rozd2.pdf

(236 KB) Pobierz
QPrint
2. DOWOLNA PRZESTRZEİ ZDARZEİ
ELEMENTARNYCH
2.1. Aksjomaty rachunku prawdopodobieıstwa. Przestrzeı
probabilistyczna
(mo-
Ňe to byę doĻwiadczenie zwiĢzane np. z mierzeniem temperatury) ma nieprzeliczalnie
wiele wynikw, gdyŇ wynikiem moŇe byę kaŇdy punkt odcinka. W doĻwiadczeniach
majĢcych skoıczony lub przeliczalny zbir wynikw (zdarzeı elementarnych) kaŇdy
zespþ wynikw przedstawiaþ zdarzenie, tak samo w naszym kursie bħdziemy okre-
Ļlaę zdarzenie w przypadku oglnym (kiedy zbir nie koniecznie jest zbiorem co
najwyŇej przeliczalnym), chociaŇ w przypadku tym nie kaŇdy podzbir naprawdħ
jest zdarzeniem w tym sensie, Ňe nie dla kaŇdego takiego podzbioru moŇliwe jest
przypisywanie pewnego prawdopodobieıstwa. Wynika to z istnienia tzw. zbiorw
niemierzalnych, w naszym kursie nie bħdziemy na to zwracaę uwagi.
W ciĢgu dalszym klasħ (zbir) podzbiorw zbioru (tworzĢcych tzw.
[
1
2
]
-
ciaþo), ktre sĢ zdarzeniami, bħdziemy oznaczaę literĢ .Co do okreĻlenia prawdo-
podobieıstwa dowolnego zdarzenia , to w przypadku nieprzeliczalnego zbioru
nie moŇemy go okreĻlię jako sumħ prawdopodobieıstw wszystkich zdarzeı elemen-
tarnych (elementw ), z ktrych skþada siħ , poniewaŇ bardzo czħsto zdarzenie to
skþada siħ ze zdarzeı elementarnych o zerowym prawdopodobieıstwie (w przypadku
zbioru nieprzeliczalnego zdarzeı elementarnych nie mamy prawa twierdzię, Ňe ánie-
przeliczalna sumaÑ zer takŇe jest zerem). Dlatego w przypadku oglnym naleŇy okre-
Ļlię model probabilistyczny inaczej niŇ w rozdziale 1, lecz w taki sposb, aby zbada-
ny przez nas wczeĻnie model dyskretny stanowiþ jego przypadek szczeglny.
Definicja 1. o
oo
ooo
,
. Tutaj oznacza zbir zdarzeı elementarnych doĻwiadczenia, a wydziela
klasħ zdarzeı (dla nas wystarczy jako wziĢę klasħ wszystkich podzbiorw zbioru
). ZauwaŇmy, Ňe elementem rodziny z koniecznoĻciĢ jest zbir .
(ono zachodzi z pewnoĻciĢ w kaŇ-
dym doĻwiadczeniu).
o.
o
o.
I oo
12
MoŇna þatwo wyobrazię sobie zadanie, w ktrym zbir wszystkich zdarzeı ele-
mentarnych jest nieprzeliczalny. Np. losowe rzucanie punktu na odcinek
;
Dla dokonania formalizacji jakiegokolwiek zadania probabilistycznego naleŇy
odpowiedniemu doĻwiadczeniu losowemu przypisaę pewnĢ przestrzeı mierzalnĢ
,
=
169132188.015.png 169132188.016.png
ZauwaŇmy, Ňe rodzina ma takie wþasnoĻci, Ňe jeŇeli
, to
= \
;
jeŇeli
1
, 2
,
...
, to
= U 1
i
= I 1
.
WprowadŅmy teraz pojħcie prawdopodobieıstwa zdarzeı.
Definicja 2. oooo o o P oo
o
,
P1. 0
P o
}
P
P3. }
{ =
}
{
oo
=
o
P U
=
P
=
=
P
{
}
(1)
=
=
1
1
Aksjomaty prawdopodobieıstwa P1, P2 i P3 nazywajĢ siħ aksjomatami Koþmo-
gorowa. Pierwszym prostym wnioskiem s aksjomatw P1 Î P3 jest rwnoĻę
0
}
=
+
+
+
...
P
{
}
=
1
=
P
}
+
P
{
}
+
P
{
}
+
...
,
P .
ýatwo moŇna dowieĻę, Ňe z addytywnoĻci przeliczalnej prawdopodobieıstwa
P3 wynika jego addytywnoĻę skoıczona, tj. dla rozþĢcznych parami zdarzeı
{ =
}
0
...,
,
zachodzi rwnoĻę
P
=
P
}
. (2)
=
1
=
1
ooooo
o P o P1 Î P3 o o
P
Definicja 3.
,
o
Przykþad 1. Niech doĻwiadczenie polega na losowym rzucaniu punktu w kwa-
,
,
[ × . Bħdziemy przez to rozumieę co nastħpuje. Zbiorem wszystkich
wynikw doĻwiadczenia jest tu kwadrat. Sþowa ádokonano doĻwiadczenieÑ oznacza-
jĢ, Ňe wybrano punkt
0
1
[
0
1
. Jako zdarzenie przyjmujemy tu wynik doĻwiadczenia
. Za prawdo-
podobieıstwo zdarzenia przyjmiemy pole figury . Jest jasne, Ňe wszystkie aksjoma-
ty sĢ tu speþnione. OtrzymaliĻmy tzw. rozkþad jednostajny na kwadracie (w tym sen-
sie, Ňe prawdopodobieıstwo trafienia rzuconego punktu w dowolny obszar kwadratu
13
{
P2. 1
1
, wszystkie zdarzenia takiego ciĢgu sĢ parami
rozþĢczne. Wwczas na mocy P2 i P3 mamy
P . Istotnie,
{ =
{
skĢd wynika, Ňe
1
drat
, gdzie jest pewnĢ figurħ pþaskĢ na pþaszczyŅnie takĢ, Ňe
169132188.017.png 169132188.018.png 169132188.001.png 169132188.002.png
o polu jest rwne i nie zaleŇy ani od poþoŇenia tego obszaru w kwadracie ani od
jego ksztaþtu).
2.2. Podstawowe wþasnoĻci prawdopodobieıstwa
Podamy teraz kilka podstawowych wþasnoĻci prawdopodobieıstwa wynikajĢ-
cych bezpoĻrednio z aksjomatw przedstawionych w p. 2.1.
1.
P . ZauwaŇmy, Ňe
{ =
}
0
P nie oznacza, Ňe z koniecznoĻciĢ =
{ =
}
0
.
2.
P
{
P
}
=
1
−
{
}
, gdyŇ
I oraz
=
.
+
=
+ .
WþasnoĻę ta nazywa siħ wþasnoĻciĢ monotonicznoĻci prawdopodobieıstwa. Ponie-
waŇ w danym przypadku
3.
o
P Wynika to stĢd, Ňe
{
P
}
{
}
P =
{
}
P
{
}
P
{
}
P = , wnioskujemy, Ňe jeŇeli
{
P
}
{
\
}
, to
P −
= .
4. ooo 1
}
P
{
}
P
{
}
P Wynika to z wþasnoĻci 3 i ak-
{
}
sjomatu P2.
5.
P
{
U
}
=
P
{
}
+
P
{
}
−
P
{
}
, gdyŇ
+
U
=
(
\
)
, natomiast
P −
\
}
= .
P
{
}
P
{
}
6.
P +
{
U
}
P
{
}
P
{
}
(wynika z wþasnoĻci 5). WþasnoĻę tħ moŇna uogl-
nię na przypadek skoıczonej alternatywy zdarzeı:
=
P U
P
}
.
=
1
1
7.
P U
=
P
{
}
−
P
{
}
+
P
{
}
−
...
+
=
1
=
1
<
<
<
+ .
Wynika to bezpoĻrednio z wþasnoĻci 5 i moŇe byę udowodnione za pomocĢ in-
dukcji matematycznej.
8.
=
(
−
1
−
1
P
{
1
...
}
P U
P
{
}
(bez dowodu).
=
1
1
2.3. Prawdopodobieıstwo warunkowe. NiezaleŇnoĻę zdarzeı
( , w schemacie kla-
sycznym jest rwne 3/8. Oznaczmy to zdarzenie literĢ . PrzypuĻęmy teraz, Ňe o wy-
niku doĻwiadczenia wiadomo dodatkowo, Ňe zaszþo zdarzenie
=
( ,
)
( ,
)
)
{liczba otrzymanych orþw jest nieparzysta}.
14
{
\
{
Zaczniemy od przykþadw. Niech doĻwiadczenie polega na trzykrotnym rzuca-
niu monetĢ symetrycznĢ. Prawdopodobieıstwo tego, Ňe orzeþ wypadnie dokþadnie
jeden raz, tj., Ňe zajdzie jedno ze zdarzeı
169132188.003.png 169132188.004.png
Jakie jest prawdopodobieıstwo zdarzenia ze wzglħdu na tħ dodatkowĢ infor-
macjħ? Zdarzenie skþada siħ z 4 zdarzeı elementarnych (
( ,
)
( ,
)
( ,
)
( ), natomiast zdarzenie skþada siħ z 3 wynikw zdarzenia . W ramach
schematu klasycznego jest rzeczĢ naturalnĢ przyjĢę, Ňe nowe prawdopodobieıstwo
zdarzenia jest rwne 3/4.
Rozpatrzmy jeszcze jeden, oglniejszy przykþad. Niech bħdzie dany schemat
klasyczny z wynikami elementarnymi. Niech zdarzenie skþada siħ z wynikw,
zdarzenie Î z wynikw, a zdarzenie zawiera wynikw. Jest rzeczĢ naturalnĢ
prawdopodobieıstwo zdarzenia przy warunku, Ňe zaszþo zdarzenie , okreĻlię w
sposb nastħpujĢcy:
)
P
{
}
=
=
=
P
{
}
,
P
{
}
gdyŇ
P
=
,
P
=
}
.
Przechodzimy teraz do okreĻlenia oglnego.
Definicja 4. o P
,
,
P oooo
oo
{ >
}
P =
{
}
P
{
}
P
{
}
P niekiedy takŇe moŇna okreĻlię (lecz w
inny sposb) prawdopodobieıstwo warunkowe zdarzenia przy warunku zajĻcia
zdarzenia .
ZauwaŇmy, Ňe w przypadku
{ =
}
0
Definicja 5.
P =
P
}
P
{
}
{
}
Podamy kilka wþasnoĻci podstawowych zdarzeı niezaleŇnych.
P oooo
{} {}
1.
{}
>
0
P = Wynika to bezpoĻrednio z definicji 6 i 7.
2. o
RzeczywiĻcie,
= .
3. 1
2
P =
}
P
\
}
=
P
{
}
−
P
{
}
=
P
{
}(
1
−
P
{
})
P
}
P
{
}
2
1
2
=
U
1
WþasnoĻę ta wynika z nastħpujĢcej rwnoĻci.
15
}
oo 0
{
P
{
{
{
169132188.005.png 169132188.006.png 169132188.007.png 169132188.008.png 169132188.009.png 169132188.010.png
P
{
(
1
U
2
)}
=
P
{
1
+
2
}
=
P
{
1
}
+
P
{
2
}
=
=
P
{
}(
P
{
1
}
+
P
{
2
})
=
P
{
}
P
{
1
U
2
}
Jak zobaczymy, ŇĢdanie by
1 jest tu istotne.
2
=
Przykþad 2. Niech zdarzenie oznacza wypadniħcie orþa w pierwszym z dwch
rzutw monetĢ symetrycznĢ, a zdarzenie Î wypadniħcie reszki w drugim rzucie.
Prawdopodobieıstwo kaŇdego z tych zdarzeı jest rwne 1/2. Prawdopodobieıstwo
iloczynu wskazanych zdarzeı jest, oczywiĻcie, rwne (schemat klasyczny)
P =
{
}
== . A zatem zdarzenia i sĢ niezaleŇne.
1
1
1
P
{
}
P
{
}
4
2
2
Definicja 6.
...,
, 1
oo
< ...
<
2 = oo
=
P I
=
P
}
=
1
NiezaleŇnoĻę parami zdarzeı nie wystarcza dla ich wzajemnej niezaleŇnoĻci. O
tym wskazuje nastħpujĢcy przykþad.
Przykþad 3 (Bernstejn). Rozpatrzmy nastħpujĢce doĻwiadczenie. Na pþaszczy-
znħ rzucamy symetryczny czworoĻcian, ktrego trzy Ļciany pomalowane sĢ odpo-
wiednio na czerwono, niebiesko i zielono, a czwarta Ļciana zawiera wszystkie trzy
kolory. Niech zdarzenie oznacza, Ňe przy rzucaniu czworoĻcianu na pþaszczyznħ
wypadþa Ļciana zawierajĢca czerwony kolor, zdarzenie Î Ňe wypadþa Ļciana o nie-
bieskim kolory, Î Ňe wypadþa Ļciana o kolory zielonym. PoniewaŇ kaŇdy kolor
znajduje siħ na dwch Ļcianach czworoĻcianu, wiħc w schemacie klasycznym mamy
2
}{ =
=
P
{
}
P
{
}
1
. Prawdopodobieıstwo iloczynu dowolnej pary tych zda-
P ), gdyŇ kaŇdy z kolorw wystħpuje
razem z innym kolorem tylko na jednej Ļcianie. To oznacza, Ňe zdarzenia , , sĢ
parami niezaleŇne, ale
41 = (np.
1
2
1
2
{ =
1
4
P
}{ =
=
1
4
P
{
}
P
{
}
P
{
}
1
8
.
1 wþasnoĻę 3 zdarzeı nie-
zaleŇnych nie bħdzie speþniona. Istotnie, w doĻwiadczeniu z czworoĻcianem zdarze-
nia i nie sĢ rozþĢczne. I chociaŇ zdarzenia i oraz i sĢ niezaleŇne, ale
ýatwo teraz podaę przykþad, w ktrym przy
2
P
({ =
U
)}
=
1
P
{
}
P
{
U
}
=
1
3
3
,
4
2
4
8
tj. zdarzenia i
U sĢ zaleŇne.
{
oooooo
Definicja 7. }
16
1 1
1
P
rzeı jest rwne
169132188.011.png 169132188.012.png 169132188.013.png 169132188.014.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin