24 Drgania elektromagnetyczne.pdf

(92 KB) Pobierz
24 Drgania elektromagnetyczne
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 24
24. Drgania elektromagnetyczne
24.1 Wst ę p
Przypomnienie: masa M na spr ęŜ ynie, bez oporów. Równanie ruchu
d
2
x
M
=
-
kx
d
t
2
Rozwi ą zania
x = A cos
w
t
v = d x /d t = A
w
sin
w
t
a = d 2 x /d t 2 = – A
w
2 cos
w
t
przy warunku
w
= ( k / M ) 1/2 .
24.2 Obwód LC
Rozpatrzmy obwód zło Ŝ ony z szeregowo poł ą czonych indukcyjno ś ci L i pojemno ś ci
C . Opór omowy jest równy zeru ( R = 0). Załó Ŝ my, Ŝ e w chwili pocz ą tkowej na
kondensatorze C jest nagromadzony ładunek q m , a pr ą d przez cewk ę jest równy zeru.
Energia zawarta w kondensatorze
W C = q m 2 /(2 C )
(24.1)
jest maksymalna, a energia w cewce
W L = LI 2 /2
(24.2)
jest równa zeru.
Po zamkni ę ciu obwodu, kondensator rozładowuje si ę przez cewk ę . W obwodzie płynie
pr ą d I = d q /d t . W miar ę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje te Ŝ energia zawarta
w polu elektrycznym kondensatora, a ro ś nie energia pola magnetycznego, które pojawia
si ę w cewce w miar ę narastania w niej pr ą du.
Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola
magnetycznego cewki. Pr ą d w cewce indukcyjnej ma maksymaln ą warto ść . Ten pr ą d
ładuje kondensator (przeciwnie) wi ę c energia jest ponownie przekazywana do
kondensatora. Stan ko ń cowy jest taki jak pocz ą tkowy tylko kondensator jest
naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza si ę . Mamy wi ę c do czynienia z oscylacjami
ładunku (pr ą du).
24-1
19146988.020.png 19146988.021.png 19146988.022.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Opis ilo ś ciowy
Z prawa Kirchoffa
U L + U C = 0
L
d
I
+ C
q
=
0
(24.3)
d
t
Poniewa Ŝ I = d q /d t wi ę c
d
2
q
q
L
=
-
(24.4)
d
t
2
C
To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla spr ęŜ yny, przy czym
nast ę puj ą ce wielko ś ci s ą analogiczne
q
«
x , L
«
M , 1/ C
«
k
Tak wi ę c mo Ŝ emy napisa ć rozwi ą zanie tego równania
q = q m cos
w
t
I = d q /d t = q m
w
sin
w
t = I m sin
w
t
w
= (1/ LC ) 1/2
(24.5)
gdzie I m = q m
w
U L = - L d I /d t = – LI m
w
cos
w
t
U C = q / c = ( q m / C )cos
w
t
Poniewa Ŝ
LI m
w
= Lq m
w
2 = Lq m (1/ LC ) = q m / C
wida ć , Ŝ e amplitudy napi ęć s ą takie same .
24.3 Obwód szeregowy RLC
Dotychczas rozwa Ŝ ali ś my obwód zwieraj ą cy indukcyjno ść L oraz pojemno ść C .
Tymczasem ka Ŝ dy obwód ma pewien opór R , przykładowo jest to opór drutu z którego
nawini ę to cewk ę . Obecno ść oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci
wydzielaj ą cego si ę ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania
tłumione analogiczne do drga ń tłumionych spr ęŜ yny opisanych w wykładzie 12, przy
czym współczynnik tłumienia 1/2
t
U
(
t
)
=
U
0
sin
w
t
24-2
jest równy R/ 2 L .
Drgania w obwodzie RLC mo Ŝ na podtrzyma ć je Ŝ eli obwód b ę dziemy zasila ć
napi ę ciem sinusoidalnie zmiennym
19146988.023.png 19146988.001.png 19146988.002.png 19146988.003.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawieraj ą cego elementy R , L , C oraz ź ródło SEM ma
posta ć
L
d
I
+
RI
+
q
=
U
sin
w
t
(24.6)
d
t
C
0
ró Ŝ niczkuj ą c po dt
d
2
I
d
I
I
L
+
R
+
=
w
U
cos
w
t
(24.7)
d
t
2
d
t
C
0
albo
d
2
I
R
d
I
I
w
U
+
+
=
0
cos
w
t
(24.8)
d
t
2
L
d
t
LC
L
To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R / L
«
0 .
Rozwi ą zanie ma wi ę c analogiczn ą posta ć
t
, 1/ LC
«
0 2 oraz
w
U 0 / L
«
a
I
=
I
0
sin(
w -
t
j
)
.
Amplituda wynosi wi ę c
I
=
V
0
(24.9)
0
2
1
R
2
+
w
L
-
w
C
a mi ę dzy napi ę ciem i nat ęŜ eniem pr ą du istnieje ró Ŝ nica faz, dana równaniem
w
L
-
1
w
C
tg
j
=
(24.10)
R
Wyra Ŝ enie (24.9) ma posta ć prawa Ohma przy czym stała proporcjonalno ś ci pomi ę dzy
U 0 i I 0
1
2
Z
=
R
2
+
w
L
-
(24.11)
w
C
pełni analogiczn ą rol ę jak opór R w prawie Ohma. Wielko ść Z nazywamy impedancj ą
( zawad ą ) obwodu.
Gdy zmienne sinusoidalne napi ę cie przyło Ŝ ymy do kondensatora to
U
=
q
C
St ą d
d
U
=
I
d
t
C
co dla U=U 0 sin
w
t daje
I
w
U
cos
w
t
=
0
C
St ą d
I
=
w
CU
cos
w
t
=
w
CU
sin(
w
t
+
90
A
)
0
0
24-3
1/
w
19146988.004.png 19146988.005.png 19146988.006.png 19146988.007.png 19146988.008.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wida ć , Ŝ e pr ą d wyprzedza napi ę cie na kondensatorze o 90
°
.
C pełni ą ca rol ę analogiczn ą
do oporu w obwodzie pr ą du stałego nazywamy reaktancj ą pojemno ś ciow ą .
w
C ) a stała proporcjonalno ś ci 1/
w
X C = 1/w C
(24.12)
Je Ŝ eli generator pr ą du zmiennego podł ą czymy do cewki indukcyjnej to analogicznie
mo Ŝ na pokaza ć , Ŝ e
I
=
-
U
0
cos
w
t
=
U
0
sin(
w
t
-
90
A
)
w
L
w
L
Pr ą d pozostaje za napi ę ciem o 90
°
, a reaktancja indukcyjna ma warto ść
X L =
w
L
(24.12)
Zauwa Ŝ my, Ŝ e w obwodzie RLC , pomimo poł ą czenia szeregowego oporów omowego,
pojemno ś ciowego i indukcyjnego ich opór zast ę pczy (zawada) nie jest prost ą sum ą tych
oporów. Wynika to wła ś nie z przesuni ęć fazowych .
Trzeba je uwzgl ę dni ć przy dodawaniu napi ęć .
U = U R + U C + U L
czyli
U = I 0 R sin
w
t - X C I 0 cos
w
t + X L I 0 cos
w
t
(na kondensatorze U pozostaje za I , na cewce U wyprzedza I )
St ą d
U
0
=
R
sin
w
t
+
(
X
-
X
)
cos
w
t
I
L
C
0
Mamy teraz doda ć sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku obok Mo Ŝ emy przy tym
skorzysta ć z wyra Ŝ enia (24.10) według, którego tg
j
= ( X L - X C )/ R
.Relacja ta jest pokazana na rysunku poni Ŝ ej
Z
(X L - X C )
j
R
Zauwa Ŝ my, ze przeciwprostok ą tna trójk ą ta na rysunku jest równa zawadzie
Z = ( R 2 + ( X L - X C ) 2 ) 1/2 .
24-4
Maksymalny pr ą d I 0 = U 0 /(
19146988.009.png 19146988.010.png 19146988.011.png 19146988.012.png 19146988.013.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
24.3.1 Rezonans
Drgania ładunku, pr ą du i napi ę cia w obwodzie odbywaj ą si ę z cz ę sto ś ci ą zasilania
w
.
i osi ą ga maksimum dla pewnej charakterystycznej
warto ś ci tej cz ę sto ś ci. Przypomnijmy, Ŝ e zjawisko to nazywamy rezonansem . Dla
małego oporu R czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy
w
w
= w
=
1
(24.13)
0
LC
Nat ęŜ enie pr ą du osi ą ga wtedy warto ść maksymaln ą równ ą
I
=
U
0
(24.14)
0
R
Widzimy, Ŝ e nat ęŜ enie pr ą du w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani
pojemno ś ci ani indukcyjno ś ci, a zawada wynosiła R .
Przykład
Drgania wymuszone w obwodzie mo Ŝ na tak Ŝ e wywoła ć bez wł ą czania bezpo ś redniego
ź ródła SEM w postaci generatora. Przykładem mo Ŝ e by ć układ RLC w obwodzie
wej ś ciowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poni Ŝ ej. Układ ten jest
zasilany sygnałem z anteny.
W układzie dostrojenie do
cz ę stotliwo ś ci danej radiostacji jest
osi ą gane przez dobranie pojemno ś ci.
W ten sposób jest spełniony warunek
rezonansu dla tej cz ę stotliwo ś ci.
Przyjmijmy, Ŝ e w pokazanym układzie
R = 10
, a L = 1
m
U
=
I
X
=
U
0
1
=
U
0
L
C
rez
0
C
R
w
C
R
C
0
V to napi ę cie na kondensatorze
przy cz ę stotliwo ś ci rezonansowej ma warto ść 6.35 mV. Dla porównania napi ę cie na
kondensatorze przy tych samych ustawieniach R , L , C i sygnale o tej samej amplitudzie
ale o cz ę stotliwo ś ci 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV.
m
24-5
Amplituda tych drga ń zale Ŝ y od
H. Sprawd ź my, jaka
powinna by ć pojemno ść C aby uzyska ć
dostrojenie odbiornika (rezonans) do
stacji "Jazz Radio", która w Krakowie
nadaje na cz ę stotliwo ś ci 101 MHz?
Korzystaj ą c z warunku (24.13)
otrzymujemy C = 2.48 pF.
W warunkach rezonansu napi ę cie na
kondensatorze (w obwodzie RLC ) jest równe
W
,
Je Ŝ eli sygnał wej ś ciowy z anteny ma amplitud ę 100
19146988.014.png 19146988.015.png 19146988.016.png 19146988.017.png 19146988.018.png 19146988.019.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin