7-GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI.doc

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

v    ALGEBRA WEKTORÓW

• • Definicja kartezjańskiego układu współrzędnych:

Kartezjańskim układem współrzędnych prostokątnych (układem ortogonalnym lub ortokartezjańskim) nazywamy uporządkowaną trójkę półosi regularnych wzajemnie do siebie prostopadłych o wspólnym początku i wspólnej jednej długości. Stosujemy oznaczenie OXYZ.

• Definicja:

Położenie dowolnego punktu P w przestrzeni można określić za pomocą trójki liczb nazywanych współrzędnymi punktu P, co zapisujemy: P(xp,yp,zp), gdzie:

xp – oznacza współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OX

yp – oznacza współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OY

zp – oznacza współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OZ

                         Z

                    zp

                                                P(xp,yp,zp)

                                                        yp                     Y             

    xp                                         

X

• FAKT:

Weźmy punkty A(x1,y1,z1) i B(x2,y2,z2). Punkty te wyznaczają w układzie OXYZ odcinek , którego długość wyraża się wzorem:

• Definicja wektora:

Parę uporządkowaną punktów A i B w przestrzeni nazywamy wektorem i oznaczamy symbolem AB lub a, zapisujemy AB=(ax,ay,az), gdzie ax,ay,az nazywamy współrzędnymi wektora AB w układzie OXYZ i obliczamy z zależności:

ax=x2–x1, ay=y2–y1, az=z2–z­1

• FAKT:

Długość wektora AB, oznaczamy: |AB| lub |a| wyraża się wzorem:

Przykład: Obliczyć długość wektora rozpiętego między punktami P1(0,2,-1) i P2(3,0,1).

• Definicja sumy wektorów:

Sumą wektorów a=[ax,ay,az] i b=[bx,by,bz] nazywamy wektor, którego współrzędne tworzymy dodając odpowiednie składowe wektorów a i b, tj. wektor postaci:

a + b = [ax+bx ; ay+by­ ; az+bz]

         a

                      a + b

                  b

              b

• Własności sumy wektorów:

1)    







a+b=b+a                             (przemienność)

2)    











(a+b)+c=a+(b+c)              (łączność)

3)    









a+0=0+a=a                            (element neutralny dodawania wektorów)

4)    





a+(-a)=0                            (wektor przeciwny)

• Definicja iloczynu wektora przez liczbę:

Iloczynem wektora (niezerowego) a przez liczbę λR, λ0 nazywamy wektor λa skierowany zgodnie ze skierowaniem wektora a jeśli λ>0, a przeciwnie, jeśli λ<0, o długości równej |λa| w postaci. λa=[ λax, λay, λaz].

Jeśli λ=0 lub a=0 to iloczyn ten jest wektorem zerowym.

• Własności iloczynu wektora przez liczbę:

1)    





(λ+α)a=λa+αa

2)    



λ(αa)=(λα)a

dla α, λR

• Definicja kombinacji liniowej n wektorów:

Weźmy n wektorów a1, a2,..., an oraz n liczb λ1, λ2,..., λn R. Kombinacją liniową wektorów a1, a2,..., an nazywamy wektor postaci:

• Definicja liniowej zależności i niezależności wektorów:

Wektory a1, a2,..., an nazywamy liniowo zależnymi jeśli istnieją liczby λ1, λ2,..., λn nie wszystkie jednocześnie równe zero (tj. ) takie, że:

Jeśli wektory a1, a2,..., an nie są liniowo zależne, to są one liniowo niezależne.

• Definicja:

Mówimy, że dwa wektory a i b są kolinearne jeśli są liniowo zależne, natomiast trzy wektory a, b i c koplanarne jeśli są one liniowo zależne.

• Definicja rzutu prostokątnego punktu:

Rzutem prostokątnym punktu A na oś (skierowaną) S nazywamy punkt A’, w którym prostopadła poprowadzona przez punkt A do osi S przecina ją.

        A                                                S

                        .

                   A’   

• Definicja rzutu prostokątnego wektora:

Rzutem prostokątnym wektora a=AB na oś (skierowaną) S nazywamy wektor as=A’B’, którego początek A’ jest rzutem początku wektora a, tj. punktu A, natomiast koniec B’ jest rzutem końca wektora a, tj. punktu B.

                                            B

                                  a             

                            A                                               S

                                                          B’                            Oznaczmy przez as długość rzutu wektora a na oś S.

                                      as

                                     A’

        α

• Twierdzenie:

Długość wektora as będącego rzutem wektora a na oś S jest równa iloczynowi długości wektora a i cosinusa kąta nachylenia wektora a i osi S, tj.: |as|=|a|cos(aS).

• Definicja wersora:

Wersorem (lub wektorem jednostkowym) nazywamy wektor o długości jeden.

• Definicja wersorów układu współrzędnych:

Wektory i=[1,0,0], j=[0,1,0], k=[0,0,1] nazywamy wersorami odpowiednio osi OX, OY i OZ w układzie kartezjańskim OXYZ.

                k     1

                              j                                         

           i             1

                 1

• ...