2
5.4. Dopasowywanie szerokopasmowe – niejednorodne linie profilowane
Pierwotnym zamierzeniem nie było tak szerokie potraktowanie tego zagadnienia, ale w trakcie jego przygotowywania okazało się, że w bardzo wielu podręcznikach, zarówno polskich jak i anglosaskich znajduje się szereg niedomówień, niejednoznaczności i błędów, dlatego zdecydowano się zamieścić tu szerszą wersję, porządkującą nieco, niejasno przedstawione podstawy.
Problem dopasowywania anten można podzielić wg już podanego schematu na rys. 2.2 i 2.3. Anteny wąskopasmowe można dopasowywać sposobami znanymi z kursu Techniki Mikrofalowej. W przypadku anten wąskopasmowych, jednym z ważniejszych sposobów jest zwykły transformator ćwierćfalowy, który jest przypomniany poniżej. Główna uwaga w tym rozdziale jest skupiona na rozwiązaniach bardzo szerokopasmowych, które nadawałyby się do systemów antenowych UWB. Rozwiązaniem takim są transformatory na niejednorodnych liniach profilowanych. Linie takie zapewniają doskonałe dopasowanie w szerokim paśmie częstotliwości. Ich wadą jest ich długość fizyczna niezbędna do uzyskania pożądanego wyniku. Głównym czynnikiem wpływającym na długość, dla wybranego już profilu, jest ustalona dolna częstotliwość pracy. Dla częstotliwości 0, wartość współczynnika odbicia Γ0 wynika z bezpośredniego połączenia dopasowywanych impedancji, tak jakby nie było transformatora. Następnie w miarę wzrostu częstotliwości moduł współczynnika odbicia maleje, aby na ustalonej dolnej częstotliwości pracy uzyskać maksymalną dopuszczoną dla pasma pracy wartość |ΓM|. Dalej, w miarę wzrostu częstotliwości, moduł współczynnika odbicia oscyluje w sposób zależny od wybranego profilu, nie przekraczając jednak maksymalnej dopuszczalnej wartości.
5.4.1. Transformator ćwierćfalowy - zestawienie podstawowych własności
Dla przypomnienia, jeśli mamy dopasować dwie rezystancje, przykładowo, rezystancję wejściową anteny RA do rzeczywistej impedancji charakterystycznej linii zasilającej R0, to impedancja charakterystyczna dopasowującego odcinka ćwierćfalowego powinna wynosić:
. (5.113)
Oczywistą wadą tego rozwiązania jest wąskopasmowość. Można pokazać, że moduł współczynnika odbicia w funkcji długości elektrycznej Θ = βl wynosi:
. (5.114)
W okolicy obszaru dopasowania, czyli tam, gdzie długość elektryczna Θ jest bliska π/2, wzór (5.114) można przybliżyć następującą relacją (Collin, 1992):
. (5.115)
Ze wzoru tego można łatwo otrzymać zależność na szerokość pasma wyrażoną poprzez długość elektryczną ΔΘ, dla której moduł współczynnika odbicia nie przekracza dopuszczalnej wartości |Γ|max:
. (5.116)
Może warto jeszcze przypomnieć, że jeżeli zamiast rezystancji RA układ charakteryzuje się zespoloną impedancją, to zgodnie z zasadami dopasowywania, można poszukać wzdłuż linii takiego przekroju, w którym impedancja staje się rzeczywista i w tym miejscu umieścić transformator.
Kolejnym krokiem w kierunku większej szerokopasmowości jest zastosowanie kaskady transformatorów. Nie wnikając w teorię tego typu rozwiązań, by przejść od razu do kolejnego etapu, podano poniżej relację na szerokość pasma ΔΘ dla przypadku N transformatorów ustawionych kaskadowo, dla projektu z maksymalnie płaską odpowiedzią (Collin, 1992):
. (5.117)
5.4.2. Niejednorodne linie profilowane – sformułowanie problemu
W sytuacji gdy ilość transformatorów połączonych kaskadowo wzrasta do nieskończoności, w granicy otrzymujemy strukturę pozwalającą na płynne przejście od znormalizowanej impedancji linii zasilającej Z0 = 1 do znormalizowanej impedancji obciążenia ZL = RL, tak jak pokazano to schematycznie na rys. 5,5a.
(a) (b)
Rys. 5.42. Niejednorodna linia profilowana o długości L, łącząca impedancje (rzeczywiste) Z0 i ZL (a) oraz jej model zastępczy w postaci linii schodkowej z elementów o długości dz (oś z jest równoległa do struktury i skierowana w prawo)(b)
Rozpoczynając analizę struktury niejednorodnej, pokazanej na rys. 5.42, należy sformułować cel poszukiwań. Interesujące są dwa problemy:
Problem analizy: dla danej funkcji Z(z) opisującej zmiany impedancji wzdłuż linii, a w konsekwencji zmiany przekroju poprzecznego prowadnicy, określić moduł współczynnika odbicia na wejściu struktury |Γwe(β,L)|[1], który pozwali na natychmiastowe otrzymanie relacji |Γwe(f)|, lub |Γwe(λ)| dla stałego L oraz Γwe(L)| dla stałego f lub λ.
Problem syntezy: Dla pożądanej funkcji |Γwe( f )| określić Z(z) i L, które taką pożądaną funkcję są w stanie zrealizować.
O ile pierwszy problem daje zawsze jednoznaczne rozwiązanie, o tyle problem syntezy może mieć nieskończenie wiele rozwiązań, lub nie mieć ich wcale, lub może prowadzić do rozwiązań nierealizowalnych technicznie (np., L = ∞).
W dalszej analizie poczyniono założenie, że impedancja charakterystyczna linii profilowanej, w dowolnym jej przekroju z0, jest taka, jaką by była impedancja charakterystyczna linii jednorodnej o takich samych wymiarach jakie posiada linia profilowana w przekroju z0. Założenie to w ogólności nie jest prawdziwe i ogranicza rozważania do sytuacji, gdy profil, czyli Z(z) zmienia się powoli w funkcji z. Stąd wynika konieczność zachowania pewnej ostrożności w stosowaniu dalej prezentowanych wyników, by czasem nie uzyskać rewelacyjnych rozwiązań, które daleko odbiegają od rzeczywistości fizycznej.
5.4.3. Analiza – równania różniczkowe linii profilowanych
W celu uzyskania równania różniczkowego opisującego niejednorodną strukturę profilowaną, rozważmy jej model schodkowy pokazany na rys. 5.42a. Zastosujemy zwykłą metodę transformacji impedancji wzdłuż linii, korzystając z znanego wzoru na wejściową impedancję odcinka linii o impedancji charakterystycznej Z0, obciążonego impedancją ZL i o długości elektrycznej Θ = βl:
. (5.118)
Odnosząc ten wzór do dowolnego odcinka dz analizowanego profilu można przyjąć, że impedancja wejściowa odcinka jest Zwe, a jego obciążenie na odcinku dz doznało przyrostu dZwe:
. (5.119)
Jako Z0 podstawimy bieżącą wartość Z(z): Z0 = Z, a długość elektryczna odcinka wyniesie: . Ponieważ dz jest małe, zachodzi: . Dalej, korzystając ze wzoru przybliżonego dla małych x:
(5.120)
oraz pomijając iloczyny dwóch różniczek otrzymamy:
. (5.121)
Pamiętamy z techniki mikrofalowej, że:
, (5.122a)
lub . (5.122b)
Równanie (5.122b) można wykorzystać dwukrotnie: do eliminacji Zwe z prawej strony równania (5.121) oraz, obliczając jego pochodną po z, do eliminacji Zwe po lewej stronie (5.121). Korzystając jeszcze z własności: Z -1dZ/dz = d(lnZ)/dz otrzymamy równanie różniczkowe opisujące własności każdej dowolnej niejednorodnej linii profilowanej spełniającej podany już warunek, że dZ/dz jest dostatecznie małe, czyli, że kształt profilu nie zmienia się gwałtownie:
. (5.123)
Ten typ równania różniczkowego nazywa się równaniem różniczkowym Riccatiego. Ze względu na składnik Γ2 jest to równanie nieliniowe i jego całka ogólna nie jest znana. Rozwiązania analityczne są możliwe tylko dla niektórych szczególnych przypadków. Ponieważ profil zmienia się powoli w funkcji z i |Γ|2<<1, można się pozbyć kłopotliwego członu (1–Γ2) i równanie (5.123) sprowadzić do postaci:
. (5.124)
Jest to równanie opisujące wypadkową wartość współczynnika odbicia w dowolnym przekroju z wzdłuż profilu. Rozwiązanie tego równania dla współczynnika odbicia na wejściu profilu ma postać:
. (5.125)
Równanie (5.125) rozwiązuje, postawiony na początku, problem analizy. Dla danego profilu, opisanego funkcją Z(z) można podać współczynnik odbicia na wejściu profilu, zarówno w funkcji długości profilu jak i długości fali, lub częstotliwości. Ograniczenia tego wzoru, związane z poczynionymi uproszczeniami, ujawnią się w podanych dalej przykładach.
5.4.4. Transformaty Fouriera i synteza profilu
Równanie (5.125) jest powiązane z transformatą Fouriera. By to pokazać, można dokonać za Collinem (Collin, 1992) następujących podstawień normalizujących do równania (5.125):
oraz . (5.126)
Otrzymamy:
. (5.127)
Dokonując teraz następujących oznaczeń:
oraz , ...
czuczu35