wfi-drgania.pdf

Wst¦p do ﬁzyki - drgania, oscylator harmoniczny

1. Na niewa»kiej spr¦»ynie wisi kulka. Gdy do kulki dodano jeszcze pewien ci¦»arek, oka-

zało si¦, »e cz¦sto±¢ drga« zmieniła si¦ dwukrotnie, a punkt równowagi przesun¡ł si¦ o

x . Znale¹¢ cz¦sto±¢ drga« kulki zawieszonej na spr¦»ynie.

q 3 g

Odp.! =

2. Trampolina, po wej±ciu na ni¡ skoczka, ugi¦ła si¦ o x . Zakładaj¡c, »e trampolina ma

idealne własno±ci spr¦»yste i mas¦ zaniedbywalnie mał¡ w porównaniu ze skoczkiem,

obliczy¢ cz¦sto±¢ oscylacji trampoliny ze skoczkiem.

q g x

Odp.! =

k 1 + k 2 , b) K z = k 1 + k 2

4. Ci¦»arek o masie m , zawieszony na n iewa» kiej spr¦»ynie o stałej spr¦»ysto±ci k i długo-

±ci swobodnej l , drga z cz¦sto±ci¡ p k/m . Jak zmieni si¦ cz¦sto±¢ drga« ci¦»arka, gdy

kawałek spr¦»yny o długo±ci a zostanie odci¦ty?

Odp.! =

k 1 k 2

q lk

( l − a ) m

5. Na poziomym doskonale gładkim stole le»y, przymocowane spr¦»yn¡ do ±ciany ciało o

masie M . W ciało traﬁa pocisk o masie m lec¡cy poziomo z pr¦dko±ci¡ v i zostaje w

nim. Po zderzeniu ciało wraz z pociskiem wykonuje drgania harmoniczne z amplitud¡

A. Wyznaczy¢ cz¦sto±¢ tych drga«.

Odp.! =

( m + M ) A

6. rednia odległo±¢ mi¦dzy wybojami na drodze wynosi d . Jaka jest stała spr¦»ysto±ci

resoru samochodu o czterech kołach, je±li jad¡c z pr¦dko±ci¡ v samochód wpadł w re-

zonans.

Odp.k = 2 v 2 m

d 2

7. Dwa cylindryczne b¦bny o jednakowych promieniach szybko obracaj¡ si¦ w przeciwnych

kierunkach. Odległo±¢ mi¦dzy osiami b¦bnów wynosi l . Na b¦bny poło»ono swobodnie

jednorodny pr¦t o ci¦»arze P tak, »e jego ±rodek ci¦»ko±ci jest bli»ej jednego b¦bna.

Współczynnik tarcia mi¦dzy pr¦tem a ka»dym b¦bnem wynosi f . Udowodni¢, »e pr¦t

wykonuje drgania harmoniczne.

8. Ciało o masie M , na które działa siła F = a − bx (gdzie a i b to dodatnie stałe, a x

to poło»enie ciała), le»y na doskonale gładkiej powierzchni w punkcie x 0 = b . W chwili

pocz¡tkowej t = 0 w ciało uderza lec¡cy równolegle do podło»a pocisk o masie m . Pocisk

przeszywa ciało na wylot, zmniejszaj¡c przy tym swoj¡ pr¦dko±¢ o połow¦. Jaka musi

by¢ pocz¡tkowa pr¦dko±¢ pocisku v 0 , aby ciało uderzyło w murek poło»ony w punkcie

x mur = 3 b ?

Odp: v 0 = 4 m

q b

3. Jaka b¦dzie cz¦sto±¢ własna a) szeregowego i b) równoległego poł¡czenia spr¦»yn obci¡-

»onych mas¡ m o stałych spr¦»ysto±ci k 1 i k 2 ?

Uwaga: Nie u»ywa¢ gotowego wzoru, tylko rozwi¡za¢ równania ruchu.

Odp.! = p K z /m , gdzie a) K z =

9. W rurce o przekroju S zgi¦tej w kształcie litery ”U” znajduje si¦ słup wody o długo±ci

l , przy czym w chwili pocz¡tkowej poziom wody w jednym ramieniu rurki jest wy»szy

ni» w drugim. Jaki b¦dzie okres drga« słupa wody (pomin¡¢ siły lepko±ci)?

q 2 g

Odp: T = 2

10. Znale¹¢ ogólne rozwi¡zanie problemu oscylatora harmonicznego z tłumieniem, bez wy-

muszenia, je»eli cz¦sto±¢ drga« własnych oscylatora wynosi ! 0 , za± współczynnik tłu-

mienia a) > ! 0 b) < ! 0 . Naszkicowa¢ przykładow¡ zale»no±¢ poło»enia oscylatora

od czasu.

11. Na niewa»kiej spr¦»ynie o stałej spr¦»ysto±ci k i długo±ci swobodnej l 0 wisi klocek cz¦-

±ciowo zanurzony w cieczy o g¦sto±ci . Górny koniec spr¦»yny zamocowany jest na

wysoko±ci H nad poziomem cieczy. Klocek ma mas¦ m , długo±¢ h i przekrój poprzeczny

s . Znale¹¢ ruch klocka wychylonego z poło»enia równowagi, je±li podczas ruchu klocek

jest zawsze cz¦±ciowo zanurzony w cieczy. Pomin¡¢ tarcie oraz zmian¦ poziomu cieczy

podczas ruchu klocka.

Odp.x ( t ) = A cos( !t + ' ) + mg + gs ( H − h )+ kl 0

k + gs , gdzie ! =

q gs + k

12. Klocek o masie m spoczywaj¡cy na stole zamocowano mi¦dzy dwiema spr¦»ynami o

takich samych długo±ciach swobodnych l 0 o ró»nych współczynnikach spr¦»ysto±ci k 1

i k 2 . Szeroko±¢ klocka jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z odległo±ci¡ pomi¦dzy

punktami zamocowania spr¦»yn, która wynosi L > 2 l 0 . W pewnej chwili spoczywaj¡-

cemu klockowi nadano pr¦dko±¢ v . Znale¹¢ zale»no±¢ poło»enia klocka od czasu, je»eli

porusza si¦ on bez tarcia.

Odp.x ( t ) = ! sin !t +

k 1 + k 2 , ! =

q k 1 + k 2

13. Dwie jednakowe kulki o masie m poł¡czono spr¦»yn¡ o stałej spr¦»ysto±ci k i długo±ci

swobodnej l 0 , a nast¦pnie ka»d¡ z kul naładowano takim samym ładunkiem q . Znale¹¢

zale»no±¢ poło»enia kulek od czasu, je±li w chwili pocz¡tkowej kulki znajduj¡ si¦ w

odległo±ci l 0 jedna od drugiej i ich pr¦dko±ci s¡ równe zeru. Zało»y¢, »e amplituda

drga« jest du»o mniejsza od l 0 .

Odp.r ( t ) = − µl 0

2( k + µ ) cos !t + l 0 +

2( k + µ ) , ! =

µl 0

q 2( k + µ )

m , µ = q 2

2 " 0 l 3 0

14. Układ składa si¦ z dwóch kul o masie m , naładowanych ładunkami + q i − q poł¡czonych

spr¦»yn¡ o stałej spr¦»ysto±ci k i długo±ci swobodnej l 0 . W przybli»eniu małych drga«

znale¹¢ zale»no±¢ poło»enia kulek od czasu, je±li w chwili t = 0 kulki spoczywały w

odległo±ci l 0 od siebie.

r 2 m +

Odp.x 1 , 2 ( t ) = ±

2 ! 2 cos !t

2 ! 2 , ! =

m" 0 l 3 0 , =

q 2

2 " 0 l 2 0 m

( k 1 − k 2 ) l 0 + k 2 L

q 2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: