10s1Mw6.pdf

(169 KB) Pobierz

439283227 UNPDF

W5.(doko«czenie).CI � G Š O ‘‚

De nicja :Funkcja f jest

ci¡g“awpunkcie x 0 je»elijestwnim

okre–lonailim

x!x 0 f ( x )= f ( x 0 ),

ci¡g“awzbiorzeA gdyjestci¡g“awka»dympunk-

cie x 0 2A .

Wszystkiefunkcje:

• potƒgowe( f ( x )= x k ) • wielo-

miany • wymierne(ilorazywielo-

mian ó w)

• wyk“adnicze( f ( x )= a x ) • lo-

garytmiczne(log a x ) • trygonome-

trycznes¡ci¡g“ewka»dympunk-

cieswegozbioruokre–lono–ci a

wiƒcobliczanieichgranicwtych

punktachczƒstojest“atwe.

Punktynieci¡g“o–cifunkcji naj-

czƒ–ciejtakiewkt ó rychnieistnieje

granica:

np.funkcja f ( x )= bxc (ca“o–¢z x )jestnieci¡g“a

wka»dympunkcie x 0 2Z (wliczbachca“kowi-

tych),aci¡g“awka»dyminnym.

1. TwierdzenieWeierstrassa

Je»elifunkcja f jestci¡g“awprze-

dzialedomkniƒtym[ a,b ],toosi¡-

gawnimminimumimaximum

tzn.istniej¡takie x m ,x M 2 [ a,b ]»e

dlaka»dego x2 [ a,b ]

x2 [ a,b ] f ( x )= f ( x m ) ·f ( x ) ·f ( x M )=max

x2 [ a,b ] f ( x ) .

2. W“asno–¢Darboux

Je»elifunkcja f jestci¡g“awprze-

dziale[ a,b ],todlaka»dego

y2 [ f ( a ) ,f ( b )]istniejetakie

x2 [ a,b ] , »e f ( x )= y .

min

439283227.007.png

3.Problemoptymalizacjiwarunkowej

-znalezienienajmniejszejlubnajwiƒkszejwar-

to–cifunkcji f dla

x2 [ a,b ](tzn.nadanymprzedziale).

Zadanie.Dlafunkcji f ( x )= x 2 − 4 x +10znale„¢

najmniejsz¡inajwiƒksz¡warto–¢naprzedziale

[1 , 4] . Dlajakichargument ó ws¡osi¡gniƒte?

Charakterystykamonotoniczno–cifunkcji f na

ca“ejdziedzinie:

x−1<x< 2 <x< + 1

f ( x )+ 1& 6 % + 1

anaprzedziale[1 , 4]:

x 1 <x< 2 <x< 4

f ( x )7 & 6 % 10

Odczytujemyodpowied„-najmniejsz¡warto–ci¡

jest6anajwiƒksz¡10 , tzn.

min

x2 [1 , 4]

f ( x )=6= f (2)osi¡gniƒtedlax=2 ,

x2 [1 , 4] f ( x )=10= f (4)osi¡gniƒtedla x =4.

max

439283227.008.png

439283227.009.png

439283227.010.png

439283227.001.png

439283227.002.png

439283227.003.png

439283227.004.png

439283227.005.png

439283227.006.png

W6.Pochodnafunkcji

Ilorazr ó »nicowy funkcji f wpunk-

cie x 0 dlaprzyrostu¢ x = h :

¢ f

f ( x 0 + h ) −f ( x 0 )

h

granicailoraz ó wr ó »nicowych f w x 0 przyprzy-

rostachd¡»¡cychdozera,

lim

¢ x! 0

¢ f

¢ x

(idlategobywate»oznaczana d f d x ).

Uwaga :istnieje tylkowtedy

gdy f jestci¡g“awpunkcie x 0

¢ x = f ( x 0 + h ) −f ( x 0 )

h .

Pochodnafunkcji f wpunkcie x 0 :

f 0 ( x 0 )=lim

h! 0

Przyk“ady :

h =5.

iog ó lniedladowolnego x 0 otrzymujemy

5 · (3+ h ) − 5 · 3

f 0 ( x 0 )=lim

h! 0

5( x 0 + h ) − 5 ·x 0

h =5 .

h =8.

iog ó lniedladowolnego x 0 otrzymujemy

(4+ h ) 2 − 4 2

h! 0

f 0 ( x 0 )=lim

h =lim

2 x 0 h + h 2

h =2 x 0 .

h! 0

h! 0

POCHODNAJAKOFUNKCJA:

Poniewa» f 0 ( x )woczywistyspos ó b

zale»yod x , f 0 jest funkcj¡ zmien-

nej x (jednoznaczniewyznaczon¡

przez f ).

np.gdy f ( x )=5 x , f 0 ( x )=5

(funkcjasta“a),

gdy f ( x )= x 2 , f 0 ( x )=lim

h! 0

( x + h ) 2 −x 2

h =2 x .

1. f ( x )=5 x , x 0 =3: f 0 (3)=lim

h! 0

2. f ( x )= x 2 , x 0 =4: f 0 (4)=lim

( x 0 + h ) 2 −x 2 0

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

zadW5-6ns.pdf (99 KB)
zadW3-4.pdf (41 KB)
zadW1-2.pdf (104 KB)
10s1Mw6.pdf (169 KB)
10s1Mw5.pdf (262 KB)

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin