materialy_sem1_A_Karpio_matematyka_pochodne.pdf

(319 KB) Pobierz
(Microsoft Word - Wyk\263ad 3 Pochodne funkcji.DOC)
3.RachunekróŜniczkowyfunkcjijednejzmiennej
3.1.Pochodnafunkcji
Wrozdzialetymbędziemyzajmowalisięfunkcjamiokreślonyminaprzedzia
łach otwartych przede wszystkim dlatego, aby nie zaciemniać rozwaŜań zbytnimi
szczegółami. Definiowane pojęcia moŜna uogólnić na przypadek przedziałów obu
stronnielubjednostronniedomkniętych,aleniebędzietoprowadziłodoistotniein
nychpojęć.Kłopotypojawiąsięjedyniewpunktachkońcowych,dlategoskoncentru
jemysięnaprzedziałachobustronnieotwartych.PoniewaŜpojęciepochodnej,któreza
chwilępodamy,macharakterlokalny,tzn.masenswpewnymotoczeniuwybranego
punktu,więcjestbezznaczenianajakimzbiorzezdefiniowanajestfunkcja„daleko”
od ustalonego punktu, w szczególności dziedziną moŜe być suma dwóch lub kilku
przedziałów.PonadtoprzedziałemotwartymjestrównieŜzbiórwszystkichliczbrze
czywistych,awięctenprzypadekrównieŜbędzieuwzględniony.Potychkilkuuwa
gachnaturytechnicznejprzejdźmydogłównegowątku,któryrozpoczniemyoddefi
nicjipochodnej.
Definicja3.1.1
Niechfunkcjafbędzieokreślonanaprzedzialeotwartym: ( ) R
f
:
a
,
b
®
,nato
miast x jestustalonympunktemdziedziny ( )
0 Î ,zaś 0
b
¹ h hniechbędzietaką
liczbą,Ŝe
x
0
+
h
Î
( )
,
b
.JeŜeliistniejeskończonagranica:
(
lim
f
x
0
+
) ( )
h
−
f
x
0
h
®
0
tonazywamyjąpochodnąfunkcjifwpunkciex 0 ioznaczamysymbolem ( )
f ¢ .Wy
x
raŜeniestojącepodznakiemgranicy:
f
(
x
0
+
) ( )
h
−
f
x
0
nazywasięilorazemróŜnico
wymioznaczasięjesymbolem:
D ,
0
f
( )
x
h
.
D
Wpodanejdefinicjipunktx 0 ,wktórymliczymypochodnąjestustalony,wtedy
punkt h
x + 0 jest jakimś innym punktem dziedziny, gdyŜ spełnia warunek
( )
+ .WtensposóbilorazróŜnicowymoŜnatraktowaćjakopewnąfunkcję
zmiennejh.Natomiastpochodnajestgranicątejfunkcjiliczonąwzględemzmiennejh.
Wmyślpodanejdefinicjipochodnawpunkciejestliczbą,poniewaŜgranicamabyć
skończona,ax 0 jestkonkretnympunktem.PochodnafunkcjiwpunkciemoŜenieist
niećzdwóchpowodów:albogranicailorazuróŜnicowegonieistnieje,alboniejest
skończona.
0
h
Î
a
,
b
Niekiedypochodnąfunkcjiwpunkcieoznaczasięsymbolem
df 0
( )
dx
x
,wktórym
poziomakreskanieoznaczakreskiułamkowej,chociaŜjaksiępóźniejokaŜewygod
niejestczasamizapomniećotymitraktowaćtensymboljakodzieleniedwóchwyra
Ŝeń.Wtymrozdzialebędziemyjednakunikalitegosymboluikorzystaliztego,które
1
x ,
a
h
h
x
x
741301225.004.png 741301225.005.png
x Î przyporządkowuje pochodną funkcji f w tym punkcie oznaczamy
symbolem f ¢ inazywamypochodnąfunkcjifnazbiorzeX.
Zprzytoczonejdefinicjiwynika,Ŝedziedzinywyjściowejfunkcjiijejpochod
nejmogąbyćróŜne.WniektórychpunktachdziedzinyfunkcjifjejpochodnamoŜenie
istniećzpowodówwspomnianychwyŜej.Pochodnafunkcjiwpunkciemaprzejrzystą
interpretacjęgeometryczną.
RozwaŜmyfragmentwykresufunkcjiipękprostychwychodzącychzjednegoi
tegosamegopunktu ( )
(
x
0 , x
f
0
)
,sytuacjętakąilustrujerysunek.
f
( )
Rys.3.1.1Geometrycznainterpretacjapochodnejfunkcjiwpunkcie.
PrzejściedogranicyzhdąŜącymdozera,przyustalonymx 0 ,oznacza,Ŝeprawypunkt
(w kontekście rysunku) rozwaŜanych prostych zbliŜa się do punktu ( )
f
(
x
+ 0
h
)
C
A
xf
( )
0
B
x 0
x 0 +h’’
x 0 +h’
x 0 +h
x
x i w
granicy(jeśligranicaistnieje)pokryjesięznim.Takotrzymana„graniczna”prostaz
definicji nazywa się styczną do krzywej (będącej w naszym przypadku wykresem
funkcjif)wpunkciex 0 .Znanezelementarnegokursumatematykiokreśleniestycznej,
jakoprostejmającejzkrzywąjedenpunktwspólny,wogólnymprzypadkumoŜepro
wadzićnamanowce.Przedewszystkimzdwóchpowodów.Popierwsze,częstozdarza
się,Ŝeistniejenieskończeniewieleprostychmającychzzadanąkrzywąjedenpunkt
wspólny.Dlategotakadefinicjaniezadajestycznejjednoznacznie.Jakoprzykładroz
waŜmywykresfunkcji ( )
(
0 , x
f
0
)
f = ipunktbędącypoczątkiemukładuwspółrzędnych.
Jakpokazujerysunek,istniejenieskończeniewieleprostychprzecinającychparabolę
wtympunkcie,aletylkojednaspełniapodanądefinicję.Jestniąoś OX
x
2
2
go uŜyliśmywdefinicji.Dowspomnianego oznaczeniapowrócimywrozdzialepo
święconymrównaniomróŜniczkowym.
Definicja3.1.2
Funkcjaf,któramapochodnąwkaŜdympunkciepodzbioruXdziedzinynazy
wasięfunkcjąróŜniczkowalnąnazbiorzeX.Natomiastodwzorowanie,którekaŜdemu
punktowi X
741301225.006.png
Rys. 3.1.2 Spośród wszystkich prostych, które przecinają parabolę w jedynym
punkcie, którym jest początek układu współrzędnych, tylko jedna jest granczną
postaciąsiecznychjesttoośOX.Itowłaśnietaprostajeststycznąwtympunkcie.
Podrugie,„szkolna”definicjanieuwzględniastycznejdoprostej.Natomiastzwpro
wadzonegoprzeznasokreśleniawynika,Ŝestycznądoprostejjesttasamaprosta,a
więcpunktówwspólnychjestnieskończeniewiele.
Wcześniejwspomnieliśmy,Ŝepochodnawpunkciejestliczbą,zobaczmywięc
jakimasens.Narys.3.1.1grubszymiliniamiwyróŜnionopewneodcinki.Itak,odci
nekzaznaczonynaosiOYmadługośćrówną (
Y
0
X
+ ijestonarównadługo
ściprzyprostokątnejBCwtrójkącieABC.PodobnienaosiOXwyróŜnionyodcinekma
długośćrównąhijestonarównadługościBCpodstawy(drugaprzyprostokątna)trój
kąta ABC .StosunekdługościtychodcinkówjestilorazemróŜnicowymidlacięciwy
przechodzącejprzezpunktyAiCjestrównytangensowikąta,jakitworzyonazosią
OX . Dla siecznej, w której zawiera się rozwaŜana cięciwa, liczba ta nazywa się jej
współczynnikiemkierunkowym.Przechodzącdogranicy,awięcbiorąccorazmniej
sze wartości h, otrzymujemy współczynniki kierunkowe siecznych, których prawy
punktzbliŜasiędopunktuA.Wgranicy,gdysiecznastaniesięstyczną,ilorazróŜni
cowybędziewspółczynnikiemkierunkowymstycznejdowykresufunkcjiwpunkcie
x 0 .Samastycznabędziemiałarównanie:
( )(
f
x
0
h
) ( )
0
−
f
x
=
którełatwootrzymaćznającwspółczynnikkierunkowy(czyli ( )
y
f
¢
x
0
x
−
x
0
) ( )
+
f
x
0
f ¢ )orazwiedząc,Ŝe
x
x .MoŜnawtymmiejscu
stwierdzić,Ŝegeometrycznywarunekistnieniapochodnejfunkcjiwpunkciejestwa
runkiemnaistnieniestycznejdowykresufunkcjiwtympunkcie.Prostymprzykładem
funkcji, która nie ma stycznej w punkcie 0
(
0 , x
f
0
)
= x jest funkcja ( ) x
f = , jej wykres
przedstawiarysunek.
3
prostataprzechodziprzezpunktowspółrzędnych ( )
741301225.007.png
f =
x
Rys.3.1.3Przykładfunkcji, którawjednympunkcieniejestróŜniczkowalna.Brak
pochodnejwynikazniejednoznacznościwwyznaczaniustycznejdowykresu.
Rys.3.1.4Nieciągłośćfunkcjiwpunkciejestpowodemnieistnieniajednoznacznie
określonejstycznej,atooznacza,Ŝewtympunkciefunkcjaniemapochodnej.
WpunkcienieciągłościmoŜnanarysowaćdwieproste.Pochyłaprostajestgranicącię
ciw,którychustalonympunktemjestpunkt nieciągłości,adrugi, ten którydąŜydo
pierwszego, leŜy na prawej części wykresu. JeŜeli jednak „ruchomy” punkt będzie
znajdowałsięnalewejczęściwykresu,togranicznącięciwąbędzieprostapionowa.
Niedość,ŜeinnaniŜpoprzednia,tojeszczenadodatekgranicailorazuróŜnicowego
będziewtymprzypadkurównanieskończoności,awdefinicjipochodnejgranicamusi
byćskończonaPrzytoczonyprzykładjestilustracjąpierwszegotwierdzeniadotyczą
cegoistnieniapochodnej.
4
( ) x
x
LiniamiprzerywanymizaznaczonoprzedłuŜeniaprostych,zktórychskładasię
wykresfunkcji,iktóre„pretendują”dorolistycznych.JeŜelirozwaŜamyprawączęść
wykresu,tozdefinicji,jakostyczną,otrzymamyinnąprostąniŜwtedy,gdyrozwaŜa
my lewą część wykresu. Owa niejednoznaczność jest powodem tego, Ŝe styczna w
początkuukładuwogólenieistnieje.NaleŜypamiętać,Ŝepochodnawpunkciejest
granicą,agranicajesttylkojedna.
Podobnasytuacjamamiejscewtedy,gdyfunkcjaniejestwjakimśpunkciecią
gła.Szczególnyprzypadekfunkcjinieciągłejwjednympunkciepokazujerysunek.
741301225.001.png
Twierdzenie (o warunkukoniecznymistnieniapochodnej )
JeŜelifunkcja ( ) R
f
:
a
,
b
®
mapochodnąwpunkcie ( )
x ,
0 Î ,tojestwtym
b
punkcieciągła.
f = ,którajestciągławpoczątkuukładuwspółrzędnych,ale
niemawnimpochodnej.DotychczasowerozwaŜaniazilustrujemyprzykładem.
Przykþad 3.1.1
RozwaŜmyfunkcję ( )
f ,jejwykresemjestparabolapołoŜonasyme
trycznie względem osi OY i wierzchołku w punkcie (
x
= x
2
+
1
0 . Policzmy z definicji po
chodnątejfunkcjiw 1
0 x ,wartośćfunkcjiwtympunkciejestrówna ( ) 2
f
1 =
.Iloraz
róŜnicowy,dla 0
¹ h ,jestrówny:
( ) ( ) ( ) ( )
D
f
1
h
f
1
+
h
−
f
1
1
+
h
2
+
1
−
( )
2
+
1
2
h
+
h
2
=
=
=
=
2
+
h
D
x
h
h
h
Obliczenie granicyotrzymanegowyraŜenianieprzedstawiaŜadnejtrudności, mamy
bowiem:
lim
D
f
( )
1
h
=
lim
(
2
+
h
) 2
=
. Wynik ten oznacza, Ŝe pochodna funkcji f w
h
0
D
x
h
0
®
®
f . Podstawiając znalezioną wartość pochodnej
orazwartośćfunkcjidowzorunastycznąznajdujemy:
( ) 1
0 x jest równa 2: ( ) 2
¢
1 =
y
co po przekształceniu prowadzi do równania: x
= x
2 +
−
y 2 = . Otrzymany wynika ilustruje
rysunek.
Rys.3.1.5Rysunekilustrującyprzykładwyznaczaniastycznejdoparaboliwpunkcie
1
y 2 =
x
f
( ) 2
1 =
0 x
1
0 x .Pochodnafunkcji ( )
f
x
= x
2
+
1
w 1
0 x jestrówna ( ) 2
f
¢
1 =
itojestwartość
współczynnikakierunkowegostycznejdowykresuwtympunkcie.
RozwaŜanafunkcjaposiadapochodnąwkaŜdympunkciedziedziny.MoŜnasię
otymprzekonaćpowtarzającpowyŜszyrachunek,alenienadającpunktowix 0 kon
kretnejwartości.IlorazróŜnicowyprzyjmujewówczaspostać:
5
Sformułowaliśmywtensposóbwarunekkoniecznyistnieniapochodnej.Wyni
kazniego,Ŝejeślifunkcjaniejestciągławjakimśpunkcie,tonapewnoniemawnim
pochodnej.Natomiastciągłośćwpunkcienie gwarantuje istnienia pochodnej.Przy
kłademjestfunkcja ( ) x
1
punkcie 1
741301225.002.png 741301225.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin