TRANSFORMACJA LORENTZA.doc

(539 KB) Pobierz

TRANSFORMACJA LORENTZA

1887 r . doświadczenie Michelsona – Morley’a (M-M)

sprawdzanie natury eteru świetlnego i wyznaczenie prędkości światła

względem niego.

Wynik doświadczenia:

Prędkość światła c jest niezmiennicza; tzn. prędkość światła jest taka sama, niezależnie od tego czy jest ona mierzona przez obserwatora znajdującego się w układzie stacjonarnym , czy też przez obserwatora znajdującego się w układzie poruszającym się ze stałą prędkością względem źródła światła.

Wnioski te były podstawą teorii względności Einsteina.

Założenia prowadzące do Transformacji Lorentza (TL):

(patrz rys 1.1 Mechanika Klasyczna)

Układ S1 jest w spoczynku,

Układ S2 porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym wzdłuż osi x-ów z prędkością ,

W chwili początkowej ze wspólnego początku obu układów

wysłany zostaje błysk światła. Światło jest falę kulistą, której czoło fali jest sferą o promieniu zwiększającym się z prędkością światła

w układzie :

(2.1a)

w układzie :

(2.1b)

Równanie czoła fali ma postać:

W układzie :

(2.2a)

w układzie :

(2.2b)

Korzystamy z TG , wyrażenia na współrzędne z równania (1.6a-c) wstawiamy do równania (2.2b), otrzymujemy wówczas:

(2.3)

Jak widać równanie (2.3) nie jest identyczne z równaniem (2.2a) czoła fali w układzie.

Wniosek

TG przestaje być słuszna, jeżeli prawdziwa jest zasada niezmienniczości prędkości światła

Szukamy transformacji, która spełnia następujące warunki:

- Przechodzi w TG gdy

- Zmienia wyrażenie (2.2b) w wyrażenie (2.2a)

Transformacja ta musi spełniać następujące założenia:

1) być prosta dla i , bo oraz przechodzi odpowiednio w oraz

2) być liniowa względem i , ponieważ musimy otrzymać sferyczne czoło fali rozszerzające się ze stałą prędkością

3) czas musi również podlegać transformacji, o ile wyrazy mają zniknąć w równaniu (2.3), czyli

Zastosujmy transformację:

(2.4a-d)

Transformację (2.4a-d) wstawiamy do wzoru (2.2b) i otrzymujemy:

(2.5)

Żądamy spełnienia warunku:

(bo transformacja powinna być liniowa względem oraz ), stad dostajemy wyrażenie na nieznaną wielkość :

, wówczas transformacja czasu ma postać:

(2.6)

Wstawiamy (2.6) do (2.5) i otrzymujemy:

(2.7)

Równanie (2.2b) przejdzie w równanie czoła fali (2.2a) gdy przyjęta zastanie następująca transformacja:

(2.8a-d)

Równania (2.8a-d) stanowią Transformację Lorentza (TL). TL zachowuje niezmienniczość prędkości światła.

Dla TL przechodzi w TG.

Standardowa forma zapisu TL:

Stosujemy podstawienia:

Wówczas TL jest zapisana w następującej postaci:

(2.9a-d)

Transformacja odwrotna ma postać:

(2.10a-d)

Zasada Korespondencji (odpowiedniości) Bohra sformułowana w 1932r.

Każda nowa teoria w fizyce musi sprowadzić się do dobrze ugruntowanej odpowiedniej teorii klasycznej, jeśli stosuje się ją w specjalnej sytuacji, gdy wiadomo, że mniej ogólna teoria jest słuszna. Innymi słowy TL TG dla

Konsekwencje TL:

1. Kontrakcja przestrzeni: np. skrócenie długości

Przykład: oznaczmy przez długość pręta mierzoną wzdłuż osi x-ów gdy pręt jest w spoczynku w układzie

przez długość pręta mierzoną w układzie , który porusza się względem ruchem jednostajnym prostoliniowym wzdłuż osi x-ów z prędkością

W układzie długość pręta wynosi:

(2.11)

natomiast w układzie :

(2.12)

Górne wskaźniki odnoszą się do układów współrzędnych

Uwaga: pomiary wykonujemy w tym samym czasie,

We wzorze (2.11) wykorzystujemy TL przedstawioną równaniem

(2.10a-d) i wówczas otrzymujemy:

(2.13)

Podstawiając równanie (2.12) do (2.13) otrzymujemy:

(2.14a)

Lub w równoważnym zapisie:

(2.14b)

Z równań (2.14a-b) wynika ,że . Jest to tzw. skrócenie Lorentza- Fitzgeralda pręta poruszającego się równolegle do swojej długości.

2. Dylatacja czasu jest zjawiskiem polegającym na wydłużeniu odstępów czasu mierzonych przez zegar będący w ruchu

Przykład: Zegar znajduje się w układzie w spoczynku w początku układu współrzędnych (). Układ jest układem własnym dla zegara, a wynik pomiaru odstępu czasu nazywa się czasem własnym. Układ porusza względem wzdłuż osi x-ów z prędkością .