Współczynnik załamania ośrodka jest miarą zmiany prędkości rozchodzenia się fali w danym ośrodku w stosunku do prędkości w innym ośrodku (pewnym ośrodku odniesienia). Dokładniej jest on równy stosunkowi prędkości fazowej fali w ośrodku odniesienia do prędkości fazowej fali w danym ośrodku
gdzie
– prędkość fali w ośrodku, w którym fala rozchodzi się na początku,
– prędkość fali w ośrodku, w którym rozchodzi się po załamaniu.
Współczynnik załamania, jak sugeruje nazwa, istotny jest w zjawisku załamania, gdy fala rozchodząca się w ośrodku odniesienia pada na granicę z danym ośrodkiem i dalej rozchodzi się w tym ośrodku. Współczynnik ten wiąże się bezpośrednio z kątem padania i kątem załamania. Związek ten wyraża prawo Snelliusa
α – kąt padania promienia fali na granicę ośrodków (kąt między kierunkiem promienia a normalną do powierzchni granicznej ośrodków),
β – kąt załamania (kąt między kierunkiem promienia załamanego w danym ośrodku a normalną do powierzchni).
Wzór wynikający z prawa Snelliusa jest wykorzystywany do doświadczalnego wyznaczania współczynnika załamania.
Współczynnik załamania pośrednio ma wpływ na inne zjawiska na granicy dwóch ośrodków. Zależy od niego np. współczynnik odbicia.
Współczynnik załamania można określać dla dowolnej fali, najczęściej jednak jest stosowany do światła i fal dźwiękowych
Współczynnik załamania światła [edytuj]
Rozdział ten dotyczy nie tylko światła widzialnego, ale również innych fal elektromagnetycznych.
Bezwzględny współczynnik załamania światła [edytuj]
Fale elektromagnetyczne są jedynym rodzajem fali mogącym rozchodzić się w próżni. Dlatego ośrodkiem odniesienia przy określaniu współczynnika załamania światła jest próżnia. Gdy mowa jest o współczynniku załamania światła, chodzi o współczynnik załamania względem próżni (nazywany czasem bezwzględnym współczynnikiem załamania światła):
c – prędkość światła w próżni (wynosi około 3×108 m/s),
v – prędkość światła w danym ośrodku.
W praktyce często ma miejsce sytuacja, gdy światło biegnące w powietrzu załamuje się w innym ośrodku przezroczystym. Ze względu na to, że prędkość światła w powietrzu jest bliska prędkości światła w próżni, współczynnikiem załamania nazywa się ten współczynnik względem powietrza.
Współczynnik załamania może być wyznaczony bezpośrednio z prędkości fazowej światła w danym ośrodku, co prowadzi do wzoru
,
εr – względna przenikalność elektryczna ośrodka
μr – względna przenikalność magnetyczna.
Dla większości materiałów, przy częstościach optycznych, μr jest bliskie 1, więc w przybliżeniu zachodzi:
.
Zazwyczaj ta liczba jest większa od jedności: im większa wartość, tym mniejszą prędkość fazową osiąga światło w danym ośrodku. Jednakże, dla pewnych częstości (w okolicach rezonansów absorpcyjnych i dla promieniowania X[1] lub tzw. metamateriałach n może być mniejsze od jedności. Ma to swoje praktyczne zastosowanie w soczewkach złożonych (dla promieni X), płaskich soczewkach etc.). Współczynnik załamania mniejszy od 1 oznacza prędkość większą od prędkości światła w próżni. Nie przeczy to teorii względności, która mówi, że prędkość przenoszenia informacji nie może być większa niż c, bowiem współczynnik załamania określa jedynie prędkość fazową.
Prędkość fazowa jest definiowana jako prędkość, z jaką porusza się miejsce fali o danej fazie fali. Prędkość grupowa jest prędkością, z jaką porusza się obwiednia fali, czyli jest to prędkość, z jaką porusza się zmiana amplitudy fali. Jeśli fala nie jest zbyt zaburzona w trakcie swojego ruchu, można przyjąć, że prędkość grupowa jest prędkością przenoszenia energii, a co za tym idzie, informacji. Jednak dla silnej dyspersji również prędkość grupowa może być większa od prędkości światła w próżni i to również jest zgodne z teorią względności[2].
Czasem można spotkać "grupowy współczynnik załamania" lub "współczynnik grupowy" definiowany jako
vg – prędkość grupowa.
Współczynnik grupowy można zapisać, korzystając z zależności współczynnika załamania od długości fali jako
λ – długość fali w próżni.
W mikroskali zmniejszanie prędkości fazowej można tłumaczyć zaburzaniem rozkładu ładunków każdego atomu przez pole elektryczne fali elektromagnetycznej. W pierwszym przybliżeniu zaburzenie to jest proporcjonalne do przenikalności elektrycznej. Ładunki (elektrony) zostaną zatem wprawione w drgania. Drgania te są opóźnione względem fazy fali, która te drgania wywołała. Drgające ładunki emitują własną falę elektromagnetyczną o tej samej długości co fala przechodząca, jednak nieco opóźnioną w fazie. Makroskopowa suma wszystkich wkładów od wszystkich ładunków w materiale to fala o tej samej częstości co fala padająca, jednak o mniejszej długości, co prowadzi do zmniejszenia prędkości fazowej fali.
Załamanie światła na granicy dwóch ośrodków o różnych współczynnikach załamania, gdzie n2 > n1. Ponieważ prędkość fazowa jest mniejsza w drugim ośrodku (v2 < v1), kąt załamania θ2 jest mniejszy od kąta padania θ1
Względny współczynnik załamania [edytuj]
Względny współczynnik załamania światła substancji A jest to współczynnik załamania tej substancji względem innej substancji B. Jest on opisywany wzorem
– prędkość światła w substancji A,
– prędkość światła w substancji B.
Jeżeli znane są bezwzględne współczynniki załamania obu substancji, współczynnik załamania substancji A względem substancji B można wyznaczyć ze wzoru
Dyspersja i absorpcja [edytuj]
W rzeczywistych ośrodkach polaryzacja elektrostatyczna nie zawsze nadąża za zmianami zewnętrznego pola. W związku z tym występują w nich straty dielektryczne, które można opisać za pomocą zespolonej przenikalności elektrycznej zależnej od częstotliwości. Rzeczywiste ośrodki nie są również idealnymi izolatorami (mają niezerową przewodność). Obie te cechy można uwzględnić wprowadzając zespolony współczynnik złamania:
gdzie:
n – współczynnik załamania określający prędkość fazową,
κ – współczynnik ekstynkcji określający absorpcję dla światła przenikającego materiał. Obie części są zależne od częstotliwości fali.
Zależność n (czyli prędkości fazowej) od częstości (długości) fali nazywana jest dyspersją. Dyspersja jest przyczyną dla której pryzmat rozszczepia światło, powstaje tęcza, ma miejsce aberracja chromatyczna w przyrządach optycznych. W zakresach częstotliwości, gdzie dana substancja nie absorbuje promieniowania, współczynnik załamania zazwyczaj wzrasta z częstością fali (dyspersja normalna). W okolicach pików absorpcyjnych zachowaniem współczynnika załamania rządzi relacja Kramersa-Kroniga, a współczynnik może maleć ze wzrostem częstości (dyspersja anomalna).
Jako, że współczynnik załamania zależy od długości fali, przyjęte jest podawanie, dla jakiej długości fali dany współczynnik został zmierzony. Zazwyczaj podaje się go dla różnych dobrze określonych linii widmowych, np. nD jest współczynnikiem zmierzonym dla linii Fraunhofera "D" – środkiem pomiędzy żółtymi liniami widma sodu. Długość tej fali wynosi 589,29 nm.
Równanie Semelliera jest doświadczanym prawem dobrze opisującym dyspersję, a współczynniki Semelliera są często podawane w tablicach zamiast współczynnika załamania.
Jak wspomniano wyżej, niezerowa przewodność materiału jest przyczyną absorpcji. Dobre dielektryki (jak np. szkła) mają bardzo niską przewodność dla niskich częstości drgań pola elektrycznego, jednak przy częstościach optycznych (rzędu setek THz) jej wartość możne znacznie wzrosnąć, co wpływa na zmniejszenie przezroczystości dla tych długości fali. Innymi słowy, ciała przezroczyste dla jednych długości fal, mogą być zupełnie nieprzezroczyste dla innych długości fal. Np. dla głębokiej podczerwieni stosuje się przyrządy optyczne wykonane z germanu, całkowicie nieprzezroczyste dla światła widzialnego.
Część rzeczywista i urojona współczynnika złamania są powiązane relacjami Kramersa-Kroniga. Dzięki temu, znając widmo absorpcyjne materiału można określić zespolony współczynnik załamania.
Załamanie i odbicie światła
Światło w ośrodku jednorodnym rozchodzi się po liniach prostych ze stałą prędkością. W próżni prędkość ta wynosi 299 792 458 m/s i oznaczana jest literą c. W ośrodkach materialnych światło porusza się z mniejszą prędkością; na przykład w wodzie ma wartość 224 799 383 m/s.
Padając na granicę dwóch ośrodków materialnych światło może ulegać pochłonięciu, rozproszeniu, odbiciu i załamaniu. To, które z tych zjawisk zajdzie, zależy od rodzaju materiału napotykanego przez promień świetlny. Najczęściej mamy do czynienia z częściowym pochłanianiem i rozproszeniem światła. Jeżeli jednak napotykaną powierzchnią jest wypolerowana powierzchnia metalu, wówczas zachodzi zjawisko niemal doskonałego odbicia.
kąt padania równy jest kątowi odbicia i oba kąty leżą w jednej płaszczyźnie
Kątem padania nazywamy kąt pomiędzy padającym promieniem a normalną (prostopadłą) do powierzchni granicznej. Podobnie, kąt odbicia, to kąt pomiędzy promieniem odbitym a normalną do powierzchni granicznej.
Jeżeli natomiast ośrodek, do którego dociera światło, jest przezroczysty, wówczas światło, po przejściu granicy dwóch ośrodków, zmienia zazwyczaj kierunek ruchu. Mówimy, że uległo załamaniu. Kluczem do odpowiedzi, dlaczego tak się dzieje, jest różnica prędkości światła w obu ośrodkach.
Na rysunku poniższym widać, że kąt załamania b jest mniejszy od kąta padania a. Oznacza to, że prędkość światła w drugim ośrodku V2 jest mniejsza od prędkości światła w ośrodku pierwszym V1. Kąty padania i załamania spełniają prawo załamania
gdzie n21 jest współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego a więc np. wody względem powietrza. Współczynnik załamania można obliczyć znając prędkości światła w obu ośrodkach
Zauważmy, że światło załamując się na granicy dwóch ośrodków, równocześnie częściowo się odbija
Jeśli światło przechodzi przez płytkę wykonaną z przezroczystego materiału, na przykład szkła, i ścianki płytki są do siebie równoległe, wówczas końcowy kąt załamania jest taki sam, jak kąt padania promienia na płytkę. Tak więc promień świetlny po przejściu przez płytkę równoległościenną zachowuje pierwotny kierunek, natomiast ulega przesunięciu. Przesunięcie to jest tym większe, im większy jest kąt padania.
Dotychczas omawiane przypadki załamania światła dotyczyły sytuacji, w której światło osiągało większą prędkość w pierwszym ośrodku. Możliwa jest jednak, że światło będzie biegło najpierw w ośrodku gęstszym optycznie (mniejsza prędkość światła) i będzie padało na granicę z ośrodkiem rzadszym optycznie (większa prędkość światła). Możemy na przykład umieścić latarkę pod wodą i obserwować odbicie od powierzchni, czyli od granicy z powietrzem. Światło będzie się również załamywało wychodząc przy tym z wody. Tym razem jednak zjawisko załamania nie będzie występowało dla dowolnego kąta padania. Jak można sprawdzić, posługując się poniższą animacją, po przekroczeniu pewnego granicznego kąta padania, zachodzi już tylko odbicie. Mówimy wówczas o całkowitym odbiciu wewnętrznym.
Dlaczego tak się dzieje? Przyczyną jest fakt, że kąt załamania jest większy od kąta padania. Zatem zwiększając kąt padania musimy w końcu dojść do kąta załamania równego 900. Dalsze zwiększanie kąta padania powoduje, że kąt załamania musiałby być większy od 900, co jest niemożliwe, więc zjawisko załamania w tym przypadku nie zachodzi.
Posługując się animacją możesz eksperymentalnie znaleźć w przybliżeniu kąt graniczny. Wynik eksperymentu możesz sprawdzić obliczając kąt graniczny ze wzoru na współczynnik załamania
Jeżeli za kąt b podstawimy 900, będziemy mogli obliczyć graniczny kąt a.
bo
Zauważmy jednak, że współczynnik załamania powietrza względem np. wody (n12) jest odwrotnością współczynnika załamania wody względem powietrza (n21), bo
Zatem aby policzyć kąt graniczny dla wody, należy wziąć odwrotność współczynnika załamania wody względem powietrza.
co daje wartość
W idealnym przypadku odbicie światła może być zwierciadlane (takim będziemy się głównie zajmować) ale częściej mamy do czynienia z odbiciem dyfuzyjnym, w którym światło jest odbijane (rozpraszane) we wszystkich możliwych kierunkach. W praktyce bardzo często mamy sytuację pośrednią i opis wymaga wprowadzenia dodatkowych parametrów, opisujących rozkład kątowy światła odbitego. Odbicie dyfuzyjne występuje gdy powierzchnia odbijająca jest niergularna. Odpowiednie modelowanie takiej powierzchni pozwala na uzyskanie przybliżonej funkcji opisującej rozkład natężenia światła odbitego (np model mikropowierzchni ).
Rys. 1-1 Rozkład kątowy światła odbitego od powierzchni dla odbicia zwierciadlanego i dyfuzyjnego.
Zajmiemy się dokładniej przypadkiem odbicia zwierciadlanego. Opis ilościowy zjawiska odbicia zwierciadlanego wymaga wprowadzenia pojęcia płaszczyzny padania. Płaszczyzna padania wyznaczona jest przez powierzchnię rozdzielającą dwa różniące się ośrodki materialne, a dokładniej przez płaszczyznę styczną do powierzchni rozdziału w punkcie padania) i promień padający. Dla ośrodków izotropowych promień załamany i odbity leżą w płaszczyźnie padania.
Dyspersja w optyce – zależność współczynnika załamania ośrodka od częstotliwości ...
XcarolineeX