Analiza Częstotliwościowa - teoria.pdf

(211 KB) Pobierz
REJESTRACJA CYFROWA
ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA
Analiza częstotliwościowa polega na przedstawieniu badanego sygnału za pomocą prostych
funkcji elementarnych. Zasadniczym celem analizy widmowej jest określenie częstotliwościowej
struktury badanego sygnału.
1. Sygnały okresowe
W przypadku sygnału okresowego spełniającego warunki Dirichleta (funkcja o okresie 2π
jest ograniczona na przedziale <-π,π> i przedział ten jest sumą skończonej liczby przedziałów,
wewnątrz których funkcja f jest monotoniczna i ciągła), można go przedstawić w postaci szeregu
Fouriera, składającego się z w ogólnym przypadku z czynnika stałego i sumy funkcji
trygonometrycznych o różnych pulsacjach. Najczęściej przyjmuje się, że każdy przebieg okresowy,
który może być fizycznie realizowany, spełnia warunki Dirichleta, a zatem da się wyrazić
zbieżnym szeregiem Fouriera. Tak więc fizyczna możliwość wytworzenia przebiegu okresowego
jest wystarczającym warunkiem zbieżności szeregu Fouriera.
Rozkład funkcji okresowej na szereg Fouriera ma wiele zastosowań praktycznych jak i
teoretycznych. Jedną z zalet takiego przedstawienia funkcji jest możliwość stosowania analizy
częstotliwościowej do przebiegów niesinusoidalnie zmiennych. W przypadku przetworników
liniowych każdą składową harmoniczną wymuszenia można rozpatrywać oddzielnie, a następnie,
stosując zasadę superpozycji, otrzymuje się odpowiedź na sygnał okresowy w postaci sumy
(dyskretnej lub ciągłej) odpowiedzi na poszczególne składowe funkcji wymuszającej.
Sygnał okresowy x(t) można przedstawić w postaci szeregu składowych sinusoidalnych i
cosinusoidalnych:
xt
= +
1
2
a
0
∞
∑
(
a
n
cos(
n t b
ω
0
)
+
n
sin(
n t
ω
0
)
)
(1)
n
1
których pulsacje są wielokrotnościami pulsacji podstawowej ωπ π
0
= =
2
f
0
2
/
T
Współczynniki Fouriera a n , b n wyznacza się ze związków:
2
T/2
a
=
∫
x(t)
⋅
cos(nω
t)dt
n
T
0
(2)
−
0,1,2,...,
T/2
n
=
∞
2
T/2
b
=
∫
x(t)
⋅
sin(nω
t)dt
n
T
0
(2’)
−
1,2,...,
T/2
n
=
∞
Równanie (1) można również zapisać w postaci:
xt
()
= +
1
2
a
0
∞
∑
c
n
cos(
n t
ωϕ
0
+
n
)
(3)
n
=
1
gdzie:
c
=+
a
2
b
2
-widmo amplitudowe sygnału x(t),
n
n
n
ϕ n
=−
arctg b
a
n
-widmo fazowe sygnału x(t),
n
1
()
=
4085861.002.png
Bardzo ważną rolę w praktyce odgrywa przedstawienie szeregu Fouriera w postaci wykładniczej,
gdyż pozwala między innymi na badanie złożonych układów liniowych pobudzanych dowolnymi
sygnałami. Podstawiając w równaniu (1):
cos(
n
ω
t
)
=
1
( )
e
j
ω
0
nt
+
e
−
j
ω
0
nt
0
2
sin(
n
ω
t
)
=
1
( )
e
j
ω
0
nt
−
e
−
j
ω
0
nt
0
2
j
otrzymujemy:
xt
()=
∞
∑
Ae
jn t
ω 0
(4)
n
n
=−∞
przy czym:
A
=
a
n
+
jb
n
dla n>0
n
2
A
=
ajb
n
−
2
n
dla n<0
−
n
A
0 = dla n=0 .
a
0
2
Współczynniki A n , A -n oblicza się z zależności:
1
T
/
2
A
=
∫
xte
()
−
jn t
ω
0
dt
(5)
n
T
−
T
/
2
Z równania (5) wynika, że współczynniki A n i A -n są zespolone i sprzężone, zatem:
AA
n
=
−
n
Wielkości A n i A -n nazywane amplitudami zespolonymi n-tej harmonicznej można zapisać w
postaci:
AAe
=
j n
ϕ
oraz AAe
=
−
j n
ϕ
n
n
−
n
−
n
ponieważ:
arg( ) arg
A
=
ajb
n
−
n
 =
arctg
−
b
n
 =
ϕ
n
2
a
n
n
2
4085861.003.png
Widmo amplitudowe sygnału c n można natomiast wyznaczyć wykorzystując zależność:
c
n
= 2
A
W zespolonym szeregu Fouriera funkcja okresowa jest wyrażona przez sumę funkcji
wykładniczych o dodatnich i ujemnych pulsacjach, przy czym te ostatnie mają znaczenie tylko
rachunkowe. Obie składowe e jω oraz e
−ω
jt
e
jt
+ =
e
−
jt
2cos( )
ω
t
Wyrażenie opisane równaniem (5) nazywane jest dyskretną transformatą Fouriera, pozwalającą na
wyznaczenie widma, tj. zbioru składowych harmonicznych, które w sumie dają przebieg okresowy
x(t). Graficznie widmo to przedstawia się w postaci dwóch wykresów: widma amplitudowego jako
szeregu równoległych, pionowych odcinków o długościach proporcjonalnych do amplitud ( 2A n
)
składowych harmonicznych i widma fazowego też w postaci prążkowej zgodnej z wartościami
faz początkowych ϕ n składowych harmonicznych. W większości przypadków amplitudy
częstotliwości składowych są albo rzeczywiste, albo urojone i wtedy funkcję można opisać za
pomocą jednego widma. Równanie (4) nazywane odwrotną transformatą Fouriera, umożliwia
wyznaczenie funkcji x(t) na podstawie znajomości składowych harmonicznych.
Należy zauważyć, że pojęcie sygnału okresowego, który w ścisłym sensie powinien być nie
ograniczony w czasie, jest pojęciem teoretycznym. Dlatego też analizie harmonicznej, opartej na
przedstawieniu funkcji okresowej za pomocą szeregu Fouriera, nie można nadawać szerszej
interpretacji fizycznej. Oznacza to, że widmo prążkowe należy traktować jedynie jako pierwsze
przybliżenie widma, odpowiadającego realnie istniejącym wielkościom fizycznym.
2. Sygnały nieokresowe
Traktując sygnał nieokresowy x(t) jako sygnał okresowy, którego okres T dąży do
nieskończoności, otrzymuje się w rozwinięciu Fouriera zamiast dyskretnej sumy, sumę ciągłą
(całkę) nieskończenie małych składowych harmonicznych:
xt
()
=
1
2π
∞
∫
X e d
ωω
jt
(6)
−∞
X
()
ω
=
∞
∫
x t e dt
()
−
jt
(7)
−∞
Przekształcenie Fouriera określone wzorem ( 6 ) pozwala więc na przedstawienie funkcji
nieokresowej jako sumy nieskończenie wielkiej liczby składowych o nieskończenie małych
amplitudach, leżących nieskończenie blisko siebie w skali częstotliwości. Funkcja X(ω)
przedstawia widmo częstotliwościowe funkcji x(t) i jest nazywana funkcją widmową lub widmem
częstotliwości. Fizycznie wielkość X(ω) reprezentuje zespolony prążek amplitudy odniesiony do
przyrostu pulsacji dω i stąd bywa też nazywana gęstością widmową amplitudy, mającą wymiar
amplitudy na interwał częstotliwości. Funkcja widmowa X(ω) może być przedstawiona w jednej z
dwu równorzędnych postaci:
3
n
mogą być bowiem przedstawione jako dwa wektory na
płaszczyźnie, wirujące w przeciwnych kierunkach z pulsacją w i w sumie dające rzeczywistą
funkcję czasu, jak to wynika z zależności:
ω
ω
( )
ω
ω
4085861.004.png
XXe
ωω ϕω
=
−
j
()
,lub
∞
∞
X
()
=
∫
x t
()cos( )
ω
t dt j x t
−
∫
()sin( )
ω
t dt A
= −
() ()
ω ω
jB
−∞
−∞
gdzie:
X
∞= +
A
2
() ()
ω ω
B
2
ϕω
()
=
arctg
B
A
()
()
ω
ω
Przedstawienie funkcji w dziedzinie czasu lub w dziedzinie częstotliwości określa daną funkcję
jednoznacznie. Dlatego nie ma znaczenia czy dana funkcja jest mierzona w dziedzinie czasu czy
częstotliwości. Stanowi to raczej problem wygody pomiaru. Na przykład w telekomunikacji
optycznej pomiary przeprowadza się przeważnie w dziedzinie czasu, natomiast w technice
pomiarów wibracji, preferuje się przeprowadzanie pomiarów w dziedzinie częstotliwości.
Stosowanie przekształceń Fouriera w praktyce powinno być oparte na znajomości jego
właściwości, prawdziwych zarówno dla widm dyskretnych jak i ciągłych. Oto niektóre z nich:
Zacieśnianie przedziału czasu przebiegu x(t) wiąże się z rozszerzaniem zakresu częstotliwości
jego widma przy równoczesnym zmniejszaniu wartości funkcji widmowej w ten sposób, że
powierzchnia zawarta pomiędzy wykresem tej funkcji a osią odciętych jest stała (twierdzenie o
skali czasu).
Przesunięciu sygnału w dziedzinie czasu o wartość t 0 powoduje pomnożenie widma przez
e
1
2
[
X
ω
−+ +
Ω
X
ω
Ω (twierdzenie o modulacji).
]
Przekształcenie Fouriera pozwala na określenie wzajemnego związku pomiędzy
dziedzinami czasu i częstotliwości z dokładnością, która jest określona równaniem:
T
s B
≥
1
gdzie:
s
4
B s - szerokość pasma częstotliwości sygnału,
T s - czas trwania sygnału.
Sformułowana powyżej zasada nieoznaczoności, oznacza w praktyce, że niemożliwe jest uzyskanie
nieograniczenie wysokiego stopnia rozdzielczości równocześnie w dziedzinie czasu i
częstotliwości. Na przykład dla sygnału sinusoidalnego, skracanie czasu jego trwania powoduje
coraz większe rozmycie jego składowej spektralnej, w wyniku czego dokładność pomiaru
częstotliwości tej składowej jest coraz mniejsza.
4
() ()
ω
()
−ω 0 , tzn. widmo amplitudowe nie ulega zmianie natomiast każda składowa częstotliwości
zostaje przesunięta w fazie o wartość −ωt 0 .
- Jeżeli funkcja x(t) ma widmo X(ω), to funkcja x(t)cos(Ωt) ma widmo postaci:
( ) ( )
jt
4085861.005.png
 
3. Cyfrowa analiza widmowa sygnałów
W ostatnich latach, dzięki opracowaniu specjalnych algorytmów oraz w wyniku szybkiego
wzrostu mocy obliczeniowej komputerów, podstawową rolę w analizie widmowej sygnałów
odgrywają metody cyfrowe. Przy cyfrowej analizie widmowej nie jest możliwe bezpośrednie
wykorzystanie przekształcenia Fouriera określonego wzorem ( 7 ), przede wszystkim ze względu
na następujące fakty doświadczalne:
• przebieg x(t) znany jest tylko w pewnym skończonym przedziale czasu, co wynika z jego
ograniczenia czasowego,
• przebieg x(t) znany jest tylko dla dyskretnych wartości czasu wziętych z tego przedziału, co
wiąże się z tzw. próbkowaniem sygnału,
• dyskretne chwilowe wartości przebiegu x(t) znane są jedynie z ograniczoną dokładnością ze
względu na kwantowanie sygnału,
• obliczenie gęstości widmowej X(ω) przeprowadzone być może jedynie ze skończoną
dokładnością arytmetyczną. Warunki jakie musi spełniać prawidłowo przeprowadzona
dyskretyzacja przebiegów czasowych zostały opisane szczegółowo w rozdziale "Rejestracja
cyfrowa".
3.1. Dyskretna transformata Fouriera DFT
Dla ciągu x(kT s ) złożonego z N próbek jednakowo odległych o T s sekund, para transformat
Fouriera (dyskretna w czasie - dyskretna w częstotliwości) wyraża się następująco:
XX nf
N
 =
−
∑ ()
1
=
s
xkt e
−
j kN
π
/
n=0,1,...,N-1
(8)
n
s
k
=
0
1
−
∑
1
nf
N
xx T N
= =
( )
X
( )
s
e
j kN
π
/
n=0,1,...,N-1
(9)
k
s
n
=
1
gdzie f
s
= 1/
T
Jednoznaczne wyniki transformaty X n otrzymuje się tylko dla n
∈−
,
2
1
zgodnie z warunkami
twierdzenia o próbkowaniu. Uzyskane widmo X n jest widmem dyskretnym a odstęp między
kolejnymi prążkami w widmie jest odwrotnie proporcjonalny do długości czasu zbierania próbek
T 0 :
∆f
== =
f
NNT T
s
1
1
(10)
s
0
0 = . To wycinanie w czasie, powoduje zniekształcenie
widma, zwane przenikaniem (przeciekiem). Jeśli rzeczywiste widmo sygnału zawierało ostre
przejścia, to zastosowanie prostokątnego okna wycinającego powoduje ich wygładzenie w
otrzymanym widmie dyskretnym X n . Te zniekształcenia szczególnie dobrze widoczne są w
przypadku gdy rzeczywisty sygnał jest okresowy, a długość okna wycinającego nie jest równa
wielokrotności okresu tego sygnału.
5
N
2
N
2
s
0
Z zależności (10) wynika, że rozdzielczość częstotliwościową widma można zwiększyć
zwiększając liczbę próbek przy tej samej częstotliwości próbkowania.
Jak wiadomo w praktyce ciąg próbek {x k } stanowi tylko fragment znacznie dłuższego
przebiegu rzeczywistego, tymczasem DFT traktuje pierwotną funkcję czasu tak, jakby była ona
okresowa - z okresem równym T NT s
4085861.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin