Metody Numeryczne.pdf

Zaawansowane metody numeryczne

Komputerowa analiza zagadnie n rózniczkowych

5. Metody Eulera

Metody punktu srodkowego i metody trapezowe

P. F. Góra

http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/

semestr letni 2005/06

Jawna metoda Eulera

Problem Cauchy’ego

8 > > <

dx = f ( x; y )

y ( x 0 )= y 0

(1)

> > :

to przepis na to jak uzyskac rozwi azanie po innitezymalnie małym kroku cza-

sowym. Spróbujmy zastosowac ten przepis dla kroków małych, ale o sko nczonej

długosci. W tym celu dokonajmy rozwini ecia Taylora:

5. Metody Eulera. Metody punktu srodkowego i metody trapezowe.

d y

y n +1 = y ( x n +1 )= y ( x n + h ) ' y ( x n )+ d y

¯ ¯ ¯ ¯ x = x n ; y=y n

h + O ( h 2 ) ; (2)

a zatem

y n +1 = y n + h f ( x n ; y n )+ O ( h 2 ) : (3)

Metoda ta, zwana jawn a metod a Eulera , jest najpopularniejsz a (i jedn a z naj-

gorszych) metod a uzywanych do numerycznego całkowania równa n rózniczko-

wych zwyczajnych.

5. Metody Eulera. Metody punktu srodkowego i metody trapezowe.

Uwaga na bł ad zaokr aglenia!

Zauwazmy, iz po prawej stronie (3) mamy sum e dwóch wyrazów: Jednego

“duzego”, rz edu O (1), i drugiego “małego”, rz edu O ( h ). Moze to doprowadzic

to utraty dokładnosci, zwłaszcza jesli0 <h¿ 1. Problem jest tym wi ek-

szy, ze ostateczne rozwi azanie uzyskujemy po wielu krokach Eulera. Mozna

temu przynajmniej cz esciowo zaradzic odpowiednio adaptuj ac algorytm suma-

cyjny Kahana :

Niech z 0 =0. W kazdym kroku obliczamy

± = h f ( x n ; y n )+ z n ; (4a)

y n +1 = y n + ± ; (4b)

z n +1 = ± ¡

y n +1 ¡ y n

(4c)

5. Metody Eulera. Metody punktu srodkowego i metody trapezowe.

Nawiasy w ostatnim z wyraze n (4) nie s a redundantne . W artymetyce dokładnej

(bez bł edów zaokr aglenia) z n ´ 0i metoda (4) sprowadza si e do metody (3).

Chociaz nie b edziemy tego pisac jawnie, trick zastosowany w (4) nalezy stoso-

wac we wszystkich metodach omawianych w trakcie tych wykładów.

5. Metody Eulera. Metody punktu srodkowego i metody trapezowe.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: