AM12_LZ.pdf

MAP1148–ANALIZAMATEMATYCZNA1.2

Listyzadańnasemestrzimowy2009/10

Lista1

1.1. Korzystając z denicji granicy właściwej ciągu uzasadnić podane równości:

√

2 n +1

n 2

n +1

3 − n

n +4 = − 1;

a) lim

n →∞

=0; b) lim

n →∞

√

n +1 =2; c) lim

n →∞

d) lim

n →∞

2 n +5 =0; e*) lim

n →∞

3 n +1

n +1

=2; f*) lim

n →∞

1000

n ! =0 .

1.2. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć podane granice:

a) lim

n →∞

n 3 +2 n 2 +1

n − 3 n 3

;

b) lim

n →∞

n !+1

(2 n +1)( n +1)! ;

c) lim

n →∞

( n 3 +1) 20 ;

√

8 n +1 +3

2 n +1

d) lim

n →∞

; e) lim

n →∞

n 4 +16 − n

; f) lim

n →∞

n 2 +4 n +1 −

n 2 +2 n

1.3. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć podane granice:

n →∞ n

√

n 2 n +1;

b) lim

n →∞

⌊ n ⌋

n ; c) lim

2 n sin n

3 n +1 ;

n →∞

d) lim

n →∞

√

n 3 +1 +

√

n 3 +2 + ... +

√

; e) lim

n →∞

2 n +( − 1) n

3 n +2

; f) lim

n →∞ n

3 n +2 n

5 n +4 n .

n 3 + n

1.4. Korzystając z denicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane granice:

5 n +2

5 n +1

15 n

n 2

n 2 +1

n 2

3 n +2

5 n +2

5 n +3

3 n +1

a) lim

n →∞

;

b) lim

n →∞

;

c) lim

n →∞

;

3 n

3 n +1

3 n +2

6 n

n +1

d) lim

n →∞

;

e) lim

n →∞

;

f) lim

n →∞

1.5. Korzystając z denicji granicy niewłaściwej ciągu uzasadnić podane równości:

n →∞ log 2 ( n +3)= ∞ ; b) lim

n 4 − 1

= ∞ ; c) lim

n →∞

√

n − n

= −∞ ; d) lim

n →∞

10 − 3

√

= −∞ .

n →∞

1.6. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć podane granice:

n →∞ n

√

n n +5;

b) lim

n →∞ (3 n cos n − 4 n ); c) lim

→ ∞ (sin n − 2) n 2 ;

3 + 1

5 − 1

+ 1

+ ... + 1

d) lim

n →∞

;

e) lim

n →∞

n 5 − 10 n 6 +1

;

f) lim

n →∞

√

⌊ √

n ⌋

n 20 +2

n 2 +1

a) lim

Lista2

2.1. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć podane granice:

a) lim

n →∞

n 4 − 3 n 3 − 2 n 2 − 1

;

b) lim

n →∞

1 − ( n +1)!

n !+2

;

c) lim

n →∞

√

3 − cos

;

n 2 +1

n +1

2 n

n +1

n [ln( n +1) − ln n ] .

d) lim

n →∞

;

e) lim

n →∞

; f) lim

n →∞

2.2. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć podane granice:

x 3 − 1

x 4 − 1 ;

2 x +1

3 x +2 ;

√

x − 4

a) lim

x → 1

b) lim

x →∞

c) lim

x → 64

√

x − 8 ;

√

1+ x − √

tg 2 x +1

tg 2 x +5 ; e) lim

1 − x

x 6 − 1

1 − x 2 .

d) lim

x → 2

; f) lim

x → 1

−

x → 0

2 x

2.3. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją podane granice funkcji:

x → 0 x sgn x ; b) lim

x 3 ; c) lim

x → 2

⌊ 3sin x ⌋ ;

x → 0

d) lim

x → 2

x 2 − 4

| x − 2 | ; e) lim

| x − 1 | 3

x 3 − x 2 ; f) lim

sgn

1 − x 2

x → 1

x →− 1

2.4. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości:

√

2 − x +sin x

2 − x +cos x

x → 0 x 3

=0;

b) lim

x →∞

√

=2;

c) lim

x →−∞

=1;

d) lim

x → 0 +

√

x cos 1

x 2 =0;

e) lim

x →∞

2+sin x

x 2

=0;

f) lim

x →−∞ e x +sin 2 x =0 .

2.5. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji obliczyć podane granice:

a) lim

x →∞

x 3 +2 x 2 + x − 100

; b) lim

x →−∞

4 x 4 − 3 x 3 +2 x 2 − x +1

; c) lim

x → 0

x 2

− 1

;

d) lim

x →− 1

3 x +2

x 2 +2 x +1 ;

e) lim

x →∞

√

2 x +1 −

√

x +1

;

f) lim

x →∞

x 2 +2 − x

2.6. Korzystając z granic podstawowychwyrażeń nieoznaczonychobliczyć podane granice funkcji:

a) lim

x → 0

sin 2 3 x

x 2

;

b) lim

x →−∞

ln(1+2 x )

3 x

;

c) lim

x → 0 +

2 x − 1

√

x − 1 ;

d) lim

x → 0

[1+tg(2 x )] ctg x ; e) lim

x → 2

cos5 x

cos3 x ; f) lim

x → 0

e 3 x − 1

sin2 x ;

sin x

ln(1+ 3

√

x )

x +2

2 x − 1

g) lim

x → 0

; h) lim

x → 0

; i) lim

x →∞

Lista3

3.1. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji:

a) u ( x )= x 3 + x 2

x 2 − 4 ; b) v ( x )= x − 3

√

x 2 − 9 ; c) w ( x )= sin x

x − ;

√

d) z ( x )= cos( x )

1+ x 2

x 3

( x +1) 2 ;

2 x − 8 ;

e) f ( x )=

;

f) g ( x )=

a) lim

3.2. Dobrać parametry a,b ∈

R tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:

: sin x dla | x |

2 , x 1 = −

2 ,

x 2 + ax + b dla | x | < 2 , x 1 = − 2 ,

a) f ( x )=

b) f ( x )=

√

x 2 − 4 dla | x | 2 , x 2 =2;

ax + b dla | x | <

2 , x 2 =

2 ;

: a sin x + b cos x dla | x | >

4 , x 1 = −

4 ,

: bx dla x<,

c) f ( x )=

d) f ( x )=

sin x

dla x , x 0 = .

1+tg x dla | x |

4 , x 2 =

4 ;

3.3. Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie a (jeżeli istnieją) dla funkcji o podanych wykresach:

a) y

b) y

c) y

y = f ( x )

d) y

e) y

f) y

y = f ( x )

3.4. Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:

: x 2 − 1

x − 1 dla x ∈ (0 , 1) ∪ (1 , ∞ ) ,

3 dla x =1 ,

: | x | + x

x 2 dla x =0 ,

0 dla x =0 , x 0 =0;

a) f ( x )=

b) f ( x )=

x 0 =1;

: 1 − cos 1

x dla x =0 ,

0 dla x =0 , x 0 =0 .

c) f ( x )= sgn

x ( x − 1)

, x 0 =1;

d) f ( x )=

3.5. Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia ekstre

malne mają rozwiązania:

a) wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość;

b) wśród trójkątów prostokątnychwpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma największy obwód;

c) wśród prostokątów opisanych na danej elipsie istnieje ten, który ma najmniejsze i największe pole.

3.6. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:

a) x 3 +6 x − 2=0 , (0 , 1);

b) x sin x =7 ,

2 , 5

;

c) 1= sin x

2 + x,

0 ,

;

d) x 100 + x − 1=0 ,

2 , 1

;

e) 3 x + x =3 , (0 , 1);

f) x 2 x =1 , (0 , 1).

Wyznaczyć rozwiązania równań a) , d) i f) z dokładnością 0 . 125 .

√

Lista4

4.1. Korzystając z denicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) f ( x )= | x − 1 | , x 0 =1;

b) f ( x )=2 x −| x | , x 0 =0;

c) f ( x )= | x − | 3 sin x , x 0 = ;

x 2 dla x 2 ,

2 x dla x> 2 ,

2 ,

1 dla x>

: x 2 arctg 1

dla x =0 ,

d) f ( x )=

e) f ( x )=

f) f ( x )=

2 ,

0 dla x =0 ,

x 0 =

x 0 =2;

2 ;

x 0 =0 .

Naszkicować wykresy funkcji a) , b) , d) i e) .

4.2. Korzystając z denicji obliczyć pochodne funkcji:

a) f ( x )= x 2 − 3 x , gdzie x ∈

R; b) f ( x )=

x +1 , gdzie x = − 1;

c) f ( x )=

√

x , gdzie x> 0;

d) f ( x )=tg x , gdzie x =

2 + k dla k ∈

4.3. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych

punktach:

a) f ( x )=

x 2 − x

, x 0 =1;

b) f ( x )=sin x sgn( x ) , x 0 =0;

: tg x dla −

2 <x 0 ,

sin x dla 0 <x<

: x ( x − 1)

dla x< 1 ,

c) f ( x )=

x 0 =0;

d) f ( x )=

x 0 =1.

√

2 ,

x − 1 dla x 1 ,

Naszkicować wykresy tych funkcji.

4.4. Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x 0 =0:

a) f ( x )=3 − 5

√

x ; b) f ( x )=tg 3

√

x ; c) f ( x )=

| sin x | ; d) f ( x )=

| x | +

| x | .

4.5. Korzystając z reguł różniczkowaniaobliczyć pochodne funkcji:

a) y =

x 3 + 1

x 2

e x ;

b) y =

1+ 4

√

;

c) y = e x arctg x ;

d) y =ln

sin 2 x +1

; e) y = 3

arcsin( x 2 ); f) y = e e x ;

g) y = 2 sin 2 x

3 cos 2 x ;

h) y = x

tg x ;

i) y = x

√

x .

4.6.* Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć f

− 1 ( y 0 ), jeżeli:

a) f ( x )= x +ln x , y 0 = e +1; b) f ( x )=cos x − 3 x , y 0 =1;

c) f ( x )= 3

√

x + 5

√

x + 7

√

x , y 0 =3;

d) f ( x )= x 3 +3 x , y 0 =4.

funkcji:

a) f ( x )=4 x 7 − 5 x 3 +2 x ; b) f ( x )= x 3 − 2

′

, f

′′

, f

′′′

x ; c) f ( x )= e x

x ;

d) f ( x )=arctg x ;

e) f ( x )=sin 3 x +cos 3 x ;

f) f ( x )= x 3 ln x .

4.8. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

sin x dla x

4.7. Obliczyć f

a) f ( x )=arcsin x

2 , (1 ,f (1));

b) f ( x )=ln

x 2 + e

, (0 ,f (0));

c) f ( x )= e tg x ,

4 ,f

;

d) f ( x )=

√

2 x +1 , (3 ,f (3)); e) f ( x )=

2 x

1+ x 2 ,

√

2 ,f

√

; f) f ( x )= x

√

x, ( e,f ( e )).

Lista5

5.1. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:

a) 3

√

7 . 999;

√

3 . 98 ;

c) ln 2001

2000 ;

d) ln0 . 9993;

e) e 0 . 04 ;

f) arccos0 . 499.

5.2. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:

a) | arctg x − arctg y || x − y | dla a,b ∈

R; b) ln y

x <y − x dla 1 a<b ;

c) x arcsin x x

√

1 − x 2 dla 0 x< 1;

d) e x >ex dla x> 1.

5.3. Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’adla podanych funkcji f , punktów x 0 oraz n :

a) f ( x )= x 3 , x 0 = − 1, n =4;

b) f ( x )= 1

x 2 , x 0 =1, n =2;

c) f ( x )=sin2 x , x 0 = , n =3;

d) f ( x )= e

− x , x 0 =0, n =5; e) f ( x )= 1

x , x 0 =2, n =3; f) f ( x )=ln x , x 0 = e , n =4.

5.4. Napisać wzory Maclaurina z n tą resztą Lagrange’a dla funkcji:

a) f ( x )=sin x

e x .

5.5. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanychprzedziałach:

a) tg x ≈ x , | x |

12 ;

b) cos 2 x ≈ 1 − x 2 , | x | 0 . 1;

√

1+ x ≈ 1+ x

− x 2

8 , | x | 0 . 25; d) ln(1 − x ) ≈− x − x 2

− x 3

3 , | x | < 0 . 1.

5.6. Stosując wzór Maclaurina obliczyć:

e z dokładnością 10 − 3 ;

b) 3

√

0 . 997 z dokładnością 10 − 3 ;

c) ln1 . 1 z dokładnością 10 − 4 ;

d) sin0 . 1 z dokładnością 10 − 5 .

Lista6

6.1. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć granice:

ln(2 x +1)

lnsin

2 x

ln x

x − arctg x

x 2

a) lim

x →∞

;

b) lim

x → 1

;

c) lim

x → 0

;

d) lim

x → 1

x 10 − 10 x +9

x 5 − 5 x +4 ; e) lim

x → 0

lncos x

lncos3 x ; f) lim

x →∞ x arcctg x ;

g) lim

x → 0 + x ln x ;

h) lim

x → − ( − x )tg x

2 ;

i) lim

x → 0 −

− ctg x

;

x ;

arctg x

j) lim

x → 0

(cos x )

k) lim

x →∞

;

l) lim

x → 0 +

(1+ x ) ln x .

3 ; b) f ( x )= ch x ;

c) f ( x )=cos x ; d) f ( x )= x

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: