nasza 61.doc

Cel ćwiczenia

              Obserwacja drgań tłumionych i przebiegów aperiodycznych w obwodzie LCR. Pomiar i interpretacja parametrów opisujących obserwowane przebiegi napięcia U(t). Badanie obwodu LCR jako modelowej realizacji fizycznej liniowego równania różniczkowego dru­giego stopnia.

Wprowadzenie

                            Zjawisko drgań elektromagnetycznych w obwodzie złożonym z idealnej indukcyjności L i pojemności C jest szczegółowo opisane w podręcznikach. Częstość w takich niegasnących drgań dana jest wzorem

              Rzeczywisty obwód posiada niezerową rezystancję R, na który składa się rezystancja cewki i dodatkowej opornicy.

Zachowanie obwodu, nazywanego obwodem LCR, opisuje równanie różniczkowe

              Nie ma łatwego sposobu pomiaru zmiennego w czasie ładunku q(t), ale możemy mierzyć, proporcjonalne do q(t), napięcie kondensatora U(t) = q(t)/C. Równanie powyższe przepisać można dla funkcji U(t) w postaci:

.

Równanie to, w zależności od wartości parametru

,

nazwanego rezystancją krytyczną, ma trzy jakościowo różne rozwiązania.

1. Dla wartości R<Rc otrzymujemy rozwiązanie w postaci funkcji

które reprezentuje gasnące drgania kosinusoidalne. b jest współczynnikiem tłumienia, którego odwrotność odpowiada czasowi po którym amplituda sygnału spadnie o czynnik 1/e. Wartości b i w wyrażają się przez:

,              ,

A jest amplitudą niegasnących drgań, a d jest fazą.

2. Dla wartości R=Rc rozwiązaniem jest funkcja

,

która najszybciej maleje do zera (najszybsze wytłumienie drgania).

3.  Dla R>Rc funkcja ma rozwiązanie w postaci

,

gdzie , . Gdy spełnione jest R>>Rc, to powyższą funkcję można przybliżyć funkcją

,

gdzie t=RC. Na poniższym rysunku zebrane są wszystkie omówione przypadki.