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Dierential Topology
Bjørn Ian Dundas
26th June 2002
2
Contents
1 Preface
7
2 Introduction 9
2.1 A robot's arm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Dependence on the telescope's length . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Moral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Compact surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.8 Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Smooth manifolds 21
3.1 Topological manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Smooth structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Maximal atlases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Smooth maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Products and sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 The tangent space 43
4.0.1 Predenition of the tangent space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Germs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 The tangent space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Derivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Vector bundles 57
5.1 Topological vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Transition functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Smooth vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Pre-vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 The tangent bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3
4
CONTENTS
6 Submanifolds 75
6.1 The rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 The inverse function theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 The rank theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4 Regular values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5 Immersions and imbeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.6 Sard's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Partition of unity 93
7.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Smooth bump functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 Renements of coverings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.4 Existence of smooth partitions of unity on smooth manifolds. . . . . . . . . 98
7.5 Imbeddings in Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8 Constructions on vector bundles 101
8.1 Subbundles and restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2 The induced bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.3 Whitney sum of bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.4 More general linear algebra on bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.4.1 Constructions on vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.4.2 Constructions on vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.5 Riemannian structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.6 Normal bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.7 Transversality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.8 Orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.9 An aside on Grassmann manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9 Dierential equations and ows 123
9.1 Flows and velocity elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2 Integrability: compact case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.3 Local ows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4 Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.5 Ehresmann's bration theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.6 Second order dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.6.7 Aside on the exponential map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10 Appendix: Point set topology 145
10.1 Topologies: open and closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.2 Continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.3 Bases for topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.4 Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.5 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
CONTENTS
5
10.6 Quotient spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.7 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.8 Product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.9 Connected spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.10 Appendix 1: Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.11 Appendix 2: Set theoretical stu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.11.2 De Morgan's formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11 Appendix: Facts from analysis 159
11.1 The chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.2 The inverse function theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.3 Ordinary dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
12 Hints or solutions to the exercises
163

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