automatyka.docx

Nieliniowe układy regulacji

Układ nieliniowy- nazywa się układy regulacji opisane nieliniowymi równaniami różniczkowymi lub algebraicznymi

Jeżeli chociaż jeden z elementów układu jest nieliniowy to cały układ jest nieliniowy.

W układach nieliniowych nie obowiązuje zasada superpozycji.

Mówi ona że odpowiedź układu na wymuszenie będące kombinacją liniowej odpowiedzi na każde z wymuszeń oddzielnie.

Układ może być nieliniowy statycznie lub dynamicznie –

To znaczy jego char. Statyczna określająca  wsp. wzmocnienia może nie być linią prostą lub przebieg zjawisk dynamicznych może mieć zależność nieliniową.

Procedury wyznaczania charakterystyk zastępczych:

1.Wykreślamy we wspólnym układzie współrzędnych  charakter  f1 i f2.

2. Rysujemy prostą P nachyloną  pod kątem450 do przenoszenia sygnału” 

dla wyznaczania kolejnych  punktów char. Wypadkowej należy:

3. Przyjąc jakąś wartość sygnału wejściowego np. x1.

4. odczytać wartość na wyjściu np. =1 (człon f1).

5. Podać tę wartość  na drugi element  i odczytać odpowiedz y1.

6. Przecięcie x1 i y1 wyznacza 1 punkt charakter. Wypadkowej P1

Inne punkty powtarzająć procedurę

UWAGA: przestawienie kolejności członów zamienia chraterystykę.

Stabilność nieliniowych UAR:

Def. (wg LAPUNOWA) Punkt równowagi xo układu sterowania w n-wymiarowej przestrzeni stanu nazywamy stabilnym jeżeli dla dowolnego otoczenia ε  stanu równowagi można dobrać takie otoczenie η tego punktu, że cała trajektoria rozpoczynająca się z η bęzie zawierała się wewnątrz  obszau ε

1.Punkt równowagi jest wyłączony z x =0 nie ma ruchu

2. Układ sterowania opisany jest w otoczeniu punktu równowagi układem równań

Xi=f(x1,x2,x3,…,xn) n- rząd układó

Trajektoria – krzywa stanu po której pousza się układ

3.η- otoczenie (obszar) warunków początkowych może mieć dowolny krztałt

4.η- jeśli jest ograniczone to stabilność będzie lokalna, jeśli nieograniczone stab. globalna

Badanie stabilności UAR:

1.metoda Lapunowa

- pośrednia

-bezpośrednia

2.Kryteium Popowa

1.Metoda Lapunowa – Polega ona na badaniu stabilności punktów równowagi układu nieliniowego przez badanie jego przybliżeń liniowych w tych punktach.

Jeżeli dokona się przesunięcia początku układu wsp. stanu do punktu równowagi rozwiązanie będze funkcją określającą  współrzędne stanu (fi) w szeregu Taylora

To odrzucić część nieliniową (resztą) to układ sterowania w otoczeniu punktu równowagi będzie sopisany:

x1=a11x1+a12x2+…a1nxn

:

x1=ai1x1+ai2x2+…ainxn

:
x0=an1x1+an2x2+…annxn

Te same co x0=Ax Jest to przybliżenie liniowe

Z Taylora wylicza się współrzędne i, j=1,2 …n

aij=∂fi(x1… xn)∂xj

Tw. Jeżeli przybliżenie liniowe(2) lub (3) jest stabilne asymptotycznie to układ nieliniowy jest stabilny  w punkcie x=0.

Jeżeli przybliżenie liniowe(2) lub (3) jest niestabilne asymptotycznie to układ w punkcie równowagi jest niestabilny .

UWAGI:

1.Tą metodą niemożna zbadać czy układ nieliniowy jest  stab. Czy też nie w punkcie równowagi jeżeli przybliżenie liniwe jest stabilne ale nie asymptotycznie.

2.ta metoda określa stabilność  lokalną  i nie daje odpowiedzi jak duży jest obszar stabilności.

Metoda Lapunowa 2

Polega na rozpatrywaniu pełnego opisu układu nieliniowego, doborze i dodaniu pewnej funkcji zwanej f. LAPUNOWA.

Tw. Jeżeli w Obsza że D zawierającym początek układu wsp. stanu układu sterowania i będącego pnktem równowagi istnieje skalarna funkcja V(x1,x2..xn )

Od wsp. stanu dodatnio określone tzn:

a)xϵD  V(x)ϵC1   -funkcja ciągłą wraz z 1                                  pochodną

b)V(0)=0

c) xϵDx≠0   V(x)>0  (dodatnio określona)

i taka że jej pochodna względem czasu jest ujemnie określona w tym obszarze tzn. spełnia warunek a) i b) oraz xϵDx≠0   V(x)<0

to układ nieliniowy opisany w przestrzeni stanu jest stabilny asymptotycznie w obszarze D.

Jeżeli pochodna V(x) jest ujemnie pół określona w obszarze tj. xϵDx≠0   V(x)≤0^V(0)=0

To układ nieliniowy jest w obszarze D stabilny ale niekoniecznie asymptotycznie.

Funkcję Lapunowa przyjmuje się taka aby spełniała w/w założenia. Nie jest to łatwe ,  najczęściej przyjmuje się formą kwadratową.

Metoda POPOWA:

Wykorzystuje się do badania układów sterowania ze stabilnymi częściami liniowymi i statycznym elementem nieliniowym

TW. Jeżeli w G(s) wszystkie bieguny mają części rzeczywiste ujemna to VAR jak na rysunku zawierający statyczny element nieliniowy spełniający warunek 1

Jest  stabilny asymptotycznie w obszarze nieograniczonym pod warunkiem, że wykres zmodyfikowanej charakterystyki A-F

G(jω)= V(ω)+jV(ω)  V(ω)=P(ω)

G(jω)=P(ω)+jQ(ω)  V(ω)=ωQ(ω)

Część liniowa leży na prawo od co najmniej jednej prostej przechodzącej przez punkt U=-1/k, V=0

Jeżeli część liniowa ma 1 biegun zerowy to musi być spełniony dodatkowy.

Operatorowa metoda kolejnych przybliżeń:

Metoda pozwala w uproszczony sposób analizować pracę układu zwierającego jednoznaczną i niejednoznaczną nieliniowość statyczną. Polega na wyznaczaniu kolejnych przybliżeń przebiegu uchybu uwzględniających coraz wpływ nieliniowości.

Punktem wyjścia rozważań jest schemat blokowy układu regulacji:

Dane:
xo
f(e)
G(s)
H(s)
Założenie:
f(e) – powinna dać przekształcić się do struktury zawierającej człon proporcjonalny f(e)=f1(e)+ke (nie zawsze się da)
Korzystając z teorii przekształceń Laplace’a z definicji transmitancji można napisać
Ys=kEs+Lt1e
Es=Xos*Zs
Transf. uchybu
Es-Xos-YsHs=Xos-XosGsHs=Xos-GsHsKEs+L[f1(e)
Es=Eos+Be
Eos- od liniowości
Be- poprawka
Eos=11+KGsHsXos

Be=-GsHs1+KGsHsXos    Lf1e

Eo(s) – transformata Laplace’a uchybu zlinearyzowanego, tzw zerowe przybliżenie przebiegu uchybu
E1s=Eos+Beo
Ezs=Eos+Be1
Ens=Ens+Ben-1
Procedura jest przerywana, jeżeli przebieg kolejnego przybliżenia niewiele różni się od poprzedniego

Metoda funkcji opisujących  

Metod częstotliw.  Nie można stosować do układów nieliniowych, gdyż nie ma dla niech związków funkcyjnych pomiędzy przebiegami czasowymi  a char. Częstotliwościowymi. Przy założeniu, że część liniowa układu regulacji  jest filtrem dolnoprzepustowym(tłumi wyższe charm) można opisać własności dynamicznie członu nieliniowego, przy pomocy tak jakby odpowiednika transmitancji widmowej tzw FUNKCJI OISUJĄCEJ

Przybliżenie funkcji opisującej

Funkcja opisująca.

JA, ω≝BejφA=B+jCA

BB2+C2

φ=arctgCB

Funkcja opisująca JA, ω członu nieliniowego nazywamy stosunek wartości zespolonej amplitudy 1 Harmonicznej odpowiedzi wywołanej wymuszenie sinusoidalnym w stanie ustalonym do wartości zespolonej amplitudy tego wymuszenia to  B, C , 1-harn.

e(t)=Asinφ          φ=ωt

jeżeli  e(t) będzie sinusoidalne to na wyjściu członu o char. statycznej f(e) sygnał będzie okresowy ale nie sinusoidalny.