wielomiany.pdf

(116 KB) Pobierz
Microsoft Word - wielomiany .doc
WIELOMIANY
Poziom podstawowy
Zadanie 1 (5 pkt.)
Liczba –7 jest miejscem zerowym W(x). Wyznacz reszt z dzielenia tego wielomianu przez
wielomian
P
(
x
)
= x
x
2
5
-
14
, je#li wiadomo, $e w wyniku dzielenia wielomianu W(x)
przez dwumian
(
-x otrzymujemy reszt 18.
2
)
Zadanie 2 (4 pkt.)
Miejsce zerowe funkcji
f
(
x
)
=
x
3
-
3
x
+
2
mo$emy obliczy* nastpuj+co:
x
3
- x
3
+
2
=
0
x
3
- x
x
2
+
2
=
0
x
( ) ( )
x
2
-
1
-
2
x
-
1
=
0
x
( ) ( [ ] 0
( )( ) ( )
x
-
1
x
+
1
-
2
x
-
1
=
0
x
( ) ( ) 0
-
1
x
x
+
1
-
2
=
x
-
1
x
2
+
x
-
2
=
x .
Miejscami zerowymi funkcji s+ liczby –2 oraz 1.
=
1
lub
x
=
-
2
lub
x
=
1
Postpuj+c podobnie, oblicz miejsca zerowe funkcji
g
(
x
)
=
x
3
-
7
x
+
6
.
Zadanie 3 (8 pkt.)
Wiedz+c, $e wielomian
W
(
x
)
=
-
x
3
+
( ) ( )
a
+
1
x
2
+
8
a
-
3
x
-
15
jest podzielny przez dwumian
-x wyznacz:
a) warto#* parametru a,
b) rozkład wielomianu na czynniki liniowe,
c) zbiór rozwi+za2 nierówno#ci
xW .
(
)
<
0
x , a nastpnie wska$ najmniejsz+ liczb całkowit+
spełniaj+c+ t nierówno#* (o ile taka istnieje).
3
+
2
x
2
4
x
+
8
Zadanie 5 (2 pkt.)
Rozwi+$ równanie
x
4
-
3
x
3
-
x
+
3
=
0
.
Zadanie 6 (3 pkt.)
Wyznacz współczynniki a i b tak, aby wielomian
W
(
x
)
=
x
4
-
3
x
3
+
ax
2
+
bx
+
a
był
podzielny przez
2 x .
1
x rozkładaj+c jego lew+ stron na czynniki metod+
grupowania wyrazów i wył+czania wspólnego czynnika przed nawias.
3
- x
2
x
2
-
2
=
0
( 1
Zadanie 4 (4 pkt.)
Rozwi+$ nierówno#*
Zadanie 7 (2 pkt.)
Rozwi+$ równanie
Zadanie 8 (3 pkt.)
Sprawd5, czy
=x jest pierwiastkiem wielomianu
-
1
W
(
x
)
=
x
3
-
4
x
2
+
x
+
6
je#li tak, to
1
wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
Zadanie 9 (5 pkt. )
Aby rozło$y* wielomian
W
(
x
)
=
x
3
+
x
2
+
6
x
+
36
,
na czynniki mo$emy post+pi*
= .
2. Zapisujemy wielomian W(x) w postaci
36
27
+
9
=
3
3
+
3
2
W
(
x
)
=
x
3
+
3
3
+
x
2
+
6
x
+
3
2
.
3. Poniewa$
x
3
+
3
3
=
(
x
+
3
)(
x
2
-
3
x
+
9
)
oraz
x
2
+
6
x
+
9
=
(
x
+
3
2
, wic
)
W
4. Wyró$nik trójmianu
(
x
)
=
(
x
+
3
)(
x
2
-
3
x
+
9
)
+
(
x
+
3
2
=
(
x
+
3
)(
x
2
-
3
x
+
9
+
x
+
3
=
(
x
+
3
)(
x
2
-
2
x
+
12
- xx to
2
2
+
12
D
=
(
-
2
)
2
-
4
µ
12
=
4
-
48
,
D
<
0
. St+d
- xx nie rozkłada si na czynniki.
2
2
+
12
5.
(
x
+
3
)(
x
2
-
2
x
+
12
)
stanowi ostateczny rozkład wielomianu W(x) na czynniki.
Stosuj+c analogiczne przekształcenia, rozłó$ na czynniki wielomian
.
(
x
)
=
x
3
+
x
2
+
10
x
+
150
Zadanie 10 (4 pkt.)
Ustal, czy midzy zbiorami A i B zachodzi zale$no#*
BA ª
ª ,
B
A
czy B
A = , je#li:
A
=
{
x
¬
R
:
x
2
-
1
=
0
} {
,
B
=
x
¬
R
:
x
3
-
4
x
2
-
x
+
4
=
0
.
Zadanie 11 (6 pkt.)
Dany
jest
wielomian W(x).
Wyznacz
zbiory:
A
=
{
x
¬
R
:
W
(
x
)
=
0
} {
,
B
=
x
¬
R
:
W
(
x
)
Ï
0
} {
,
C
=
x
¬
R
:
W
(
x
)
0
,
je#li
W
(
x
)
=
-
x
4
+
7
x
2
-
12
.
Zadanie 12 (5 pkt.)
Wyznacz dziedzin funkcji
f
(
x
)
=
1
.
-
x
3
+
6
x
2
-
11
x
+
6
Zadanie 13 (6 pkt.)
x
3
-
2
x
2
-
x
+
2
Wyznacz dziedzin i miejsca zerowe funkcji
f
(
x
)
=
.
x
2
-
7
x
+
6
w nastpuj+cy sposób:
1. Zauwa$my, $e
W
118538864.051.png 118538864.062.png 118538864.068.png 118538864.069.png 118538864.001.png
Poziom rozszerzony
Zadanie 1 (6 pkt.)
Wyznacz
warto#ci a, b, c,
tak
aby
wielomiany
W
(
x
)
=
a
(
x
-
1
)(
x
+
1
+
b
(
x
-
2
)(
x
+
2
)
+
c
(
x
-
1
)(
x
+
2
)
i
P
(
x
)
=
3
x
2
+
x
-
7
były równe.
Zadanie 2 (7 pkt.)
Wielomian W(x)
jest
stopnia
trzeciego.
Wiadomo,
$e
W
( ) ( ) ( ) ( )
0
=
-
1
W
-
1
=
-
5
W
2
=
1
W
1
=
-
1
. Wyznacz wielomian W(x) .
Zadanie 3 (8 pkt.)
Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem
W
(
x
)
=
x
4
+
ax
3
+
bx
2
+
20
x
-
4
.
Wyznacz a i b.
Dla wyznaczonych a i b rozłó$ ten wielomian na czynniki.
x daje odpowiednio reszty 1, 2, 3.
Wyznacz reszt z dzielenia wielomianu W(x) przez iloczyn ( )( )( 3
-
1
x
-
2
x
-
3
x
- x
1
x
2
-
.
Zadanie 5 (3 pkt.)
Dany jest wielomian
W
(
x
)
=
x
4
-
(
k
-
1
)(
k
+
1
x
3
+
(
k
+
1
2
x
2
-
3
k
-
1
x
-
5
.
Dla jakich k
reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian 1
-x wynosi 2?
Zadanie 6 (3 pkt.)
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian Q okre#lony wzorem
1
(
x
)
=
x
4
+
x
3
-
x
-
wynosi
x
3
+
x
2
+
x
+
2
. Wyznacz reszt z dzielenia wielomianu W(x)
przez
2 x .
1
Zadanie 4 (8 pkt.)
Wielomian W(x) przy dzieleniu przez
Q
SCHEMAT PUNKTOWANIA – WIELOMIANY
Poziom podstawowy
Numer
zadania
Etapy rozwi1zania zadania
Liczba
punktów
Zapisanie warunków zadania:
Ê
W
(
-
7
)
=
0
.
2
W
(
2
=
18
1
Okre#lenie jakiej postaci jest reszta:
R
(
x
)
=
ax
+
b
1
Uło$enie układu równa2 i jego rozwi+zanie: Ê
-
7
a
+
b
=
0
,
2
a
+
b
=
18
2
a
= b
2 =
14
.
Doprowadzenie do postaci:
x
3
-
x
-
6
x
+
6
=
0
.
1
Sprowadzenie równania do postaci iloczynowej:
0
2
(
x
-
1
)(
x
2
+
x
-
6
)
=
.
1
Wyznaczenie miejsc zerowych: -3, 1, 2.
2
Obliczenie
W
( -
= a
9
18
.
1
Wyznaczenie a:
W
(
=
0
¼
a
=
2
.
1
Zapisanie wielomianu
W
(
x
)
=
-
x
3
+
3
x
2
+
13
x
-
15
.
1
Wykonanie dzielenia
-
x
3
+
3
x
2
+
13
x
-
15
:
( 1
x
-
,
3
1
-
x .
+
2
x
+
15
Znalezienie pierwiastków trójmianu kwadratowego: -3, 5.
1
Rozło$enie W(x) na czynniki:
W
(
x
)
=
-
( )( )( 3
x
-
5
x
-
1
x
+
.
1
Podanie zbioru rozwi+za2 nierówno#ci:
x
¬
( ) ( )
-
3
-
1
¦
5
+
.
2
Przekształcenie nierówno#ci do postaci
(
x
+
2
)
2
(
x
-
2
)
0
.
1
4
Odczytanie miejsc zerowych: -2, 2.
1
{ 2
Podanie zbioru rozwi+za2 nierówno#ci:
x
¬
2
+
¦
-
.
2
5
Doprowadzenie równania do postaci iloczynowej:
( ) ( ) 0
x
-
3
x
3
-
1
=
.
1
Podanie rozwi+za2 równania: 1, 3.
1
Zapisanie warunków:
W
(
=
0
·
W
(
-
1
=
0
.
1
6
Zapisanie układu równa2:
Ê
2
a
+
b
-
2
=
0
.
1
2
a
-
b
+
4
=
0
Rozwi+zanie układu równa2:
a
=
0
5
b
=
3
.
1
7
Doprowadzenie równania do postaci iloczynowej:
( ) ( ) 0
x
-
2
x
2
+
1
=
.
1
Podanie rozwi+za2 równania: 2.
1
Sprawdzenie, czy liczba –1 jest pierwiastkiem wielomianu; tak .
1
Wykonanie dzielenia
(
x
3
-
4
x
2
+
x
+
6
)
:
( 1
x
+
. Odp.:
x .
2
- x
5
+
6
1
8
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego, które s+
pozostałymi pierwiastkami W(x): 2, 3.
1
2
118538864.002.png 118538864.003.png 118538864.004.png 118538864.005.png 118538864.006.png 118538864.007.png
Numer
zadania
Etapy rozwi1zania zadania
Liczba
punktów
Zauwa$enie, $e
150
=
5
3
+
5
2
.
1
Zapisanie W(x) w postaci
W
(
x
)
=
x
3
+
5
3
+
10
x
+
5
2
.
1
9
Doprowadzenie równania do postaci: ( ) ( )
x
+
5
x
2
-
4
x
+
30
.
1
Obliczenie wyró$nika trójmianu kwadratowego, D < 0.
1
Stwierdzenie, $e rozkład W(x) na czynniki to
( ) ( )
W
(
x
)
=
x
+
5
x
2
-
4
x
+
30
.
1
Wyznaczenie zbioru A: -1, 1.
1
10
Wyznaczenie zbioru B: -1, 1, 4.
2
Podanie odpowiedzi: B
Aª
.
1
Zapisanie warunku
x .
2
= t
t
,
0
1
Zapisanie i rozwi+zanie równania
-
t
2
+
7
t
-
12
=
0
Odp.: 3, 4.
1
Wyznaczenie zbioru { }
A
=
-
3 -
,
2
2
3
.
1
11
Narysowanie wykresu wielomianu.
1
Wyznaczenie zbioru B:
x
¬
( ) ( )
-
2
-
3
¦
3
2
.
1
Wyznaczenie zbioru C:
x
¬
(
-
,
-
2
¦
-
3
,
3
¦
2
+
)
.
1
Zapisanie warunku:
-
x
3
+
6
x
2
-
11
x
+
6
>
0
.
1
Znalezienie jednego z pierwiastków całkowitych: 1, 2, 3.
1
Wykonanie dzielenia wielomianu przez ( 1
x lub ( )
-
x lub
-
2
1
12
x .
-
Znalezienie pierwiastków: 1, 2, 3.
1
Sporz+dzenie wykresu wielomianu i podanie odpowiedzi
( ) ( )
D f
:
x
¬
-
,
¦
2
.
1
Zapisanie warunku :
x
2
- x
7
+
6
0
.
1
Zapisanie dziedziny funkcji:
D f
:
x
¬R
-
{ 1
.
1
Zapisanie równania
x
3
-
2
x
2
-
x
+
2
=
0
.
1
13
Rozło$enie wielomianu na czynniki ( )( )( )
x
-
1
x
+
1
x
-
2
=
0
.
1
Wyznaczenie pierwiastków wielomianu: -1, 1, 2.
1
Okre#lenie miejsc zerowych funkcji: { -1, 2 }.
( 3
118538864.008.png 118538864.009.png 118538864.010.png 118538864.011.png 118538864.012.png 118538864.013.png 118538864.014.png 118538864.015.png 118538864.016.png 118538864.017.png 118538864.018.png 118538864.019.png 118538864.020.png 118538864.021.png 118538864.022.png 118538864.023.png 118538864.024.png 118538864.025.png 118538864.026.png 118538864.027.png 118538864.028.png 118538864.029.png 118538864.030.png 118538864.031.png 118538864.032.png 118538864.033.png 118538864.034.png 118538864.035.png 118538864.036.png 118538864.037.png 118538864.038.png 118538864.039.png 118538864.040.png 118538864.041.png 118538864.042.png 118538864.043.png 118538864.044.png 118538864.045.png 118538864.046.png 118538864.047.png 118538864.048.png 118538864.049.png 118538864.050.png 118538864.052.png 118538864.053.png 118538864.054.png 118538864.055.png 118538864.056.png 118538864.057.png 118538864.058.png 118538864.059.png 118538864.060.png 118538864.061.png 118538864.063.png 118538864.064.png 118538864.065.png 118538864.066.png 118538864.067.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin