wyklad_02.pdf
(
457 KB
)
Pobierz
Metoda elementów skonczonych
Wprowadzenie do MES
Podstawowe wiadomosci z algebry macierzowej. Proste przykłady rozwi azania zagadnie n MES
(wersja 3.1.0)
1 Naprezenia wazne dla inzynierów
Naprezenia w konstrukcji
• Dla konstrukcji w równowadze obci azenia zewnetrzne = reakcji w zamocowaniu
• Kazda konstrukcja słuzy „przewodnikiem” obci azenia od jednej czesci do drugiej
• Dla równowagi pozostałej czesci konstrukcji w przekroju musi działac obci azenie ze strony czesci od-
rzuconej
• Naprezenia w kazdym przekroju mozna rozłozyc na składowe: normaln a i styczn a
Naprezenia „z tytułami”
,
yy
yx
xx
xx
xy
xy
y
yx
yy
x
Nazewnictwo
Składnia uzywana do napreze n to
A
B
, gdzie
•
A
– os prostopadła do przekroju
•
B
– kierunek naprezenia
Uwagi
1. w 3D w kazdym punkcie mamy 3 naprezenia normalne
xx
,
yy
,
zz
oraz 6 stycznych
xy
,
xz
,...,
zy
2. Z warunków równowagi (moment obrotu = 0) wynika, ze
xy
=
yx
. W 3D analogicznie
xz
=
zx
,
yz
=
zy
.
3. Czesto dla napreze n stycznych zamiast
uzywa sie
, czyli
xy
!
xy
1
MES, wykład 2. Wprowadzenie do MES
Naprezenia „z tytułami” wazne dla inzyniera
y
y
x
x
1
2
Naprezenia główne, 2D
1
(albo
11
) – maksymalne naprezenie normalne (czyli rozci agaj ace lub sciskaj ace) w danym punkcie. W kie-
runku prostopadłym do niego działa
2
(
22
) – minimalne naprezenie normalne. W obydwóch tych przekrojach
brak napreze n stycznych.
Naprezenia główne, 3D
Analogiczne naprezenia
1
>
2
>
3
działaj a na 3 prostopadłych płaszczyznach w danym punkcie.
• W przypadku jednoosiowego rozci agania kryterium plastycznosci jest prosty
=
Y
, gdzie
Y
– granica
plastycznosci.
• Dla przypadku wieloosiowego obci azenia istnieje wiele kryteriów, najbardziej popularny z których to
kryterium von Misesa (1913)
eff
=
Y
, gdzie
p
q
eff
=
2
(
1
−
2
)
2
+ (
1
−
3
)
2
+ (
2
−
3
)
2
2 Podstawowe operacje na wektorach i macierzach
2.1 Podstawowe operacje na wektorach
Po co nam te wektory i macierze?
Wiele zagadnie n inzynierskich (w tym MES) sprowadza sie do rozwi azywania układów równa n liniowych
8
>
<
1
x
1
+
11
x
2
+
111
x
3
=
10
22
x
1
+
222
x
2
+
2
x
3
=
20
333
x
1
+
3
x
2
+
33
x
3
=
30
>
:
Rozwi azuj ac taki układ realnie wykonujemy operacje tylko na liczbach
8
>
<
1
x
1
+
11
x
2
+
111
x
3
=
10
22
x
1
+
222
x
2
+
2
x
3
=
20
333
x
1
+
3
x
2
+
33
x
3
=
30
×
10
>
:
8
>
<
10
x
1
+
110
x
2
+
1110
x
3
=
100
22
x
1
+
222
x
2
+
2
x
3
=
20
333
x
1
+
3
x
2
+
33
x
3
=
30
(2) + (3)
>
:
8
>
<
10
x
1
+
110
x
2
+
1110
x
3
=
100
22
x
1
+
222
x
2
+
2
x
3
=
20
(22 + 333)
x
1
+
(222 + 3)
x
2
+
(2 + 33)
x
3
=
20 + 30
8
>
<
>
:
10
x
1
+
110
x
2
+
1110
x
3
=
100
22
x
1
+
222
x
2
+
2
x
3
=
20
355
x
1
+
225
x
2
+
35
x
3
=
50
Z powodów scisle pragmatycznych oddzielamy liczby od niewiadomych
>
:
3.1.0 — 1 pazdziernika 2008
© I.Rokach, 2005–2008
2
MES, wykład 2. Wprowadzenie do MES
2
6
4
1 11 111
22 222 2
333 3
3
7
5
(?)
2
6
4
x
1
x
2
x
3
3
7
5
=
2
6
4
10
20
30
3
7
5
33
Definicja 2 wektorów
a
= (
a
1
, a
2
, ..., a
n
),
b
= (
b
1
, b
2
, ..., b
n
)
Mnozenie wektora przez skalar
a
= (
a
1
, a
2
, ..., a
n
)
Przykład
a
= (1
,
2
,
3)
= 10
a
= (10
,
20
,
30)
Dodawanie lub odejmowanie wektorów
a
±
b
= (
a
1
±
b
1
, a
2
±
b
2
, ..., a
n
±
b
n
)
UWAGA! Wektory musz a składac sie z jednakowej ilosci elementów
Przykład
a
= (1
,
2
,
3)
b
= (10
,
20
,
30)
a
+
b
= (11
,
22
,
33)
Iloczyn skalarny wektorów
ab
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
...
+
a
n
b
n
=
P
n
i
=1
a
i
b
i
UWAGA! Wektory musz a składac sie z jednakowej ilosci elementów
Przykład
a
= (1
,
2
,
3)
b
= (10
,
20
,
30)
ab
= 1
×
10 + 2
×
20 + 3
×
30 = 140
2.2 Podstawowe operacje na macierzach
Definicja kilku macierzy
"
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
#
"
b
11
b
12
b
13
b
21
b
22
b
23
#
2
6
4
c
11
c
12
c
21
c
22
c
31
c
32
3
7
5
A
=
B
=
C
=
Mnozenie macierzy przez skalar
"
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
#
A
=
Dlaczego jest tak samo jak w przypadku wektorów?
Bo wektor jest macierz a (1-wierszow a lub 1-kolumnow a)
Dodawanie lub odejmowanie macierzy
"
a
11
±
b
11
a
12
±
b
12
a
13
±
b
13
a
21
±
b
21
a
22
±
b
22
a
23
±
b
23
#
A
±
B
=
3.1.0 — 1 pazdziernika 2008
© I.Rokach, 2005–2008
3
MES, wykład 2. Wprowadzenie do MES
UWAGA! Macierze musz a miec jednakowe wymiary
Transponowanie macierzy (
a
ij
!
a
ji
)
"
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
#
2
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
3
A
=
A
T
=
6
4
7
5
Realnie jest to „obracanie” macierzy wokół przek atnej
Mnozenie macierzy
"
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
#
2
6
4
3
c
11
c
12
c
21
c
22
c
31
c
32
A
·
C
=
7
5
=
"
P
3
i
=1
a
1
i
c
i
1
P
3
i
=1
a
1
i
c
i
2
#
=
P
3
i
=1
a
2
i
c
i
1
P
3
i
=1
a
2
i
c
i
2
"
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
#
2
6
4
3
c
11
c
12
c
21
c
22
c
31
c
32
A
·
C
=
7
5
=
"
P
3
i
=1
a
1
i
c
i
1
=
a
11
c
11
+
a
12
c
21
+
a
13
c
31
P
3
i
=1
a
1
i
c
i
2
#
=
P
3
i
=1
a
2
i
c
i
1
P
3
i
=1
a
2
i
c
i
2
A
·
C
=
"
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
#
2
6
4
c
11
c
12
c
21
c
22
c
31
c
32
3
7
5
=
"
P
3
i
=1
a
1
i
c
i
1
P
3
i
=1
a
1
i
c
i
2
=
a
11
c
12
+
a
12
c
22
+
a
13
c
32
#
=
P
3
i
=1
a
2
i
c
i
1
P
3
i
=1
a
2
i
c
i
2
A
·
C
=
"
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
#
2
6
4
c
11
c
12
c
21
c
22
c
31
c
32
3
7
5
=
"
P
3
i
=1
a
1
i
c
i
1
P
3
i
=1
a
1
i
c
i
2
#
=
P
3
i
=1
a
2
i
c
i
1
=
a
21
c
11
+
a
22
c
21
+
a
23
c
31
P
3
i
=1
a
2
i
c
i
2
"
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
#
2
6
4
3
c
11
c
12
c
21
c
22
c
31
c
32
A
·
C
=
7
5
=
"
P
3
i
=1
a
1
i
c
i
1
P
3
i
=1
a
1
i
c
i
2
#
=
P
3
i
=1
a
2
i
c
i
1
P
3
i
=1
a
2
i
c
i
2
=
a
21
c
12
+
a
22
c
22
+
a
23
c
32
UWAGA! Ilosc kolumn macierzy A musi byc równa ilosci wierszy macierzy C
Macierzowy zapis iloczynu skalarnego
2
b
1
.
b
n
3
ab
=
a
1
b
1
+
...
+
a
n
b
n
= [
a
1
... a
n
]
6
4
7
5
Odwracanie macierzy
3.1.0 — 1 pazdziernika 2008
© I.Rokach, 2005–2008
4
MES, wykład 2. Wprowadzenie do MES
2
6
6
6
6
4
3
7
7
7
7
5
a
×
1
a
=
aa
−
1
= 1
AA
−
1
=
I
, gdzie
I
=
1 0
...
0
0 1
...
0
. .
.
.
.
.
0 0
...
1
Warunki:
1. Macierz A musi byc kwadratowa
2.
|
A
|6
= 0
Własciwosci macierzy jednostkowej I
AI
=
IA
=
AxI
=
Ix
=
x
8
>
<
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
b
2
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
b
3
Układ równa n
>
:
mozna zapisac jako
2
6
4
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
3
7
5
2
6
4
x
1
x
2
x
3
3
7
5
=
2
6
4
b
1
b
2
b
3
3
7
5
Pozwi azywanie układu równa n liniowych poprzez odwracanie macierzy
1.
Ax
=
b
, gdzie A jest macierz a kwadratow a (
|
A
|6
= 0), x i b s a wektorami kolumnowymi
2.
A
−
1
Ax
=
A
−
1
b
3.
I
x
=
A
−
1
b
4.
x
=
A
−
1
b
Szczególne rodzaje macierzy
Macierz symetryczna
a
ij
=
a
ji
A
=
A
T
2
3
10
1
2
1
11
3
2
3
12
6
4
7
5
ZALETA Przechowujemy w pamieci tylko połowe macierzy (dolny lub górny trójk at)
Macierz pasmowa (rzadka)
2
6
6
6
6
6
4
10 2
0 0 0
3 11 2
0 0
0
3 12 2
0
0 0
3 13 2
0 0 0
3 14
3
7
7
7
7
7
5
ZALETA Przechowujemy w pamieci tylko „pasmo” lub jego połowe (w przypadku macierzy symetrycznej)
Zaleta MES
Macierze otrzymywane w MES zwykle s a symetryczne i pasmowe
3.1.0 — 1 pazdziernika 2008
© I.Rokach, 2005–2008
5
Plik z chomika:
mibmpsk
Inne pliki z tego folderu:
oblok plazmowy.pdf
(6518 KB)
ADINA84_4rok_Lab04.pdf
(222 KB)
ADINA84_4rok_Lab03.pdf
(276 KB)
ADINA84_4rok_Lab02.pdf
(172 KB)
ADINA84_4rok_Lab01.pdf
(258 KB)
Inne foldery tego chomika:
Badania pojazdów
Badania silników
Catia
Dynamika samochodu
Ekonomia
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin