Nyquista - uklad zamkniety otrzymany z danego ukladu otwartego jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa nie obejmuje punktu (-1,j0) kryterium Nyquista - badanie stabilnosci zamknietego ukladu regulacji automatycznej na podstawie przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej ukladu otwartego o 1 uklad otwarty jest stabilny (rownanie charakterystyczne posiada wszystkie pierwiastki w lewej polplaszczyznie plaszczyzny pierwiastkow) delta arg M0(jw) = n*pi/2 0<w<oo aby uklad zamkniety byl stabilny delta arg M(jw) = n*...
agh_mibm