Statystyka - TEORIA
Zbiorowością
statystyczną nazywamy ogół elementów podlegających
badaniu statystycznemu.
Poszczególne elementy tej
zbiorowości nazywamy jednostkami statystycznymi i dla tych
jednostek definiujemy cechy statystyczne.
Klasyfikacja cech statystycznych
Cechy statystyczne dzielimy na: cechy stałe -
nie podlegają badaniu statystycznemu, ale w precyzyjny
sposób opisują przynależność jednostki do danej
zbiorowości, tj.:
cechy rzeczowe -
określają zakres badania,
cechy czasowe -
określają czas przeprowadzenia badania,
cechy przestrzenne - określają miejsce
przeprowadzanego badania,
cechy zmienne, tj.:
cechy jakościowe - zwane inaczej niemierzalnymi, są to cechy, które opisane są
słownie np. wykształcenie, pochodzenie, kolor oczu.
cechy
ilościowe - zwane inaczej mierzalne podane są w postaci liczb.
Dzielą się na:
skokowe - jest
to cecha statystyczna o skończonej, z reguły małej
liczbie realizacji (np. ilość dzieci, ilość
członków rodziny na utrzymaniu ilość izb w
mieszkaniu). Pomiędzy wartościami ilościowymi nie ma
wartości pośrednich.
ciągłe -
cecha ciągła przyjmuje swoje realizacje wewnątrz
pewnego, z góry określonego przedziału liczbowego,
przy czym każda realizacja z tego zbioru może być
przyjęta ( np. wzrost, wysokość, wynagrodzenie w
zakładzie pracy - jest to najbardziej interesujący zakres badań.
cechy quasi ilościowe
- porządkujące - pozwalają na przedstawienie w
postaci uporządkowanych rozłącznych podzbiorów całej zbiorowości np. podział studentów według ocen, a
następnie uporządkowanie. Dla cech ilościowych
wyróżniamy następujące rodzaje szeregów statystycznych:
szeregi szczegółowe
- wyliczające - są to uporządkowane w sposób
monotoniczny wszystkie realizacje cechy łącznie z
powtórzeniami. Uzyskujemy go z tzw. Surowego szeregu
statystycznego ( czyli szeregu zebranego w bezpośrednich
badaniach empirycznych) przez monotoniczne
uporządkowanie tych wyrazów.
szeregi punktowe - konstruowane przede
wszystkim dla cechy skokowej - przyporządkowujące dla każdej
realizacji cechy skokowej jej liczebność cząstkową,
czyli liczbę jej wystąpień- jej powtórzeń- np.
liczba dzieci - (xi) realizacje
xi
ni
0
10
1
15
2
3
4
szeregi rozdzielcze (przedziałowe - strukturalne)
konstruujemy przeważnie dla cech o charakterze ciągłym,
w którym poszczególne
realizacje (rodzaje ?) cechy statystycznej zostały
pogrupowane w poszczególne przedziały klasowe o z góry
ustalonych końcach.
Liczba przedziałów klasowych -
k
Liczba elementów zbiorowości
statystycznej - N
Liczebność cząstkowa - ni
Wzory na liczbę
przedziałów klasowych zbiorowości statystycznej
k= 1 + 3,322log N
k ~ vN
k - należy dobierać w
płynny sposób w zależności od liczebności grup.
N
40<
N<60
5 ÷ 7
60<
N<100
6 ÷ 9
100<
N<200
8 ÷ 12
200<
N<500
12 ÷ 17
Wzór na długość
przedziałów
D xi
@
xmax - xmin
Zapis
(x1d 1 x1g)
n1
(x2d 1 x2g)
n2
(x3d 1 x3g)
n3
.
(xkd 1 xkg)
nk
Ogółem
(sumacyjny wiersz kontrolny)
Wzór na
obliczenie długości przedziału
D xi =
x ig -xid
HISTOGRAM
Szeregi rozdzielcze
przedziałowe możemy konstruować w zapisie
częstościowym, gdy liczebność zastąpiona jest częstością
wi =
N Częstość
W przypadku, gdy w skonstruowanym
szeregu nie wszystkie przedziały mają tę samą długość
liczebności i częstości zastępujemy gęstością lub inaczej
natężeniem.
Wzór na natężenie
przedziału
gi
=
Definicja histogramu
Histogramem nazywamy zbiór
przylegających prostokątów, których podstawy odpowiadają
długości kolejnych przedziałów klasowych. Natomiast
wysokości odpowiadają liczebnością lub częstością
cząstkowym.
Uwaga jeżeli
przedziały nie są równej długości zastępujemy histogram
liczebności histogramem gęstości.
Definicja diagramu
Diagramem albo wielobokiem
liczebności lub częstości nazywamy łamaną łączącą punkty
o współrzędnych:
(°xi ;ni),
(°xi ;wi),
(°xi ;gi).
°xi(lub ^ xi ) oznacza środek diagramu
liczony według wzoru °xi= 1 (xid + xig)
“Wygładzenie” diagramu daje
nam tzw. krzywą liczebności lub krzywą
częstości, której kształt opisuje nam rozkład cechy
statystycznej.
W przypadku, w którym krzywa
liczebności zawiera 1 ekstremum typu maksymalnego rozkład
nazywamy jednomodalnym.
W przypadku, w którym
krzywa liczebności zawiera więcej ekstremum rozkład nazywamy
wielomodalnym.
Jedno lub wielomodalność
rozkładu jest podstawą doboru mierników statystycznych
opisujących daną cechę statystyczną.
Miary klasyczne wymagają
jednomodalności.
Kumulacja
Szeregiem skumulowanym lub zsumowanym nazywamy szereg, w którym odpowiedniemu przedziałowi
klasowemu przyporządkowana jest liczebność tego przedziału i
wszystkich przedziałów poprzedzających.
ni cum
cum
x1d,x1g
x2d,x2g
n1 +
x3d,x3g
n2 + n3
xkd,xkg
n2 + n3 +.............+ nk = N
wi cum
Szereg wielkości skumulowanych nazywamy
dystrybuantą empiryczną.
Szereg w postaci skumulowanej
zarówno w liczebności jak i częstości jest podstawą do
wyznaczania pozycyjnych miar struktury.
Na podstawie histogramu
skumulowanego wyznaczamy diagram skumulowany, który jest
łamaną łączącą punkty o współrzędnych ( xig,
nicum lub wicum)
Diagram skumulowany
wykreślamy praktycznie jako łamaną łącząca prawe
ograniczenia każdego ze słupków.
Podstawowe mierniki statystyczne:
klasyczne,
pozycyjne.
Mierniki klasycznewykorzystujemy, gdy dysponujemy wszystkimi realizacjami cechy
statystycznej, czyli gdy cecha przedstawiona jest w postaci
szeregu przedziałowego o podomykanych wszystkich przedziałach
klasowych.
Mierniki klasyczne
opierają swą konstrukcję o środki przedziałów
Miary pozycyjne wykreślamy
w przypadku, gdy nie dysponujemy pełnymi informacjami o
realizacjach próby statystycznej, czyli gdy w szeregu
przedziałowym skrajne przedziały klasowe podane są w postaci
opisu słownego typu:
od - do,
powyżej - poniżej,
mniej lub więcej.
Uwaga
Miary absolutne są to
miary, które zachowują mianowanie cechy statystycznej.
Miary względne są miarami
pomijającymi mianowanie cechy. Interpretujemy je w postaci
procentowej lub wartości ułamkowych.
Analizę struktury zjawisk
statystycznych dzielimy na kilka “płaszczyzn”:
miary średnie
- miary położenia lub miary przeciętne,
miary zmienności,
dyspersji, rozrzutu, rozproszenia,
asymetrii -
skośności.
Szereg szczegółowy-
wyliczający - miary przeciętne
— x
- średnia arytmetyczna
— x = 1/N S ci
Szereg punktowy - miary
przeciętne
— x = 1/N S ci × ni
Szereg przedziałowy -
miary przeciętne
— x = 1/N S ki=1 c°i
× ni
W przypadku, gdy realizacje
cechy statystycznej są podane w przeliczeniu na inną wartość
średni poziom zjawiska ustalamy nie za pomocą średniej
arytmetycznej lecz za pomocą średniej harmonicznej.
Średnia harmonicznajest odwrotnością średniej arytmetycznej odwrotności
realizacji cech.
Wzór na średnią
harmoniczną
`cH = N/( S 1/xi
)
Przykłady wykorzystania
Gdy analizujemy :
prędkość - km/h
gęstość zaludnienia -
osoby/km2
ceny - zł/kg
spożycie - kg/osobę
wydajność - szt./h
Przykład liczbowy:
W ciągu 8h obserwowano pracę 3
osób, robotnik A zużywał na wykonanie 1 elementu 4 minuty,
robotnik B zużywał na wykonanie 1 elementu 6 minut, robotnik C
zużywał na wykonanie 1 elementu 12 minut.
Określić ile czasu średnio
zużywają robotnicy na wykonanie 1 elementu.
`cH = N/( S 1/xi )
`cH = 3/(1/4+ 1/6+1/12)= 3/(6/12)=
3/(1/2)=3×2/1= 6
Średnia Geometryczna
Jest pierwiastkiem stopnia n-1 z iloczynu wszystkich
realizacji cechy statystycznej.
`cG = n-1vx1×x2×.........×xn
Średnią geometryczną
wykorzystujemy do wyznaczenia średniego tempa zmian zjawiska w
przypadku szeregów czasowych tzn. szeregów, dla których
realizacje jednej cechy statystycznej pobierane są w równych
odstępach czasu.
Ogólnie miary struktury dzielimy na:
Miary klasyczne wykorzystujemy wtedy, gdy dysponujemy wszystkimi
realizacjami cechy statystycznej. Są one przedstawione w postaci
szeregu punktowego lub szeregu rozdzielnego o podomykanych
skrajnych przedziałach klasowych.
Miary pozycyjne wykorzystujemy, gdy informacja o realizacji cechy nie
jest pełna, czyli, gdy dysponujemy szeregiem rozdzielnym o niedomknientych skrajnych przedziałach klasowych podanych w
postaci opisu słownego typu :
od-do
poniżej - powyżej,
Miary struktury:
klasyczne:
miary średnie -
położenia:
średnia arytmetyczna,
średnia harmoniczna,
średnia geometryczna,
miary rozproszenia (dyspersji
lub zmienności):
odchylenie standardowe,
współczynnik zmienności,
typowy przedział
zmienności,
miary asymetrii -
skośności:
współczynnik asymetrii
Pearsone a
pozycyjne:
dominanta, kwartyle
rzędu I, II i III,
odchylenia ćwiartkowe
pozycyjne, współczynnik zmienności , typowy przedział
Yull` a-Kendala. Pozycyjne miary
Dominanta (modalna,
moda, wartość najczęstrza), czyli wartość
cechy statystycznej występująca najliczniej w całej zbiorowości.
Dla szeregu punktowego jest tą realizacją cechy statystycznej,
której przyporządkowano największą liczebność
(najwyższa liczba wystąpień).
Dla szeregu rozdzielczego
wyznaczamy ją na podstawie wzoru interpolacyjnego
postaci:
D = xD + (nD - nD-1)/(( nD - nD-1) + (nD - nD+1)) × DxD
D - symbol
oznaczenia dominanty (wartość modalna - moda
Mo),
xD - początek
przedziału dominanty, czyli przedziału o
największej liczebności w danej zbiorowości,
nD - liczebność
przedziału dominanty,
nD-1 - liczebność
przedziału poprzedzającego przedział
dominanty,
nD+1 - liczebność
przedziału następującego po przedziale
DxD - długość
przedziału dominanty.
Warunkiem koniecznym
liczenia dominanty jest równa długość wszystkich
przedziałów klasowych lub co najmniej 3 przedziałów klasowych
- przedziału dominanty i przedziałów sąsiednich.
W przypadku, gdy warunek ten
nie jest spełniony dominantę można obliczyć w oparciu o tzw.
Wzór gęstościowy, czyli wzór, w którym liczebność
...
juska2