koszałka,teoria sygnałów, Widmo sygnału.pdf

Widmo sygnału

Przypadek ciągły – z rozwinięcia w szereg Fouriera

X = ∫ −∞

∞

x  t  e − j  t dt gdzie =2 f a w efekcie X  f = ∫ −∞

x  t  e − j 2 f t dt

transformata odwrotna

x  t = 1

∞

2 ∫ −∞

X  f  e j 2 f t df

Funkcje e − j 2 f t

są do siebie ortogonalne więc stanowią bazę przestrzeni !!!

Przypadek dyskretny – równanie DFT:

X  k = ∑ n =0

x  n  e − j 2 kn / N

gdzie 0≤ k ≤ N −1 (dyskretne częstotliwości)

formuła wyznaczania częstotliwości dyskretnych: f k = kF s

(dlaczego akurat takie? !!!)

tr. odwrotna:

x  n = 1

N −1

N ∑ k =0

X  k  e j 2 kn / N

gdzie 0≤ n ≤ N −1

Jeżeli wynik DFT zapiszemy jako liczbę zespoloną

X  k = A  k  e j  k  = X r  k  jX i  k 

to:

– moduł widma

∣ X  k  ∣ = A  k =   X r 2  k  X i 2  k 

– faza widma

arg  X  k = k =arctan  X i  k 

X r  k  

– widmowa gęstość mocy

P  k =∣ X  k ∣ 2 = X  k  conj  X  k =[ X r  k  j X i  k ][ X r  k − j X i  k ]= X r 2  k  X i 2  k 

Transformata DFT dla sygnałów 2D

Jeżeli mamy obraz np.

o  x,y  x,y ∈ℤ

N x −1

 ∑ y =0

 = ∑ x =0

N x −1

N y −1

O  k,l = ∑ x =0

e − j 2 kx / N x

o  x,y  e − j 2 l y / N y

∑ y =0

o  x,y  e − j 2 ly / N y e − j 2 k x / N x

∞

N −1

N y −1

Własności

Symetria

Dla sygnałów rzeczywistych ciągłych !!! i dyskretnych zachodzi:

∣ X  k ∣=∣ X − k ∣ i  k =−− k 

lub inaczej X  k = conj  X − k  , X r  k  jX i  k = X r − k − j X i − k  (można pokazać

przez wstawienie -k do równania DFT)

Liniowość

Zachodzi dla sygnałów ciągłych i dyskretnych:

dla x  n = a y  n  bz  n  mamy

X  k = aY  k  bZ  k 

Okresowość

Dla dyskretnych

X  k = X  m ∗ N  k  , m ∈ℤ(pokazać)

Przesunięcie w czasie

dla x  n = y  n  n 0  mamy

N −1

y  n  e − j 2 n  n 0 

= e − j 2 n 0

X  k = ∑ k =0

Y  k = e j  0 k Y  k 

(przesunięcie fazy widma o stały czynnik)

Przesunięcie w częstotliwości

dla X  k = Y  k  k 0 = 1

N −1

Y  k  k 0  e − j 2 k  k 0 

N ∑ k =0

mamy

y  n = e j  0 n y  n 

(przemnożenie przez stałą częstotliwość)

j 2 k 0

Istnienie FT/DFT dla sygnałów okresowych i nieokresowych

DFT istnieje tylko dla sygnałów okresowych !!!

(proszę sobie przypomnieć przykład z aproksymacją linii prostej – Notatki4 BS)

Jeżeli sygnał transformowany nie jest okresowy to konsekwencją jest przeciek widma .

N=512; Fs=512; n=(0:N-1)/Fs; x=sin(2*pi*50*n); y=sin(2*pi*50.17*n);

plot(n,x,n,y);

X = fft(x); Y = fft(y); f = ((0:N-1)/N)*Fs;

plot(f,abs(X),'b*',f,abs(Y),'r*');

x  n = e

Najpowszechniejsze lekarstwo – okienkowanie sygnału

x w  n = w  n  x  n 

N=256; Fs=N; n=(0:N-1)./Fs;

x=sin(2*pi*20*n); y=sin(2*pi*20.17*n);

plot(n,x,';x(n);',n,y,';y(n);');

w = bartlett(N)';plot(n,w,n,y.*w); %% okienko trójkątne

w = hamming(N)';plot(n,w,n,y.*w);

w = hanning(N)';plot(n,w,n,y.*w);

w = gausswin(N,3)';plot(n,w,n,y.*w);

xw= x.*w; yw = y.*w;

X=fft(x);XW=fft(xw);Y=fft(y);YW = fft(yw);f = ((0:N-1)/N)*Fs;

plot(f,abs(Y),'ro',f,abs(YW),'b*'); %% zmniejszony przeciek, ale nic za darmo

plot(f,abs(X),'ro',f,abs(XW),'b*');

Dlaczego tak się dzieje (rozmycie głównego prążka)?

x w  n = w  n  x  n  X w  k = X  k ∗ W  k 

wb = bartlett(N);

whm = hamming (N);

whn = hanning (N);

wg3 = gausswin (N,3); wg10 = gausswin(N,10);

plot(n,wb,n,whm,n,whn,n,wg3,n,wg10);

Wb = fft(wb);

Whn = fft(whn);

Whm = fft(whm);

Wg3=fft(wg3); Wg10=fft(wg10);

f = (0:N-1)/N;

plot(f,log10(abs(Wb)),f,log10(abs(Whn)),f,log10(abs(Whm)));

plot(f,log10(abs(Wg3)),f,log10(abs(Wg10)));

Zwiększanie rozdzielczości częstotliwościowej

Zwiększenie N powoduje więcej prążków częstotliwości – skąd wziąć dodatkowe próbki ?

N=32;n=(0:N-1);Fs=1;x=sin(2*pi*.27*n);plot(n,x);

X=fft(x);f=(-N/2:N/2-1)/N;plot(f,fftshift(abs(X)));

N=32;n=(0:N-1);Fs=1;x=sin(2*pi*.27*n);

y=[x,zeros(1,N)];M=size(y,2);m=(0:M-1);plot(m,y);

X=fft(x);fx=(-N/2:N/2-1)/N; Y=fft(y);fy=(-M/2:M/2-1)/M;

plot(fx,fftshift(abs(X)),fy,fftshift(abs(Y)));

FFT

Koszt obliczeniowy

DFT = N 2

FFT = N /2 log 2  N 

FFT o podstawie 2

X  k = ∑ n =1

x  n  e − j 2 k n / N

podstawmy W N = e − j2 / N

X  k = ∑ n =1

x  n  W k n

i podzielmy próbki na parzyste i nieparzyste:

X  k = ∑ n =1

N /2

x 2n W 2nk  ∑ n =1

N /2

x 2n1 W N 2n1 k = ∑ n =1

N /2

x 2n W 2nk  W k ∑ n =1

N /2

x 2n1 W 2nk

ponieważ

W 2 = e − j 22/ N = e − j 2/ N /2 = W N /2

N /2

X  k = ∑ n =1

x 2n W N /2

 W k ∑ n =1

x 2n1 W N /2

Podzielmy teraz częstotliwości na dwie połowy l dla 1≤ k ≤ N /2 i

l  N /2 dla N /21≤ k ≤ N

X  l  N /2= ∑ n =1

N /2

 W N  l  N /2 ∑ n =1

N /2

x 2n W N /2

n  l  N /2

x 2n1 W N /2

n  l  N /2

zobaczmy, że

W N /2

= W N /2

nl W N /2

nN /2

= W N /2

nl e − j 2 nN /2/ N /2 = W N /2

nl e − j 2 n = W N /2

oraz

W N  l  N /2 = W l W N /2 = W l e − j 2 nN /2/ N = W l e − j  n = W l −1=− W l

tak więc:

X  l  N /2= ∑ n =1

N /2

− W l ∑ n =1

N /2

x 2n W N /2

x 2n1 W N /2

i dla dolnych częstotliwości (poniżej N/2 )

N /2

X  l = ∑ n =1

x 2n W N /2

 W l ∑ n =1

x 2n1 W N /2

czyli:

X  l = A  l  W l B  l 

X  l  N /2= A  l − W l B  l 

n  l  N /2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: