ANALIZA OBWODÓW RC W STANIE NIEUSTALONYM. Rozpatrzmy obwód przedstawiony na Rys.5. pobudzany napięciem u=Umsin(wt+ju). W analizowanym obwodzie zastosujemy NPK: u=Ri+uC, a następnie podstawimy i=C(duC/dt), otrzymując: RC(duC/dt)+uC = Umsin(wt+ju); RC(duCS/dt)+uCS=0. Rozwiązanie uCS ma postać wzoru Helmholtza: uCS=Ae-t/RC i zawiera składową stałą A zależną od warunku początkowego. Zatem pełna odpowiedź obwodu wynosi: uC = uCW + uCS = uCW + Ae-t/RC i po upływie dostatecznie długiego czasu dąży do uCW. Wprowadzone wyżej napięcia uCW i uCS noszą odpowiednio nazwę składowej wymuszonej i składowej swobodnej rozwiązania uC. Obwód RC opiszemy równaniem różniczkowym I rzędu: RC(duC/dt)+uC=eZ, przy czym RC=t nosi nazwę stałej czasowej obwodu. Dzielimy obie strony równania przez t: (duC/dt)+(1/t)uC=(1/t)eZ. Stałą A znajdujemy pisząc równanie : uC = uCW + Ae-t/RC dla chwili t=0. Otrzymujemy: A=uC(0)-uCW(0), co po rozwiązaniu prowadzi do pełnego rozwiązania: uC = uCW + [uC(0)-uCW(0)]e-t/t. Przy wyznaczaniu wartości początkowej uC(0) korzystamy z zas. zachowania ładunku kondensatora. Ładunek kondensatora q(t) nie może zmienić się momentalnie, a stąd wynika, że q(t) jest ciągłą funkcją czasu. Oznaczmy przez q(t0-) lewostronną, a przez q(t0+) prawostronną granicę q(t) w chwili t=t0. Zachodzi zależność q(t0-) = q(t0+) +t0-ò t0+iC(t)dt. Ponieważ t0+-t0-=0. Z zas. ciągłości ładunku wynika zas. ciągłości napięcia liniowego kondensatora o stałej pojemności C, czyli uC(t0+) = uC(t0-). Wykres uCS(t). ANALIZA OBWODÓW RL W STANIE NIEUSTALONYM. Weźmiemy pod uwagę obwód z Rys.7 i zbudujemy równanie tego obwodu, posługując się PPK przy uwzględnieniu zależności uL=L(diL/dt). Otrzymujemy: (diL/dt)+(1/t)iL=(1/t)iZ, gdzie t=L/RZ jest stałą czasową analizowanego obwodu. iL=iLw+Ae-t/t, gdzie A=iL(0)-iLw(0), a stąd: iL = iLw + [iL(0)-iLw(0)]e-t/t. W powyższych wymuszeniach iLw jest składową wymuszoną, a iLS = Ae-t/t składową swobodną prądu iL. Wyznaczając warunek początkowy iL(0), korzystamy z zas. zachowania strumienia magnetycznego skojarzonego z cewką. Według tej zasady strumień magnetyczny skojarzony nie może zmienić się momentalnie, czyli Y(t) jest ciągłą funkcją czasu. Oznaczamy przez Y(t0-) lewostronną oraz przez Y(t0+) prawostronną granicę Y(t) w chwili t=t0. Obowiązuje zależność: Y(t0+) = Y(t0-) + t0-ò to+uL(t)dt. Ponieważ przedział całkowania równa się zeru, t0-ò to+uL(t)dt znika dla skończonego uL(t0-). Wobec tego Y(t0+) = Y(t0-). W przypadku cewki liniowej (y=L×iL): iL(t0-) = iL(t0+). Rząd układu mówi nam jakiego stopnia będzie równanie różniczkowe opisujące układ. STAN NIEUSTALONY W SZEREGOWYM OBWODZIE RLC. Rys.8. W celu sformułowania równania obwodu zastosujemy NPK: Ri + L(di/dt) + uC = u, i podstawimy i=C(duC/dt), otrzymując LC(d2uCS/dt2) + RC(duCS/dt) + uCS = 0. Równanie to zapiszemy w postaci: (1) (d2uCS/dt2) + 2a(duCS/dt) + wn2uCS = 0, gdzie a=R/2L nosi nazwę stałej tłumienia, zaś wn = 1/Ö(LC) jest pulsacją drgań nietłumionych. Rozwiązanie równania (1) zależy od pierwiastków równania charakterystycznego s2+2as+wn2=0, wynoszących: s1,2 = -a ± Ö(a2-wn2). Rozróżniamy trzy przypadki: 1) a>wn, czyli R>2Ö(L/C) – pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i ujemne, a ponadto s1¹s2. Rozwiązanie swobodne określa wzór: uCS = A1es1t+A2es2t, zaś: iS = C(dUCS/dt) = C(A1s1es1t+A2s2es2t), przy czym A1 i A2 są stałymi zależnymi od warunków początkowych. Przebiegi mają charakter aperiodyczny i znikają od zera dla t®¥. 2) a=wn, czyli R=2Ö(L/C) – pierwiastki równania charakterystycznego są jednakowe, rzeczywiste i ujemne, a ponadto s1 = s2 = -a. Rozwiązanie jest następujące: uCS = (A1+A2t)e-at, a zatem: iS = C(dUCS/dt) = C[A2-a(A1+A2t)]e-at. Przebiegi aperiodyczne, graniczne, zanikające do zera dla t®¥. 3) a<wn, czyli R<2Ö(L/C) – pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone, sprzężone s1,2 = -a ± jw0, gdzie w0 = Ö(wn2-a2) nosi nazwę pulsacji drgań własnych. Rozwiązanie równania ma postać: uCS = Ae-atsin(w0t+y), gdzie A i y są stałymi. Stąd: iS = C(dUCS/dt) = CA[-asin(w0t+y) + w0cos(w0t+y)]. Otrzymujemy ostatecznie: iS = AÖ(L/C)e-atcos(w0t+y+h), przy czym: h = arctg(a/w0). Stopień tłumienia określa dekrement tłumienia ¶. Dla napięcia swobodnego uCS otrzymujemy: ¶ = uCS(t)/uCS(t+T0) = eaTo, a stąd wynika następujący wzór na logarytmiczny dekrement tłumienia: ln¶ = aT0.
Czwórniki
Czwórnik – połączenie mające cztery zaciski: dwa zaciski wejściowe (pierwotne) oraz dwa zaciski wyjściowe (wtórne). Zaciski wejściowe oznaczamy 1, 1’, a wyjściowe 2, 2’. Napięcie u1 między 1,1’ nazywa się wejściowym, natomiast u2 między 2,2’ – wyjściowym. Podobnie prądu i1 oraz i2. Czwórnik liniowy – gdy wszystkie elementy z których zbudowany jest czwórnik są liniowe. Czwórnik nieliniowy – jeżeli choć jeden z elementów jest nieliniowy. Czwórnik aktywny – jeżeli w wewnętrznych połączeniach znajdują się źródła energii. Czwórnik nie zawierający żadnego źródła nazywa się pasywnym. Równania czwórnika: R. admitancyjne: [I1; I2] = Y[U1; U2]; Y= [y11, y12; y21, y22] Elementy macierzy admitancyjnej wyznacza się rozpatrując stan zwarcia strony wyjściowej (U2=0) oraz strony wejściowej (U1=0) czwórnika. R. impedancyjne: [U1; U2] = Z[I1; I2]; Z = [z11, z12; z21, z22] = [y11, y12; y21, y22]-1. Elementy wyznacza się rozpatrując stany jałowe strony wyjściowej (I2=0) oraz strony wejściowej (I1=0) R.e łańcuchowe: [U1; I1] = A[U2; -I2]; A = [a11, a12; a21, a22]. Elementy wyznacza się rozpatrując stan jałowy (I2=0)oraz stan zwarcia (U2=0) strony wyjściowej czwórnika. Równanie mieszane (hybrydowe): [U1; I2] = H[I1; U2]; H = [h11, h12; h21, h22]. Elementy wyznacza się rozpatrując stan zwarcia strony wyjściowej (U2=0) oraz stan jałowy strony wejściowej (I1=0). Czwórnik nazywamy prawidłowym jeżeli ma wszystkie macierze charakterystyczne. Czwórnik jest prawidłowy gdy ma którąkolwiek z macierzy Z,Y,A,B,H,F nieosobliwą i o wszystkich elementach różnych od zera. Jeśli nie to jest zdegenerowany. Cz. Zerowy: Czwórnik mający tylko jedną macierz charakterystyczną nazywamy czwórnikiem zerowym. Macierz charakt czwórnika zerowego ma wszystkie elementy równe zeru. Czwórniki odwracalne i symetryczne: Czwórniki, do których stosuje się tw. o wzajemności nazywamy odwracalnymi lub wzajemnymi, natomiast czwórniki do których nie stosuje się tw. o wzajemności nazywamy nieodwracalnymi lub niewzajemnymi. Czwórnikami nieodwracalnymi są czwórniki zawierające źródła sterowane. Czw. odwracalny określony jest przez trzy niezależne parametry: ½a½= a11a22 – a12a21 = 1; z21 = -z12; y21 = -y12; h21 = h12. Czw. symetrycznym - gdy przy zmianie strony zasilania, prądy i napięcia nie zmieniają się. Jest rzeczą obojętną, którą stronę czwórnika symetrycznego zasilimy, a którą obciążymy. Macierz łańcuchowa czwórnika symetrycznego nie może zależeć od wyboru strony zasilania. Wynika stąd warunek jaki muszą spełniać elementy macierzy łańcuchowej czwórnika symetrycznego: a22 = a11; z22 = -z11; y22 = -y11; ½h½ = h11h22 – h122 = 1. Impedancja falowa: Impedancją wejściową czwórnika symetrycznego nazywamy iloraz napięcia wejściowego U1 przez prąd wejściowy I1, czyli Z1 = U1/I1. Połączenie łańcuchowe: czwórników nazywamy połączenie, w którym zaciski wyjściowe jednego czwórnika dołączone są do zacisków wejściowych czwórnika następnego. Rys.10 przedstawia połączenie łańcuchowe czwórników. Równania łańcuchowe poszczególnych czwórników: [U1; I1] = a1[U2; I2]; [U2; I2] = a2[U3; I3], skąd po podstawieniu otrzymujemy: [U1; I1] = a1a2[U3; I3]. Równanie łańcuchowe czwórnika zastępczego jest następujące: [U1; I1] = a[U3; I3], gdzie a = a1a2. W przypadku połączenia łańcuchowego zawierającego n czwórników o macierzach łańcuchowych a1, a2, ..., an macierz łańcuchowa czwórnika zastępczego wyraża się wzorem: a = a1a2...an. Wynika stąd, że macierz łańcuchowa połączenia łańcuchowego jest równa iloczynowi ich macierzy łańcuchowych. Połączenie szeregowe (regularne): Równania impedancyjne poszczególnych czwórników w połączeniu przybierają postać: [U1’; U2’] = z1[I1; I2] oraz [U1’’; U2’’] = z2[I1; I2]. Napięcie wejściowe U1 oraz wyjściowe U2 są sumą napięć po stronie wejściowej lub wyjściowej obu czwórników. Wynika stąd, że macierz impedancyjna połączenia szeregowego dwóch czwórników: z = z1+z2, a więc macierze impedancyjne dodają się. Połączenie równoległe: W połączeniu równoległym dwóch czwórników zarówno strony wejściowe jak i wyjściowe obu czwórników połączone są równolegle, wobec czego napięcie U1 istnieje po stronie wejściowej, a napięcie U2 – po stronie wyjściowej każdego z czwórników. Równania admitancyjne poszczególnych czwórników tworzących połączenie wyrażają się wzorami: [I1’; I2’] = y1[U1; U2] oraz [I1’’; I2’’] = y2[U1; U2]. Macierz admitancyjna połączenia równoległego dwóch czwórników: y = y1+y2, co oznacza że przy połączeniu równoległym czwórników dodają się ich macierze admitancyjne.
Linia długa
Linia długa: Obwód o parametrach rozłożonych, w którym należy uwzględnić dwa rodzaje zmiennych niezależnych związanych z czasem i przestrzenią. Jeżeli zaburzeniem jest sygnał okresowy o okresie T, to definiuje się długość fali tego sygnału l zgodnie ze wzorem: l = vT = v/f, gdzie f – częstotliwość. Jeżeli układ ma taką konfigurację, że jego wymiary geometryczne w jednym kierunku są znacznie większe niż w innych kierunkach, to model takiego układu zawiera parametry rozłożone i nazywany jest linią długą. Równania Linii długiej: Linię długą modeluje się za pomocą obwodu zawierającego elementy R, L, C, G. R jest rezystancją reprezentującą straty cieplne w linii, L – indukcyjnością reprezentującą energię zgromadzoną w p. magnet. linii, C – pojemność reprezentująca energię zgromadzoną w p. elektr. wytworzonym przez przewody, G – konduktancja reprezentująca straty cieplne w dielektryku w którym znajdują się przewody. Jeżeli parametry R, L, C, G są stałe (niezależne od x), to linię nazywamy jednorodną. Model linii długiej można traktować jako łańcuchowe połączenie czwórników. Na zaciskach pierwotnych występuje napięcie u(x,t) oraz prąd i(x,t), a na wtórnych u(x + Dx, t), i(x + Dx, t). Równania linii długiej: 1) –du/dx = Ri + L(di/dt); 2) –di/dx = Gu + C(du/dt). W szczególnym przypadku, gdy R=0 i G=0 mamy do czynienia z tzw. linią bez strat. Równania takiej linii: 1) LC(d2u/dt2) – (d2u/dx2) = 0; 2) LC(d2i/dt2) – (d2i/dx2) = 0 Prędkość rozchodzenia się fali: v = 1/ÖLC. W linii bez strat napięcie i prąd mają charakter falowy. RÓWNANIA TRANSFORMAT. 1) (d2u/dx2) - g2u = 0; 2) (d2i/dx2) - g2i = 0, gdzie g = Ö[(R+sL)(G+sC)] – współczynnik przenoszenia linii. Rozwiązania tych równań mają postać: u(x) = A1(s)e-gx + A2(s)e-gx; i(x) = B1(s)e-gx + B2(s)e-gx. Funkcje A1(s), A2(s) oraz B1(s), B2(s) są wzajemnie uzależnione. Znajdujemy B1(s) = A1(s) / Zf; B2(s) = A2(s) / Zf, gdzie Zf = Ö[(R+sL) / (G+sC)] nazywamy impedancją falową linii długiej. Ostatecznie układ równań przyjmuje postać: 1) u(x) = A1(s)e-gx + A2(s)e-gx, 2) i(x) = (1/Zf)[A1(s)e-gx + A2(s)e-gx]. W celu zdeterminowania funkcji A1(s) i A2(s) należy rozpatrzyć odpowiednie warunki brzegowe, czyli określić związki pomiędzy napięciami i prądami na początku i na końcu linii. WARUNKI BRZEGOWE W LINII NIESKOŃCZENIE DŁUGIEJ. Rozpatrujemy linię długą zasilaną na początku (x=0) z generatora o napięciu źródłowym e1(t) oraz impedancji operatorowej Z1(s). Warunki początkowe w całym układzie są równe zeru: u(x,0) = 0 oraz u(x,0) = 0. Napięcie i prąd na początku linii: u1(t) oraz i1(t), a ich transformaty U1 oraz I1. Warunek brzegowy na początku linii: E1 – U1 = Z1(s)I1. A zatem równania linii długiej: 1) U(x) = [Zf / (Z1+Zf)]E1e-gx; 2) I(x) = [Zf / (Z1+Zf)]E1e-gx. W jednorodnej linii nieskończenie długiej stosunek transformat napięcia i prądu w dowolnym punkcie x jest równy impedancji falowej. Impedancja wejściowa linii nieskończenie długiej jest równa impedancji falowej tej linii. WARUNKI BRZEGOWE LINII O SKOŃCZONEJ DŁUGOŚCI. Analizujemy linię o skończonej długości l zasilanej z generatora E1, Z1(s) i na końcu z generatora E2, Z2(s). Na początku linii: x = 0: E1 = U1+Z1(s)I1. Na końcu linii: x = l: U2 = Z2(s)I2 + E2. Linia dopasowana falowo: Jeżeli impedancja operatorowa odbiornika równa się impedancji falowej, czyli Z2 = Zf. Linia zwarta na końcu: W przypadku zwarcia Z2(s)=0. Linia rozwarta na końcu: ½Z2(s)½= ¥. Linia zrównoważona: Gdy zachodzi warunek: R/L = G/C, przy czym LC¹0. Linia bez strat: W linii bez strat zachodzi R=0, G=0 oraz LC¹0, co sprawia że w linii nie ma żadnych strat energii. W linii bez strat napięcie i prąd mają charakter fali płaskiej, której prędkość rozchodzenia się wynosi: : v = 1/ÖLC. Impedancja falowa linii bez strat równa się oporowi charakterystycznemu: Zf = Ö(L/C), oraz współczynnik przenoszenia wyraża się wzorem: g = sÖLC = s.
Metoda klasyczna
Liniowość: Opornik: jeżeli R=const. Cewka: ψ=Li , charakterystyka prądowo-strumieniowa jest linią prostą. Kondensator: q=Cu , char. Napięciowo-ładunkowa jest linią prostą. Stacjonarność: Elementy nie zależą od czasu. Obwody są skupione jeśli można zgromadzić w poszczególnych częściach obwodu reprezentacje zjawisk fizycznych, tzn. rezystor – zamiana energii na ciepło; cewka – obecność pola mag. wokół przewodu z prądem ; kondensator – obecność pola mag. w obwodzie. Stała czasowa to taki czas po którym wartość składowej swobodnej zmienia się e-krotnie. Interpretujemy ją również jako długość odcinka zawartego między rzutem dowolnego punktu krzywej na oś odciętych a punktem przecięcia stycznej, poprowadzonej w tym punkcie z osią odciętych. uCs(t)=Ae-t/τ. duCs(t)/dt=- Ae-t/τ/τ=tgβ=tg-γ. tgγ=Ae-t/τ/τ=-A1/x= Ae-t/τ/(tk-tj). tk-tj= τ. Algorytm rozwiązywania układów dowolnego rzędu: 1.Wybieram zmienną (dowolnie- najlepiej napięcie na kondensatorze lub prąd w cewce). W przypadku układu nieliniowego wybieramy ładunek jednego z kondensatorów lub strumień jednej z cewek. 2.Układamy równania Kirhoffa- formułujemy ostatecznie równanie różniczkowe. 3.Ustalamy warunki początkowe: -są to napięcie Uc(0) i IL(0) dla wszystkich niezależnych kondensatorów i cewek w układzie. –pochodne zmiennej wybranej w punkcie a w chwili 0+. 4.Wyznaczenie składowej wymuszonej metodami obwodowymi (przy t→∞ obliczamy rozpływ prądów i napięć w stanie ustalonym). 5.Wyznaczenie składowej swobodnej: -znajdujemy układ podstawowy rozwiązań równania jednorodnego. –wyznaczamy stałe dowolne z wykorzystaniem warunków początkowych. 6.Rozwiązanie jest postaci: x(t)=xw(t)+xs(t).
Metoda operatorowa
Przekształcenie LAPLACE’A: Przekształceniem lub transformatą Laplace’a funkcji f(t) nazywamy wyrażenie: a{f(t)} = F(s) = 0ò¥ f(t)e-stdt, gdzie s = d+jw jest zmienną zespoloną. Funkcję f(t) nazywamy funkcją pierwotną lub oryginałem, natomiast funkcję F(s) transformatą Laplace’a funkcji f(t). Własności przekształcenia Laplace’a: Tw o liniowości. Jeżeli a i b są dowolnymi stałymi, to L{af(t)+bg(t)}= aF(s)+bG(s). Prawdziwość twierdzenia wynika bezpośrednio z faktu, że całkowanie jest operacją addytywną i jednorodną. Tw o podobieństwie. Jeżeli a jest liczbą rzeczywistą dodatnią, to L{f(at)} = (1/a)F(s/a). Tw o przesunięciu w dziedzinie zespolonej. Jeżeli k jest dowolną liczbą rzeczywistą lub zespoloną, to L{ektf(t)} = F(s-k). Twierdzenie to pokazuje jaki wpływ w dziedzinie przekształcenia Laplace’a ma pomnożenie funkcji f(t) przez czynnik ekt. Tw o opóźnieniu. Jeżeli h jest stałą rzeczywistą dodatnią, to L{f(t-h)u(t-h)} = e-shF(s). Tw o transformacie pochodnej. L{df/dt}=sF(s)-f(0), gdzie F(s)=L{f(t). Tw o transformacie całki. L{0òt f(t)dt}=F(s)/s, gdzie F(s)=L{f(t). Tw o transformacie splotu (Borela): L{f(t)*g(t)}=F(s)G(s). Tw. o transformacie pochodnej splotu: Jeżeli F(s)=L{f(t)}, G(s)=L{g(t)} to transformata pochodnej splotu wyraża się wzorem L{d/dt{f(t)*g(t)}}=sF(s)G(s). Transformata funkcji okresowej: f(t)1(t)=g(t)+f(t-T)1(t-T). Odwrotne przekształcenie Laplace’a: Jeżeli funkcja f(t) jest bezwzględnie transformowalna i L{f(t)} = F(s) oraz w każdym przedziale <0,T>, T>0, ma ograniczoną zmienność, to dla dowolnej ustalonej wartości c>xa: (1/2pj)[c-j¥òc+j¥ estF(s)ds = f(t) dla t>0 i (1/2pj)[c-j¥òc+j¥ estF(s)ds=0 dla t<0. Zachodzi wzór: f(t) = L-1{F(s)} = (1/2pj)[c-j¥òc+j¥ estF(s)ds, zwany wzorem Riemanna – Mellina. Rozkład na ułamki proste. Rozpatrzmy funkcję wymierną postaci F(s) = n(s)/d(s), gdzie n(s) i d(s) są wielomianami takimi, że stopień n(s) jest mniejszy od stopnia d(s). Załóżmy na wstępie, że zera wielomianu d(s), czyli pierwiastki równania d(s)=0 są pojedyncze i wynoszą s1,s2, ..., sm, gdzie si¹sj. Pierwiastki te nazywamy biegunami funkcji F(s). Przy przyjętych założeniach funkcja F(s) ma postać F(s) = n(s)/[(s-s1)(s-s2)...(s-sm)]. Funkcję F(s) można rozwinąć na ułamki proste o postaci F(s) = j=1Sm [kj/(s-sj)]. W celu wyznaczenia k1 mnożymy F(s) przez (s-s1): (s-s1)F(s) = k1 + j=1Sm [kj/(s-sj)](s-s1) i przyjmujemy, że s®s1. Wobec czego zachodzi: k1 = lims®s1(s-s1)F(s). Po odpowiednich przekształceniach znajdujemy odwrotne przekształcenie Laplace’a: L-1(F(s)) = j=1Sm L-1[kj/(s-sj)] = j=1Sm kjepjt, t ³ 0. Impulsem Diraca nazywamy wielkość d(t) o następujących właściwościach: d(t) = {0 dla t¹0} i d(t) = {+¥ dla t=0}, oraz -¥ò¥ d(t)dt = 1. Impuls Diraca będzie aproksymowany za pomocą funkcji d(t,h) dwóch zmiennych: tÎ(-¥; +¥) oraz h>0. Przykładem funkcji aproksymującej jest funkcja pokazana na Rys.9, określona zależnością: d(t,h) = {1/h dla 0<t<h} i {0 dla t<0 oraz t>h}, lub w postaci wzoru d(t,h) = (1/h)[u(t)-u(t-h)]. Korzystając z powyższego wzoru znajdujemy transformatę d(t,h) L{d(t,h)} = (1/h)[1/s-(1/s)e-sh]. Z zależności d(t) = {0 dla t¹0} i d(t) = {+¥ dla t=0}, oraz -¥ò¥ d(t)dt = 1, definiujących impuls Diraca, wynika: -¥òt d(t)dt = 1 dla t>0 i -¥òt d(t)dt = 0 dla t<0. Stąd otrzymujemy -¥òt d(t)dt = 1(t) i po zróżniczkowaniu dochodzimy do relacji wiążącej impuls Diraca z funkcją jednostkową d(t) = (d/dt)1(t). Równania operatorowe: Dla dwójników skupionych, liniowych, stacjonarnych przy zerowych warunkach początkowych, równanie operatorowe ma postać U(s) = Z(s)I(s), lub I(s) = Y(s)U(s), przy czym Z(s), Y(s) jest funkcją wymierną rzeczywistą. Z(s) nosi nazwę impedancji operatorowej, zaś Y(s) admitancji operatorowej dwójnika. Pisząc PPK dla wartości chwilowych Sik(t) = 0 i dokonując przekształcenia Laplace’a otrzymujemy SIk(s) = 0. Analogicznie w przypadku NPK dochodzimy do równania SUk(s) = 0. Powyższe relacje wskazują, że PPK i NPK dla transformat prądów i napięć formułuje się identycznie jak dla wartości chwilowych. Rezystor: Z zależności u=Ri, po dokonaniu transformacji Laplace’a, otrzymujemy U(s) = RI(s), a zatem ZR(s) = R. Cewka: Poddając obie strony równania u = L(di/dt) przekształceniu Laplace’a i korzystając z tw. o transformacie pochodnej, znajdujemy U(s) = sLI(s)-Li(0). Kondensator: Z zależności napięciowo prądowej dla wartości chwilowych u = u(0) + (1/C)0òt i(t)dt otrzymujemy w wyniku przekształcenia Laplace’a i uwzględnienia tw. o transformacie całki, równanie operatorowe U(s) = u(0)/s + (1/sC)I(s).
Fourier
Tw. FOURIER’A: Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej i przebiegów sinusoidalnych o częstotliwościach k×f, gdzie f=1/T, k=1,2,3,..., jeżeli funkcja ta spełnia warunki Dirichleta: 1) w każdym przedziale o długości T funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna: òT½f(t)½dt<¥. 2) w każdym przedziale o długości T f-cja f(t) ma co najmniej skończoną liczbę maksimów i minimów. 3) funkcja f(t) może mieć w przedziale o długości T co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice: lewostronna i prawostronna. Postacie szeregu Fourier’a: f(t) = A0 + k=1...
grupa_operacyjna