matma.PDF

(92 KB) Pobierz
81189169 UNPDF
WICZENIAZANALIZYMATEMATYCZNEJ–ZADANIA
RACHUNEKRÓNICZKOWY
1.Obliczy¢pochodnefunkcji:
a)f(x)= 3 x − 4 p x
sin x ; e)f(x)= arcsinx
2x ; b)f(x)=−3cos 3 (6x); c)f(x)=arcsin(2x);
arccosx ; f)f(x)=2 3x+5 ;
p lnx ; h)f(x)= p 1+ln 2 x; i)f(x)= p x+ p x;
j)f(x)=e sin 3 x ; k)f(x)=ln(x+ p x 2 +1); l)f(x)=
g)f(x)=e
q
x+ p x+3 p x;
m)f(x)=x 6x ; n)f(x)=(cosx) sin(2x) ; o)f(x)= 1+ 1 x x ;
p)f(x)=(tg(2x)) ctg 2 ; q)f(x)=(x+1) 1
sinx ; r)f(x)=x
x
ln 2 x .
2.Obliczy¢pochodnefunkcji:
q 1− p x
q
sinx+ p x+2 p x; c)y=
q 1−arcsinx
1+arccosx ;
d)y=arctg(2tg x 2 +1)−x; e)y=ln(ln(lnx)); f)y=x 1
1+ p x ; b)y=
g)y=e e x ; h)y=ln(1+ 1 x ) x ; i)y= x q 1 x .
lnx ;
3.Obliczy¢pochodnefunkcji:
a)y=(1+x)
p
2+x 2 3 p
3+x 3 ,
p a 2 +b 2 ,
d)y=x x x +x x +x.
4.Uzupełni¢tabelk¦:
Funkcja ci¡głaró»niczkowalnaklasyC 1
y=|x|
y=x|x|
sin 1 x ,x6=0
0, x=0
y=
xsin 1 x ,x6=0
0, x=0
y=
x 2 sin 1 x ,x6=0
0, x=0
y=
5.Wykaza¢,»efunkcjaf(x)=|x|niejestró»niczkowalnawpunkciex 0 =0.
6.Zbada¢ró»niczkowalno±¢funkcji:
a)f(x)=|x 2 −x−6|; b)f(x)=|sin(3x)|;
( x 2 dlax1
ax+bdlax>1 ;d)f(x)=
( x 3 dlax1
−3x 2 +6x−2dlax>1 .
c)f(x)=
1
d)f(x)= 1
a)y=
b)y=sin(cos 2 (tg 3 x)),
c)y=e ax asinbx−bcosbx
81189169.011.png 81189169.012.png 81189169.013.png 81189169.014.png 81189169.001.png 81189169.002.png 81189169.003.png 81189169.004.png 81189169.005.png 81189169.006.png 81189169.007.png 81189169.008.png
7.Pokaza¢,»efunkcjerzeczywiste:
a)x n ,n2N;
b)log a x,0<a6=1;
c)x r ,r2R
maj¡pochodnewka»dympunkcieswojejdziedziny.
8.Dlajakichwarto±cifunkcja:
f(x)=
|x| sin 1 x ,x6=0
0, x=0
wpunkciex 0 =0
a)jestci¡gła;
b)mapochodn¡;
c)maci¡gł¡pochodn¡?
9.Znale¹¢k¡ty,podjakimiprzecinaj¡si¦krzywe:
a)y=sinx,y=cosx;
b)y=x 2 ,y 2 =x.
10.Pokaza¢,»eje»elifjestfunkcj¡ró»niczkowaln¡nacałejdziedzinieoraza)parzyst¡,
b)okresow¡ookresieT,tojejpochodnaf 0 jestfunkcj¡a)nieparzyst¡,b)okresow¡
ookresieT.
b dla0<b<a;
b)|sinx−siny||x−y|;
c)|arctgx−arctgy||x−y|;
d)2arctgx+arcsin 2x
1+x 2 =sgnxdla|x|1;
e)3arccosx−arccos(3x−4x 3 )=dla|x| 1 2 .
12.Dlajakiejwarto±ciparametruaparabolay=ax 2 jeststycznadokrzywejy=lnx?
13.Obliczy¢granice:
x−sinx ; b)lim x!0 xctgx−1
x 2 ; c)lim x!0 1−cos 2 x
x 2 sin 2 x ;
x 3 ; e)lim x!0 + ln(sinax)
d)lim x!0 arcsin2x−2arcsinx
ln(sinbx) ,a,b>0;f)lim x!+1 lnx
x ,>0;
; h)lim x!0 + x 2 lnx; i)lim x!0 + (sinx) x ;
j)lim x! 2 − (tgx) 2cosx ; k)lim x!0 + (1+x) lnx .
x − e x
sinx
14.Znale¹¢przedziałymonotoniczno±cifunkcji:
a)f:[0;+1)−!R,f(x)=x n e −x ,(n2N);
b)f:R−!R,f(x)=x+|sin2x|.
2
a <ln a b < a−b
11.Pokaza¢,»e:
a) a−b
a)lim x!0 tgx−x
g)lim x!0 + cosx
 
15.Zbada¢monotoniczno±¢funkcjif(x)=(1+ 1 x ) x wprzedziale:
a)(0;+1),
b)(−1;−1).
16.Wyznaczy¢przedziałymonotoniczno±ciiekstremafunkcji:
a)f(x)= x
1+x 2 ;
c)f(x)=e −x 2 ;
17.Znale¹¢przedziaływypukło±ciipunktyprzegi¦ciafunkcji:
a)y=x+sinx;
b)y=ln(1+x 2 );
c)y=xlnx,x>0;
d)y=x x ,x>0.
18.Zbada¢wypukło±¢funkcji:
a)y=x ,>0,
b)y=e x .
19.Udowodni¢wzórLeibniza:
X
k
i
(f·g) (k) (x)=
f (i) (x)·g (k−i) (x).
i=0
20.Obliczy¢:
a)(x 2 e 2x ) (20) ,
b) 1+x
(100)
p 1−x
.
21.Poda¢rozwini¦ciewszeregTaylorarz¦dunwotoczeniupunktux 0 =0funkcji
f(x)=(1+x) ,gdzie2R.Rozwa»y¢szczególneprzypadkidla=0,=1,
=−1,= 1 2 .
22.Wykaza¢,»eln2=1− 1 2 + 1 3 − 1 4 +....
23.Pokaza¢,»e:
a)ln(1+x)=x− x 2
2 + x 3
3 − x 4
4 +...dla|x|<1;
b)arctg(x)=x− x 3
3 + x 5
5 − x 7
7 +...dla|x|<1;
24.Napisa¢wzórMaclaurinadlafunkcjif(x).Zbada¢lim n!+1 R n .
a)f(x)=e x ,x2;
b)f(x)=sinx,x2;
c)f(x)=cosx,x2;
3
1+x 2 ;
b)f(x)= 1
k
81189169.009.png 81189169.010.png
d)f(x)=(1+x) a ,gdziea62Noraz|x|<1;
e − 1 x 2 dlax6=0
e)f(x)=
0 dlax=0 .
4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin