mechana belki.pdf

(1003 KB) Pobierz
Microsoft Word - wm_mibm_06.doc
Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych –
wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych
6
Obciążenie belki mogą stanowić siły skupione P , momenty skupione M oraz
obciążenia ciągłe q (rys. 6.1).
Rys. 6.1
Przed przystąpieniem do wyznaczenia wykresów sił przekrojowych konieczne jest
wyznaczenie reakcji. W tym celu, rozpatrywaną belkę uwalnia się z więzów, zastępu-
jąc podpory/utwierdzenia odpowiednimi reakcjami (rys. 6.2).
Rys. 6.2
Wartość reakcji określamy wykorzystując równania równowagi statycznej:
— suma rzutów sił na oś x jest równa zeru
Σ =
0
(6.1a)
— suma rzutów sił na oś y jest równa zeru
Σ =
0
(6.1b)
— suma momentów względem dowolnego punktu jest równa zeru
Σ =
i
0
(6.1c)
W przypadku belek prostych obciążonych poprzecznie względem osi belki, reakcja
pozioma jest zawsze równa zeru, dlatego równanie (6.1a) pomija się.
Wielkości przekrojowe to siła tnąca T oraz moment gnący M .
Siła tnąca (poprzeczna) T w danym przekroju jest sumą rzutów sił zewnętrznych
działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju na kierunek styczny do
przekroju.
P
ix
P
iy
M
630442704.012.png 630442704.013.png
6.2
Wytrzymałość materiałów
Moment gnący (zginający) M w danym przekroju jest sumą momentów obciążeń
zewnętrznych działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju względem
środka masy tego przekroju.
Sposób określania dodatniego znaku siły tnącej oraz momentu gnącego przedsta-
wiono na rys. 6.3. Linią przerywaną oznaczono włókna uprzywilejowane (dolne).
Rys. 6.3
W zadaniach prezentowanych w niniejszym rozdziale, przyjęto następującą kon-
wencję dotyczącą sporządzania wykresów sił tnących i momentów gnących. Dodatnie
wartości momentów gnących M będziemy odkładać po stronie włókien uprzywilejo-
wanych, natomiast dodatnie wartości sił tnących T – po stronie włókien nieuprzywi-
lejowanych.
Cechy charakterystyczne wykresów sił przekrojowych są następujące:
— sile skupionej P stanowiącej obciążenie belki odpowiada skok o wartości P
na wykresie sił tnących;
— momentowi skupionemu M stanowiącemu obciążenie belki odpowiada skok
o wartości M na wykresie momentów gnących;
— jeżeli siła tnąca T ma wartość stałą (dodatnią/ujemną) w danym przedziale,
to moment gnący w rozpatrywanym przedziale opisany funkcją liniową
(rosnącą/malejącą);
— jeżeli siła tnąca T jest równa zeru w danym przedziale, to moment gnący
w rozpatrywanym przedziale jest stały;
— jeżeli siła tnąca T ma wartość liniowo zmienną w danym przedziale,
to moment gnący w rozpatrywanym przedziale opisany funkcją kwadratową.
Na rys. 6.4a przedstawiono przykład belki obciążonej dwiema siłami skupionymi.
Schemat obliczeniowy — po uwolnieniu z więzów — ilustruje rys. 6.4b.
Rys. 6.4
Wartość reakcji wyznaczamy wykorzystując warunki równowagi (6.1b) i (6.1c):
Σ =
0
:
−
R
A
y
−
R
D
y
+
P
+
2
P
=
0
Σ A =
i
0
:
R y
D
⋅
3
l
−
P
⋅
l
−
2
P
⋅
2
=
0
P
iy
M
l
630442704.014.png
 
Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych – wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych
6.3
R y
=
P
R y
=
P
A
D
3
3
W rozpatrywanej belce możemy wyróżnić trzy przedziały – AB, BC i CD. W każdym
z tych przedziałów wyznaczamy siły tnące T oraz momenty gnące M zgodnie z defi-
nicją. Przykład rozwiązano od lewej strony:
— przedział AB:
0
≤
x ≤
l
(rys. 6.5)
Rys. 6.5
Siła tnąca w przekroju oddalonym o wartość x od punktu A jest równa sumie
rzutów sił zewnętrznych działających po lewej stronie rozpatrywanego przekroju
na kierunek styczny do przekroju. Zapiszemy zatem:
T
(
x
)
=
R
=
4
P
A
y
3
Siła tnąca ma wartość stałą w całym przedziale AB.
Z kolei, moment gnący w rozpatrywanym przekroju jest sumą momentów obciążeń
zewnętrznych działających po lewej stronie przekroju względem środka masy tego
przekroju. Zapiszemy to w następujący sposób:
M
(
x
)
=
R
x
=
4
P
x
A
y
3
Moment gnący zmienia się liniowo z przedziale AB – jego wartości na krańcach
przedziału są równe:
M
(
x
= P
0
)
=
4
⋅
0
=
0
3
M
(
x
=
l
)
=
4
P
⋅
l
=
4
P
l
3
3
— przedział BC:
l
≤ (rys. 6.6)
x
≤
2
l
Rys. 6.6
Postępując analogicznie, jak w poprzednim przedziale, możemy zapisać:
4
5
630442704.001.png 630442704.002.png 630442704.003.png 630442704.004.png 630442704.005.png 630442704.006.png
6.4
Wytrzymałość materiałów
T
(
x
)
=
R
−
P
=
4
P
−
P
=
1
P
A
y
3
3
M
(
x
)
=
R
x
−
P
(
x
−
l
)
=
1
P
x
+
P
l
A
y
3
M
(
x
=
l
)
=
1
P
⋅
l
+
P
l
=
4
P
l
3
3
M
(
x
=
2
l
)
=
1
P
⋅
2
l
+
P
l
=
5
P
l
3
3
— przedział CD:
≤ (rys. 6.7)
Postępując analogicznie, jak w dwóch poprzednich przedziałach, zapiszemy:
2 ≤
l
x
3
l
Rys. 6.7
T
(
x
)
=
R
−
P
−
2
P
=
4
P
−
P
−
2
P
=
−
5
P
A
y
3
3
M
(
x
)
=
R
x
−
P
(
x
−
l
)
−
2
P
(
x
−
2
l
)
=
−
5
P
x
+
5
P
l
A
y
3
M
(
x
=
2
l
)
=
−
5
P
⋅
2
l
+
5
P
l
=
5
P
l
3
3
M
(
x
=
3
l
)
=
−
5
P
⋅
3
l
+
5
P
l
=
0
3
Wykresy sił przekrojowych przedstawiono na rys. 6.8.
Rys. 6.8
630442704.007.png 630442704.008.png
Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych – wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych
6.5
Na rys. 6.9 przedstawiono wykres sił tnących T , wraz z naniesionymi siłami sku-
pionymi i reakcjami, ułatwiający interpretację wyników.
Rys. 6.9
Pochodna momentu gnącego M względem x jest równa sile tnącej T , co możemy
zapisać następująco:
T
d =
M
d
x
Z kolei pochodna siły tnącej (poprzecznej) T względem x jest równa natężeniu
obciążenia ciągłego:
−
q
=
d
T
d
x
W związku z powyższym wykresy sił przekrojowych, przedstawione na rys. 6.8
i 6.9, możemy zinterpretować następująco:
— w przedziale AB siła tnąca ma wartość stałą dodatnią ( P
3
1 ), mniejszą niż w prze-
dziale AB, dlatego moment gnący w przedziale BC rośnie liniowo, przy czym kąt
nachylenia prostej jest mniejszy, niż w przedziale AB – tangens nachylenia
prostej opisującej przebieg zmian momentu gnącego jest równy P
3
1
;
5 − ), dlatego moment
gnący w tym przedziale maleje liniowo – tangens nachylenia prostej opisującej
przebieg zmian momentu gnącego jest równy P
3
5 − ;
— w przekroju B występuje skok wartości siły tnącej T równy P , co odpowiada
sile skupionej P stanowiącej obciążenie rozpatrywanej belki w tym punkcie;
— w przekroju C występuje skok wartości siły tnącej T równy 2 , co odpowiada
sile skupionej 2 stanowiącej obciążenie rozpatrywanej belki w tym punkcie;
— rozpatrywana belka nie jest obciążona momentem skupionym, dlatego też
nie występują skoki wartości na wykresie momentów gnących.
4 ), dlatego moment
gnący w tym przedziale rośnie liniowo – tangens nachylenia prostej opisującej
przebieg zmian momentu gnącego jest równy P
3
4 ;
— w przedziale BC siła tnąca ma wartość stałą dodatnią ( P
3
— w przedziale CD siła tnąca ma wartość stałą ujemną ( P
3
630442704.009.png 630442704.010.png 630442704.011.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin