24 Drgania elektromagnetyczne.pdf
(
92 KB
)
Pobierz
24 Drgania elektromagnetyczne
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 24
24.
Drgania elektromagnetyczne
24.1
Wst
ę
p
Przypomnienie: masa
M
na spr
ęŜ
ynie, bez oporów. Równanie ruchu
d
2
x
M
=
-
kx
d
t
2
Rozwi
ą
zania
x = A
cos
w
t
v
= d
x
/d
t
=
A
w
sin
w
t
a
= d
2
x
/d
t
2
= –
A
w
2
cos
w
t
przy warunku
w
= (
k
/
M
)
1/2
.
24.2
Obwód LC
Rozpatrzmy obwód zło
Ŝ
ony z szeregowo poł
ą
czonych indukcyjno
ś
ci
L
i pojemno
ś
ci
C
. Opór omowy jest równy zeru (
R
= 0). Załó
Ŝ
my,
Ŝ
e w chwili pocz
ą
tkowej na
kondensatorze
C
jest nagromadzony ładunek
q
m
, a pr
ą
d przez cewk
ę
jest równy zeru.
Energia zawarta w kondensatorze
W
C
=
q
m
2
/(2
C
)
(24.1)
jest maksymalna, a energia w cewce
W
L
=
LI
2
/2
(24.2)
jest równa zeru.
Po zamkni
ę
ciu obwodu, kondensator rozładowuje si
ę
przez cewk
ę
. W obwodzie płynie
pr
ą
d
I
= d
q
/d
t
. W miar
ę
jak maleje ładunek na kondensatorze maleje te
Ŝ
energia zawarta
w polu elektrycznym kondensatora, a ro
ś
nie energia pola magnetycznego, które pojawia
si
ę
w cewce w miar
ę
narastania w niej pr
ą
du.
Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola
magnetycznego cewki. Pr
ą
d w cewce indukcyjnej ma maksymaln
ą
warto
ść
. Ten pr
ą
d
ładuje kondensator (przeciwnie) wi
ę
c energia jest ponownie przekazywana do
kondensatora. Stan ko
ń
cowy jest taki jak pocz
ą
tkowy tylko kondensator jest
naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza si
ę
. Mamy wi
ę
c do czynienia z oscylacjami
ładunku (pr
ą
du).
24-1
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Opis ilo
ś
ciowy
Z prawa Kirchoffa
U
L
+ U
C
= 0
L
d
I
+
C
q
=
0
(24.3)
d
t
Poniewa
Ŝ
I
= d
q
/d
t
wi
ę
c
d
2
q
q
L
=
-
(24.4)
d
t
2
C
To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla spr
ęŜ
yny, przy czym
nast
ę
puj
ą
ce wielko
ś
ci s
ą
analogiczne
q
«
x
,
L
«
M
, 1/
C
«
k
Tak wi
ę
c mo
Ŝ
emy napisa
ć
rozwi
ą
zanie tego równania
q
=
q
m
cos
w
t
I
= d
q
/d
t
=
q
m
w
sin
w
t
=
I
m
sin
w
t
w
= (1/
LC
)
1/2
(24.5)
gdzie
I
m
= q
m
w
U
L
= - L
d
I
/d
t
= –
LI
m
w
cos
w
t
U
C
= q
/
c
= (
q
m
/
C
)cos
w
t
Poniewa
Ŝ
LI
m
w
=
Lq
m
w
2
=
Lq
m
(1/
LC
) =
q
m
/
C
wida
ć
,
Ŝ
e
amplitudy napi
ęć
s
ą
takie same
.
24.3
Obwód szeregowy RLC
Dotychczas rozwa
Ŝ
ali
ś
my obwód zwieraj
ą
cy indukcyjno
ść
L
oraz pojemno
ść
C
.
Tymczasem ka
Ŝ
dy obwód ma pewien opór
R
, przykładowo jest to opór drutu z którego
nawini
ę
to cewk
ę
. Obecno
ść
oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci
wydzielaj
ą
cego si
ę
ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy
drgania
tłumione
analogiczne do drga
ń
tłumionych spr
ęŜ
yny opisanych w wykładzie 12, przy
czym współczynnik tłumienia 1/2
t
U
(
t
)
=
U
0
sin
w
t
24-2
jest równy
R/
2
L
.
Drgania w obwodzie
RLC
mo
Ŝ
na podtrzyma
ć
je
Ŝ
eli obwód b
ę
dziemy zasila
ć
napi
ę
ciem sinusoidalnie zmiennym
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawieraj
ą
cego elementy
R
,
L
,
C
oraz
ź
ródło SEM ma
posta
ć
L
d
I
+
RI
+
q
=
U
sin
w
t
(24.6)
d
t
C
0
ró
Ŝ
niczkuj
ą
c po dt
d
2
I
d
I
I
L
+
R
+
=
w
U
cos
w
t
(24.7)
d
t
2
d
t
C
0
albo
d
2
I
R
d
I
I
w
U
+
+
=
0
cos
w
t
(24.8)
d
t
2
L
d
t
LC
L
To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy
R
/
L
«
0
.
Rozwi
ą
zanie ma wi
ę
c analogiczn
ą
posta
ć
t
, 1/
LC
«
0
2
oraz
w
U
0
/
L
«
a
I
=
I
0
sin(
w -
t
j
)
.
Amplituda wynosi wi
ę
c
I
=
V
0
(24.9)
0
2
1
R
2
+
w
L
-
w
C
a mi
ę
dzy napi
ę
ciem i nat
ęŜ
eniem pr
ą
du istnieje ró
Ŝ
nica faz, dana równaniem
w
L
-
1
w
C
tg
j
=
(24.10)
R
Wyra
Ŝ
enie (24.9) ma posta
ć
prawa Ohma przy czym stała proporcjonalno
ś
ci pomi
ę
dzy
U
0
i
I
0
1
2
Z
=
R
2
+
w
L
-
(24.11)
w
C
pełni analogiczn
ą
rol
ę
jak opór
R
w prawie Ohma. Wielko
ść
Z
nazywamy
impedancj
ą
(
zawad
ą
) obwodu.
Gdy zmienne sinusoidalne napi
ę
cie przyło
Ŝ
ymy do kondensatora to
U
=
q
C
St
ą
d
d
U
=
I
d
t
C
co dla
U=U
0
sin
w
t
daje
I
w
U
cos
w
t
=
0
C
St
ą
d
I
=
w
CU
cos
w
t
=
w
CU
sin(
w
t
+
90
A
)
0
0
24-3
1/
w
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wida
ć
,
Ŝ
e
pr
ą
d wyprzedza napi
ę
cie
na kondensatorze o 90
°
.
C
pełni
ą
ca rol
ę
analogiczn
ą
do oporu w obwodzie pr
ą
du stałego nazywamy
reaktancj
ą
pojemno
ś
ciow
ą
.
w
C
) a stała proporcjonalno
ś
ci 1/
w
X
C
= 1/w
C
(24.12)
Je
Ŝ
eli generator pr
ą
du zmiennego podł
ą
czymy do cewki indukcyjnej to analogicznie
mo
Ŝ
na pokaza
ć
,
Ŝ
e
I
=
-
U
0
cos
w
t
=
U
0
sin(
w
t
-
90
A
)
w
L
w
L
Pr
ą
d
pozostaje za napi
ę
ciem
o 90
°
, a
reaktancja indukcyjna
ma warto
ść
X
L
=
w
L
(24.12)
Zauwa
Ŝ
my,
Ŝ
e w obwodzie
RLC
, pomimo poł
ą
czenia szeregowego oporów omowego,
pojemno
ś
ciowego i indukcyjnego ich opór zast
ę
pczy (zawada) nie jest prost
ą
sum
ą
tych
oporów. Wynika to wła
ś
nie z
przesuni
ęć
fazowych
.
Trzeba je uwzgl
ę
dni
ć
przy dodawaniu napi
ęć
.
U = U
R
+ U
C
+ U
L
czyli
U = I
0
R
sin
w
t
-
X
C
I
0
cos
w
t
+
X
L
I
0
cos
w
t
(na kondensatorze
U
pozostaje za
I
, na cewce
U
wyprzedza
I
)
St
ą
d
U
0
=
R
sin
w
t
+
(
X
-
X
)
cos
w
t
I
L
C
0
Mamy teraz doda
ć
sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku obok Mo
Ŝ
emy przy tym
skorzysta
ć
z wyra
Ŝ
enia (24.10) według, którego tg
j
= (
X
L
-
X
C
)/
R
.Relacja ta jest pokazana na rysunku poni
Ŝ
ej
Z
(X
L
- X
C
)
j
R
Zauwa
Ŝ
my, ze przeciwprostok
ą
tna trójk
ą
ta na rysunku jest równa zawadzie
Z
= (
R
2
+ (
X
L
- X
C
)
2
)
1/2
.
24-4
Maksymalny pr
ą
d
I
0
=
U
0
/(
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
24.3.1
Rezonans
Drgania ładunku, pr
ą
du i napi
ę
cia w obwodzie odbywaj
ą
si
ę
z cz
ę
sto
ś
ci
ą
zasilania
w
.
i osi
ą
ga maksimum dla pewnej charakterystycznej
warto
ś
ci tej cz
ę
sto
ś
ci. Przypomnijmy,
Ŝ
e zjawisko to nazywamy
rezonansem
. Dla
małego oporu
R
czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy
w
w
= w
=
1
(24.13)
0
LC
Nat
ęŜ
enie pr
ą
du osi
ą
ga wtedy warto
ść
maksymaln
ą
równ
ą
I
=
U
0
(24.14)
0
R
Widzimy,
Ŝ
e nat
ęŜ
enie pr
ą
du w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani
pojemno
ś
ci ani indukcyjno
ś
ci, a zawada wynosiła
R
.
Przykład
Drgania wymuszone w obwodzie mo
Ŝ
na tak
Ŝ
e wywoła
ć
bez wł
ą
czania bezpo
ś
redniego
ź
ródła SEM w postaci generatora. Przykładem mo
Ŝ
e by
ć
układ
RLC
w obwodzie
wej
ś
ciowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poni
Ŝ
ej. Układ ten jest
zasilany sygnałem z anteny.
W układzie dostrojenie do
cz
ę
stotliwo
ś
ci danej radiostacji jest
osi
ą
gane przez dobranie pojemno
ś
ci.
W ten sposób jest spełniony warunek
rezonansu dla tej cz
ę
stotliwo
ś
ci.
Przyjmijmy,
Ŝ
e w pokazanym układzie
R
= 10
, a
L
= 1
m
U
=
I
X
=
U
0
1
=
U
0
L
C
rez
0
C
R
w
C
R
C
0
V to napi
ę
cie na kondensatorze
przy cz
ę
stotliwo
ś
ci rezonansowej ma warto
ść
6.35 mV. Dla porównania napi
ę
cie na
kondensatorze przy tych samych ustawieniach
R
,
L
,
C
i sygnale o tej samej amplitudzie
ale o cz
ę
stotliwo
ś
ci 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV.
m
24-5
Amplituda tych drga
ń
zale
Ŝ
y od
H. Sprawd
ź
my, jaka
powinna by
ć
pojemno
ść
C
aby uzyska
ć
dostrojenie odbiornika (rezonans) do
stacji "Jazz Radio", która w Krakowie
nadaje na cz
ę
stotliwo
ś
ci 101 MHz?
Korzystaj
ą
c z warunku (24.13)
otrzymujemy
C =
2.48 pF.
W warunkach rezonansu napi
ę
cie na
kondensatorze (w obwodzie
RLC
) jest równe
W
,
Je
Ŝ
eli sygnał wej
ś
ciowy z anteny ma amplitud
ę
100
Plik z chomika:
sliwak
Inne pliki z tego folderu:
00 Spis treści.pdf
(53 KB)
01 Wprowadzenie.pdf
(74 KB)
02 Ruch jednowymiarowy.pdf
(68 KB)
03 Ruch na płaszczyźnie.pdf
(74 KB)
04 Dynamika punktu materialnego I.pdf
(59 KB)
Inne foldery tego chomika:
Animacje i symulacje do różnych działów fizyki
Arkusz maturalne
Arkusze matur
arkusze maturalne 2005-2011
Arkusze przykładowe
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin