Pochodne w fizyce.PDF

(990 KB) Pobierz
Fizyka1
B. Augustyniak Fizyka1 Wykład F1-1
i1
Uwagi o pochodnych
Pochodna danej funkcji y ( x ) w punkcie x = x o to wartość granicy ilorazu
∆ y /∆ x dla x dążącego do x o
yx
'
()
= =
dy
dx
lim
∆
∆
y
x
x→ x o
Przykład ‘graficzny’
12
8
10
y(x)
7
Dana jest funkcja
y = -x 2 + 10 x – 15,
8
6
6
5
y-y o
Dla x o = 2 ⇒ y 0 = 1
4
4
2
x-x o
3
wartości ilorazów
∆ y = y - y o
∆ x = x - x o
0
2
-2
y-y o /x-x o
x 0 = 2; y 0 = 1
1
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
np. x = 6 ⇒ y = 9 ⇒
∆ y /∆ x = 2
Iloraz ten dąży do
wartości y ’(2) = 6.
x
10
y(x)
10
Wykres dla wartości
granic y ’( x o ) w funkcji
x = x o
Jest to funkcja malejąca,
osiąga y ’ = 0 dla x = 5
5
5
0
0
-5
-5
-10
dy/ dx
-10
01234567890
x
1
232209079.011.png 232209079.012.png 232209079.013.png
 
B. Augustyniak Fizyka1 Wykład F1-1
Pytanie :
jaką funkcją jest pochodna y ’ ( x ) dla y = - x 2 +10 x –15?
Rachunek przybliżony dla wyznaczenia granicy ilorazu
yx
()
= =
dy
dx
lim
∆
∆
y
x
dla x → x o
Niech przyrost argumentu x wynosi ∆ x .
Wynikający przyrost wartości funkcji y wynosi: ∆ y = y ( x +∆ x ) – y ( x )
∆ y = -( x 2 +2 x ∆ x +∆ x 2 ) +10( x +∆ x ) –15 - (- x 2 +10 x -15) ⇒
∆ y = -2 x ∆ x + 10 ∆ x - ∆ x 2
∆
∆
y
x
= − + −
2
∆ ∆ ∆
∆
10
x x
2
iloraz
x
dla ∆x → 0 ⇒ ∆x 2 można zaniedbać ⇒
yx
'
()
=
lim
∆
∆
y
x
= − +
20
Postać ogólna wartości pochodnej dla kilku typów funkcji y
Funkcja y ( x )
Pochodna y ’
x n
nx n −1
sin x
cos x
cos x
-sin x
e x
e x
(a y )’ = a ⋅ y’ gdzie a – stała
( y 1 + y 2 )’ = y 1 ’ + y 2 ’ pochodna sumy f1 i f2 = poch. f1 + poch. f2
( y 1 / y 2 )’ = ( y 1 ’ ⋅ y 2 - y 1 ⋅ y 2 ’) / ( y 2 ) 2 pochodna ilorazu f1 i f2 =
iloraz różnicy (poch. f1*f2) i (f1*poch. f2) przez kwadrat f2.
2
'
xx
x
232209079.001.png 232209079.002.png
B. Augustyniak Fizyka1 Wykład F1-1
Druga pochodna funkcji y ( x )
Druga pochodna funkcji y ( x ) to pochodna z pochodnej tej funkcji
dy
dx
d
dx
dy
dx
'' ( ) = =
2
Przykład
y ( x ) = x 3 - 20 x 2 - 1000 x -10
y ’( x ) = 3 x 2 - 40 x - 1000
y ’’( x ) = 6 x – 40.
Interpretacja graficzna pochodnych ⇒ analiza funkcji
Rysunki przedstawijają
wykresy funkcji y ( x ),
jej pochodnej y ’( x ) i
drugiej pochodnej y ’’( x )
40
14
20
y
12
0
(-)
(+)
10
-20
8
postaci tych funkcji są
wzięte z powyższego
przykładu
-40
6
-60
4
-80
(+)
2
-100
0
y'
UWAGI
1. wartość pochodnej
z funkcji y ( x ) jest dana
przez współczynnik
kierunkowy stycznej do
wykresu funkcji y ( x ) w
danym punkcie x .
-120
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2
x
10
300
y'=0
y''>0
y min
y'
y'=0
y''<0
y max
8
200
6
y''
100
2. Maksimumi
minimum funkcji y ( x )
skorelowane jest z
warunkami dla
pierwszej i drugiej
pochodnej
4
0
2
-100
0
-200
-2
-300
-50 -40 -30 -20 -10 0
10 20 30 40 50
x
3
2
yx
232209079.003.png 232209079.004.png 232209079.005.png 232209079.006.png 232209079.007.png
B. Augustyniak Fizyka1 Wykład F1-1
MECHANIKA
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się badaniem ruchu ciał.
Mechanika
Kinematyka
jak się porusza ciało ?
Dynamika
dlaczego porusza się ciało?
opisuje ruch ciała bez
analizowania przyczyn.
zajmuje się warunkami i
przyczynami ruchu ciał.
Pojęcia podstawowe mechaniki
ciało = obiekt materialny o pewnej masie , który cechuje się
niezmiennością swych wymiarów (ciało ‘doskonale sztywne’) . W
mechanice nie uwzględnia się struktury wewnętrznej ‘ciała’ (atomy,
molekuły, kryształy, polikryształy, materiały amorficzne..).
punkt materialny = ciało obdarzone masą , którego rozmiary można
zaniedbać.
masa - podstawowa własność materii, występuje w przypadku
oddziaływań grawitacyjnych a także w prawach dynamiki .
czas - cecha procesów fizycznych przyrody, porządkująca ‘procesy’ w
ciąg przyczynowo-skutkowy; wyraża kolejność stanów materii.
W mechanice ‘klasycznej’ (Galileusz, Newton) - czas jest wielkością
niezmienną (nie zależy od układu odniesienia ). W mechanice
‘relatywistycznej’ (Einstein) czas zależy od układu odniesienia i
jest czwartym wymiarem czaso-przestrzeni.
przestrzeń - obszar, w którym znajduje się materia,
ruch - to zmiana w czasie położenia ‘ ciała ’ w przestrzeni - względem
przyjętego ‘ układu odniesienia’
układ odniesienia: - grupa ciał względem siebie nieruchomych albo
nieruchoma część jednego ciała
4
232209079.008.png
B. Augustyniak Fizyka1 Wykład F1-1
Galileusz, Galileo Galilei,
(1564-1642) –
Fizyk, astronom i filozof włoski, profesor na uniwersytecie w Pizie i
Padwie. Do historii nauki przeszedł jako ojciec fizyki nowożytnej
charakteryzującej się specyficznym sprzężeniem teorii z doświadczeniem.
Kontynuował badania Archimedesa z dziedziny mechaniki, dotyczące
środka ciężkości, pływania ciał, wyznaczania ciężaru właściwego i
wytrzymałości materiałów. Odkrył (1583) prawo ruchu wahadła, (1602)
prawo swobodnego spadania ciał, zbudował (1586) wagę hydrostatyczną,
(1603) pierwszy termoskop (przyrząd do wykrywania różnicy temp.). W
dziedzinie akustyki stwierdził zależność tonów od długości i grubości
struny. W 1609 r. zbudował lunetę i zastosował do obserwacji
astronomicznych. Odkrył cztery księżyce Jowisza, plamy na Słońcu oraz
stwierdził obrót Słońca dookoła osi.
Te obserwacje skłoniły go do przyjęcia heliocentrycznej teorii Kopernika
o budowie Wszechświata. W 1632 r. za szerzenie tych poglądów
postawiono go przed sadem inkwizycji i zmuszono do wyrzeczenia się
swych idei naukowych i zaprzeczenia podstawowej tezy o systemie
heliocentrycznym. W 1638 r. opublikował zbiór prac z mechaniki pt.
Dialogi i dowodzenia matematyczne . W perspektywie historycznej
największym jego odkryciem było sformułowanie zasady względności.
5
232209079.009.png
 
232209079.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin