Maxim Kontsevich i matematyka współczesna.pdf

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO

Seria II: WIADOMOSCI MATEMATYCZNE XXXVIII (2002)

HenrykŻołądek (Warszawa)

MaximKontsevichi matematykawspółczesna

1. Wstęp. Kiedy H. C. Taubes [Ta] przedstawiał na Międzynarodo

wymKongresie Matematycznym wBerlinie osiągnięcia M.Kontsevicha ( 1 )

(z okazji przyznania mu medalu Fieldsa), wymienił cztery jego wyniki jako

główne: dowód pewnej hipotezy E. Wittena [Ko3], wprowadzenie nowych

niezmiennikówwniskowymiarowejtopologii[Ko5],[Ko6],badanianadenu

meratywnągeometrią krzywych wymiernych [Ko7], [KM1]iznalezienie uni

wersalnego wzoru na kwantowanie [Ko12]. Na samym początku zaznaczył

także, że wpływ Kontsevicha na dalszy rozwój tych dyscyplin był prze

ogromny. Podobnie Ju. I. Manin [LLMM] wymienia powyższe wyniki jako

główne w jego dorobku.

Należałoby dodać, że Kontsevich nie stronił od zajmowania się różnymi

odległymidziedzinami matematyki: algebrami Liego [KiKo], teorią prawdo

podobieństwa [KKR], układami dynamicznymi [Ko10], [KoSu], teorią ope

ratorów eliptycznych [KoVi], geometrią nieprzemienną [KoRo], operadami

[KoSo] i funkcjami zeta [KoZa]. Przy tym lista jego publikacji nie jest by

najmniej długa (w spisie literatury umieściłem wszystkie prace, do których

udało mi się dotrzeć). Niektórych wyników i idei nie publikował, ale stano

wiły one inspirację dla innych. Chodzi tu o takie sprawy jak: teoria moty

wicznego całkowania (rozwinięta potem przez J. Denefa i F. Loesera, patrz

[Lo]) czy użycie pojęcia algebraicznego orbifoldu do dowodu hipotezy Ar

nolda z geometrii symplektycznej (wykorzystane przez K. Fukayę i K. Ono

[FuOn]).

Jest to kolejny artykuł w Wiadomościach Matematycznych omawiający dokonania

medalistów Fieldsa. Poprzednie, o pracach R. E. Borcherdsa i C. McMullena, ukazały się

w tomie XXXV.Zabiegi Redakcjio znalezienie autora artykułuprzedstawiającego wyniki

W. T. Gowersa zakończyły się niepowodzeniem. (Przypis Redakcji)

Praca napisana w ramach tematu KBN nr 2 P03A 010 22.

( 1 ) Józef Przytycki opowiadał, że Kontsevich w rozmowie z nim przyznał, że jego

dawni przodkowie (początki XIX wieku) byli Polakami. Teoretycznie mógłbym zatem

używać polskiej pisowni jego nazwiska, Koncewicz. Nie robię tego z dosyć oczywistych

powodów.

H. Żołądek

Wyniki Kontsevicha można podzielić na klasyczne i nowoczesne. Chcia

łobysiępowiedzieć,żetepierwszenależądonurtuXXwiecznego (isąprzy

stępne dla zwykłego matematyka), zaś te drugie wybiegają już w wiek XXI

(i wymagają dużego wysiłku, aby je chociaż częściowo przyswoić).

Opowiem o głównych wynikach Kontsevicha z obu grup. Moim celem

będziewprowadzenieczytelnikawmożliwieprzystępnysposóbdozagadnień,

którymi się zajmował. Dlatego też więcej będzie o matematyce i zyce niż

o samym Kontsevichu.

2. Układy dynamiczne

2.1. Wykładniki Lapunowa i teoria Hodge’a. M. Kontsevich wspólnie

z A. Zorichem [Ko10] badali quasiokresowe układy dynamiczne i odkryli

(oraz wyjaśnili) ciekawe asymptotyczne zależności. Rzecz dotyczy portretu

fazowegopolawektorowego ξ napowierzchni Σ (rzeczywistejigenusu g 1)

zachowującego formę powierzchni ω , tzn. Lie ω = 0. Tutaj i ω = α , gdzie

dα =0,czylimożnazapisać α = dH ,gdzie H jestniejednoznaczną„funkcją

Hamiltona” dla pola ξ .

W typowej sytuacji powierzchnia Σ rozbija się na składowe wypełnione

okresowymitrajektoriami inaminimalneskładowezgęstymi trajektoriami.

Przy pomocy cięcia I (tj. odcinka w Σ ) transwersalnego do pola ξ i prze

kształcenia powrotu dostaje się tzw. przekształcenie przekładania odcinków

T : I → I . To oznacza, że po utożsamieniu I z [0 ,a ] ⊂ R istnieje rozbicie

[0 ,a ]napododcinki( a 0 ,a 1 ) , ( a 1 ,a 2 ) ,..., ( a k − 1 ,a k )takie,że T |

∼ const N .

Obliczenia pokazały, że λ =0 dla k =2, 3 (co odpowiada genusowi g =1),

λ ≈ 0 , 333 ... dla k =4 i λ ≈ 0 , 500 ... dla k =5 (tutaj g =2), zaś dla k =6

(czyli g = 3), zależnie od permutacji, λ ≈ 0 , 6156 ... lub λ ≈ 0 , 7137 ... Co

więcej, w przestrzeni H 1 ( Σ, R) (1wymiarowych homologii) istnieje ltracja

typu Lapunowa

H 1 ( Σ, R) ⊃ F g ⊃ ... ⊃ F 1 ⊃ 0 , dim F j = j,

związana z powyższymi wykładnikami. Ta ltracja jest zdeniowana przez

zachowanie siękawałków trajektorii x ( t )odługościach l j →∞ ,któresąbli

skie krzywym zamkniętym. Po domknięciu (krótkim odcinkiem) otrzymuje

( a i ,a i +1 ) ( x )=

x + b i i obrazy T ( a i ,a i +1 ) są rozłączne. Te nowe odcinki (i stałe b i ) są

zdeniowane za pomocą pewnej permutacji σ ∈ S ( k ). Jeśli permutacja jest

„nieredukowalna”,toprzekształcenie T jestergodycznewzględemmiaryLe

besgue’a dx .

Z ergodyczności wynika, że ♯ { i :1 i N , T i ( x ) ∈ ( y 1 ,y 2 ) } =( y 2 − y 1 ) N

+ o ( N ) przy N → ∞ . Okazuje się, że następny wyraz asymptotyki tego

wyrażenia ma postać

Maxim Kontsevich i matematyka współczesna

sięcykle v j ∈ H 1 ( Σ, R),któremająpostać v j = l i

u ,gdzie u ∈ F i \ F i − 1 .

W powyższych przykładach λ 1 =1 i λ 2 = λ .

Rachunki komputerowe pokazały także, że

λ 1 + ... + λ g ∈ Q ,

np. dla g =3 zachodzi λ 1 + λ 2 + λ 3 = 5 28 z dużą dokładnością.

Wyjaśnienie powyższych zjawisk leży w rozważeniu tzw. potoku renor

malizacji na pewnej przestrzeni moduli M d deniowanej następująco. Do

formy α = i ω napowierzchnidobierasiędrugąformę α

′

taką,że α ∧ α

′

i pła

ską metrykę (Re α C ) 2 +(Im α C ) 2 . Tutaj α C ma zera rzędu d i w p i i d =

( d 1 ,...,d n ). M d jestprzestrzeniąmodulitrójek( C, { p 1 ,...,p n } ,α C )(gdzie

C jest krzywą zespoloną homeomorczną z Σ ) względem działania grupy

dyfeomorzmów.

Na M d jest określona funkcja A = i 2

′

C α C

∧ α C , pewnamiara i potok

− t Im α C ).Tenpotokzachowujefunkcję A ,

miarę i jest ergodyczny na powierzchni A

− 1 (1). Wykładniki λ i (zdenio

wane powyżej) są wykładnikami Lapunowa potoku T t .

W [Ko10] obliczono λ 1 + ... + λ g w terminach pewnych klas charakte

rystycznych (form różniczkowych, których nie chcę bliżej deniować):

β ∧ γ 2

λ 1 + ... + λ g =

β ∧ γ 1

− 1 (1) /SO (2 , R)

względem działania obrotów w R 2 = { (Re α C , Im α C ) } . Stąd dostaje się,

że λ 1 + ... + λ g jest liczbą wymierną.

2.2. Wielowymiarowe ułamki łańcuchowe. Każdy wie, co to jest ułamek

łańcuchowy liczby y ∈ (0 , 1):

y =

a 0 +

a 2 + ...

a 1 +

w skrócie y = [ a 0 ,a 1 ,... ]. Wiadomo także, że to rozwinięcie jest związane

z przekształceniem Gaussa y →

część ułamkowa 1 y

, które posiada

ln2(1+ y ) .

W [Ar1] jest opisana geometryczna interpretacja skończonych reduktów

1 / ( a 0 +1 / ( a 1 + ... +1 /a n ) ... ) = p n /q n . Nabijamy gwoździe w punktach

> 0

poza skończoną liczbą punktów p 1 ,...,p n . W ten sposób dostaje się struk

turę zespoloną na Σ \ { p 1 ,...,p n } taką, że dz = α C = α + iα

T t :(Re α C , Im α C ) → ( e t Re α C ,e

gdzie całkowanie odbywa się po przestrzeni ilorazowej A

niezmienniczą miarę

H. Żołądek

(Z + ) 2 ,rozciągamy nieskończoną prostąnićorównaniu Y = yX , zaczepioną

w nieskończoności (+ ∞ ,y ∞ ), a następnie pociągamy drugi koniec nici

w górę i w dół. Utworzą się dwie łamane o wierzchołkach typu ( p n ,q n ).

Zmodykujemy tę konstrukcję, z myślą o uogólnieniu jej na przypadek

wielowymiarowy.Rozważmy2wymiaroweprzekształcenieGaussa( x 1 ,x 2 ) →

( x

1 ,x

2 )=

x 1

[1 /x 1 ]+ x 2

2 =

[ a 0 ,a − 1 ,... ].Niech x =[ a 0 ,a − 1 ,a 1 ,a − 2 ,... ].Weźmystożekw R + × R (gdzie

w punktach Z + × Z są ponabijane gwoździe) rozpięty przez półproste X 2 =

1 = [ a 1 ,a 2 ,... ] i x

′

x X 1 i X 2 = − xX 1 , X 1 0(tworzącejednąnieskończonąnić).Naciągająctę

nićdostajemy łamaną V , nazywaną woalką , której wierzchołki odpowiadają

reduktom ułamka łańcuchowego dla x .

Z 2wymiarowym przekształceniem Gaussa wiąże się pewien potok za

wieszenia. Przestrzenią fazową potoku jest 3wymiarowa przestrzeń jedno

rodna SL (2 , R) /SL (2 , Z), apotokjestindukowanyprzezdziałaniemacierzy

diagonalnych diag( e t ,e

− t ). Rzecz w tym, że punktywektory wierzchołkowe

f j = ( p j ,q j ) ∈ V są takie, że det( f j ,f j +1 ) = 1 dla krawędzi [ f j ,f j +1 ] ⊂ V .

Potok zawieszenia zachowuje miarę Haara ν .

Wielowymiarowe uogólnienie powyższej konstrukcji polega na rozważe

niuogólnej hiperpowierzchniw R n (np.wielościennego stożka lubparabolo

idy) i skonstruowaniu woalki V , czyli brzegu otoczki wypukłejzbioru punk

tów kratowych wewnątrz obszaru ograniczonego przez hiperpowierzchnię.

Ta otoczka wypukłanazywa się wielościanem Kleina. Tutajprzekształcenie

Gaussadziałanazbiorze( n − 1)wymiarowychścianwoalki V .Dokładniej,nie

mamytujednegoprzekształcenia:zkażdą( n − 2)wymiarowąkrawędziąda

nejścianyjestzwiązaneprzekształceniepolegającenaobróceniuścianywokół

tejkrawędzidosąsiedniejściany.Jesttorealizowanezapomocą„przekształ

ceniapowrotu”dladziałaniagrupymacierzydiagonalnychdiag( λ 1 ,...,λ n ),

λ 1 ...λ n =1naprzestrzenijednorodnej SL ( n, R) /SL ( n, Z)zniezmienniczą

miarą Haara ν .

Okazuje się, że statystyczne (tj. ergodyczne) własności wielowymiaro

wych ułamków łańcuchowych są bardzo ciekawe. Na przykład, w [KoSu]

M. Kontsevich i Ju. Sukhov pokazali, że dla woalki związanej z wielo

ściennym stożkiem średnia liczba punktów kratowych w ścianie woalki jest

równa ∞ . Ale dla woalki związanej z paraboloidą ta liczba jest skończona.

3. Kwantowa grawitacja, przestrzenie moduli krzywych i hie

rarchia KdV

3.1. Fizycy i matematycy. Dziwne rzeczy dzieją się ostatnio w pań

stwie zwanym matematyką. Zaczęli się u nas panoszyć zycy. Wprawdzie

zawsze zycy usiłowali rozwiązywać matematyczne zadania (mniej lub bar

zmiarąniezmienniczą dx 1 dx 2 / (ln2(1+ x 1 x 2 ) 2 );

tutaj jeśli x 1 = [ a 0 ,a 1 ,... ] i x 2 = [ a − 1 ,a − 2 ,... ], to x

′

Maxim Kontsevich i matematyka współczesna

dziej udolnie). Przy tym nie ośmielali się wychodzić poza ustalone rygory

matematycznej ścisłości. Niestety, ostatnio zaczęli stosować metody abso

lutnie niedopuszczalne. Dodają i odejmują nieskończoności na swój sposób,

swobodnie używają tzw. całek Feynmana po trajektoriach (na które sza

nujący się analityk wzruszyłby ramionami) oraz liczą wyznaczniki operato

rów typu − , które są wyrażeniami typu 0 ∞ . I, o dziwo, wysuwają się

na czoło w takich dziedzinach jak geometria rozmaitości czy teoria praw

dopodobieństwa. Chodzi o to, że zastosowali aparat kwantowej teorii pola

(przeznaczony w istocie do opisu oddziaływań elektronów lub kwarków) do

zagadnień czysto matematycznych i wykonując pewne uproszczone (ale na

pewno nie proste) obliczenia doszli do wyników, o których matematykom

się nie śniło i które okazują się prawdziwe.

Naprzykład,posługującsięformalizmemkonforemnejteoriipolaB.Du

plantieriK.H.Kwon[DuKw]obliczyli,żewymiarHausdorabrzeguotoczki

trajektorii ruchu Browna na płaszczyźnie (tj. obszaru wewnątrz trajektorii)

wynosi4 / 3.DopieroniedawnoG.F.Lawler,O.SchrammiW.Wernerpodali

ścisły dowód tego twierdzenia w trudnej pracy [LSW].

Dalsze części tego rozdziału są poświęcone innemu przykładowi z tej

samej działki. Opowiemy o pewnej hipotezie E. Wittena [Wi2] (udowod

nionej przez Kontsevicha [Ko2], [Ko3]), która wiąże trzy pozornie nie po

wiązane zagadnienia: macierzowy model teorii grawitacji, wiązki liniowe

nad przestrzenią moduli powierzchni Riemanna i teorię układów całkowal

nych ( 2 ).

3.2. Macierzowymodel 2 wymiarowej teoriigrawitacji. Punktemwyjścia

tego modelu jest następująca własność Gaussowskich zmiennych losowych

(nazywana czasami lematem Wicka ): jeśli E ξ i = ξ i =0, to

ξ 1 ξ 2 ...ξ 2 n =

ξ i k ξ j k

k =1

gdzie sumujesię porozbiciach zbioru { 1 ,..., 2 n } narozłączne pary { i 1 ,j 1 } ,

..., { i n ,j n } . My będziemystosować tę własnośćw przypadku,gdy zmienne

losowe ξ i są wyrazami macierzowymi X ij Hermitowskich macierzy loso

wych X wymiaru N × N z rozkładem prawdopodobieństwa zadanym przez

d = const e

( 2 ) Jan Wehr był w Princeton w czasie, kiedy Witten postawił tę hipotezę. Opowia

dał mi, że następnego dnia z miejscowej biblioteki zniknęły wszystkie książki o układach

całkowalnych.

− 2 tr X 2 dX ,gdzie Λ jestustalonądodatniookreślonąmacie

rzą Hermitowską. Załóżmy, że Λ = diag( Λ 1 ,...,Λ N ). Wtedy lemat Wicka

prowadzi do następujących przykładowych relacji (patrz [BIZ]):

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: