Mechanika Kwantowa - skrypt.pdf - Mechanika kwantowa - Rowiny7

AndrzejRaczy´nski

FizykakwantowaI

Abstract

Opracowanie niniejsze obejmuje material wykladu w trzecim semestrze

studiow w roku 2004/2005 i nie wykracza w zasadzie poza ten material.

Dluzsze obliczenia zostaly przedstawione w skrocie. Opracowanie ma

charakter roboczy i moze sluzyc jako uzupelnienie notatek, nie moze

natomiast zastapic lektury podrecznikow dajacej rozszerzenie infor-

macji przedstawionych na wykladzie.

Prezentacja nie jest zupelnie scisla z matematycznego punktu widzenia.

W szczegolnosci nie zwraca sie uwagi na fakt, ze pojawiajace sie op-

eratory nieograniczone okreslone sa nie na calej przestrzeni lecz na

jej gestym podzbiorze. W sposob nieformalny rozszerzono przestrzen

funkcji calkowalnych z kwadratem przez dolaczenie funkcji normowal-

nych w sensie Diraca. Trzema gwiazdkami oznaczono formuly szczegolnie

wazne. Zalecane podreczniki:

1. R.Eisberg, R.Resnick, Fizyka kwantowa, PWN, Warszawa 1983;

2. H.Haken, H.C.Wolf, Atomy i kwanty, PWN, Warszawa 1997;

3. L.Schi, Mechanika kwantowa, PWN,Warszawa 1977;

4. R.L.Libo, Wstep do mechaniki kwantowej, PWN, Warszawa 1987;

5. G.K.Woodgate, Struktura atomu, PWN, Warszawa, 1974;

6. I.Bialynicki-Birula, M.Cieplak, J.Kaminski, Teoria kwantow, PWN,

Warszawa 1971;

7. L.D.Landau, E.M.Lifszyc, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa,

1979;

8. J.Ginter, Wstep do ﬁzyki atomu, czasteczki i cialastalego, PWN,

Warszawa, 1979.

1 Wstep i elementy historii

Fizyka kwantowa jako wykladany przedmiot ma specjalne znaczenie. Przede

wszystkim dostarcza jezyka, a wiec aparatury pojeciowej i formalizmu, ktore

beda uzywane w trakcie innych wykladow. Ma takze znaczenie ogolnokszalcace,

formacyjne, poniewaz zmusza do porzucenia swiatopogladu naiwnie realisty-

cznego, a wnioski teorii kwantowej musza byc brane pod uwage przy tworze-

niu wizji swiata nawet na prywatny uzytek. Historie mechaniki kwantowej

uwaza sie tez za typowy przyklad powstawania nowej teorii naukowej.

Mechanika kwantowa zmusza do nowego rozumienia pojec takich jak

cz¸astka, jej ruch, jej struktura, uklady rozseparowane, zwiazek przyczynowy

czy niezaleznosc przedmiotu poznania od obserwatora. W pewnych warunk-

ach nie mozna stosowac logicznej zasady wylaczonego srodka (zachodzi ”a”

lub ”nie a”).

Jakosciowo nowe elementy to:

1. Opis probabilistyczny, tzn. typowa odpowiedz na pytanie, czy wielkosc

ﬁzyczna dla danego ukladu przyjmuje wartosc z przedzialu (a,b), brzmi:

”tak” z prawdopodobienstwem p i ”nie” z prawdopodobienstwem 1−p. Praw-

dopodobienstwa dodaja sie z mozliwoscia interferencji;

2. Komplementarnosc, tzn. okreslajac pewne wielkosci charakteryzujace

uklad musimy zrezygnowac z okreslenia pewnych innych wielkosci;

3. Kwantyzacja wielkosci ﬁzycznych jako regula, tzn. jesli wielkosc ﬁzyczna

moze przyjmowac wartosci a i b, to moze nie byc mozliwe, by przyjmowala

dowolna wartosc rzeczywista z przedzialu (a,b);

4. Istnienie wielkosci ﬁzycznych nie majacych klasycznego odpowiednika, np.

spinu - momentu pedu nie zwiazanego z ruchem;

5. Nierozroznialnosc czastek identycznych.

Teoria kwantowa stanowi potezne narzedzie pozwalajace skutecznie przewidziec

wyniki pomiarow. W warstwie jezykowej nie jest natomiast teoria skonczona

- brak jest zarowno pogladowego, intuicyjnego rozumienia jej pojec i praw,

jak i pelnej zgody specjalistow co do ich interpretacji.

Skala typowych wielkosci w ﬁzyce atomowej to:

1. rozmiary atomow rzedu 10 −10 m, rozmiary jadra atomowego rzedu 10 −14

2. masa elektronu 9.11×10 −31 kg, masa protonu 1.67×10 −27 kg;

3. czasy charakterystyczne w ﬁzyce atomowej rzedu 10 −16 s, w ﬁzyce jadrowej

o kilka rzedow krotsze;

4. momenty pedu - wielokrotnosci stalej Plancka h = 1.054×10 −34 Js;

5. predkosc elektronu na pierwszej orbicie (pojecia nie uzywane w nowoczes-

nej teorii) - rzedu 10 6 m/s;

6. energia elektronu w stanie podstawowym atomu wodoru 2.18×10 −18

J=13.6 eV, energia spoczynkowa elektronu 0.511 MeV, energia oscylacyjna

drobiny - kilkadziesiat meV, energia rotacji drobiny - dwa rzedy mniej.

Pierwszy etap powstawania teorii kwantowej (pierwsze cwiercwiecze wieku)

polegal na probach ratowania ﬁzyki klasycznej przez dolaczanie sztucznych

postulatow kwantowych (postulaty ”ad hoc”) w celu zinterpretowania poszczegolnych

doswiadczen. Najwazniejsze problemy i wydarzenia z tego okresu to:

1. Promieniowanie ciala doskonale czarnego.

Rozwazmy promieniowanie zamkniete w pudle o doskonale odbijajacych sciankach.

Uklad jest w rownowadze i jego temperatura wynosi T. Niech () bedzie en-

ergia przypadajaca na jednostke objetosci i na jednostke czestosci . Wykres

() tworzy charakterystyczny niesymetryczny ”kapelusz”. Teoria klasy-

czna odtwarza ksztalt krzywej tylko dla malych czestosci. Niech szescienne

pudlo rozciaga sie w kazdym kierunku od 0 do a. Rozwazmy najpierw fale

rozchodzaca sie w jednym wymiarze. Natezenie pola elektrycznego wynosi

E = A cos(kx−!t), gdzie liczba falowa k = 2 = 2

a , gdzie n x = 1, 2, 3... . Fali rozchodzacej

sie w dowolnym kierunku mozna przypisac wektor falowy k = (k x ,k y ,k z ) i

dla kazdego z trzech kierunkow mozna przeprowadzic podobne rozumowanie.

W pudle moga sie wiec rozchodzic fale takie, ze k x = n x

a , k y = n y a , k z = n z a ,

n x,y,z = 1, 2, 3... . Na jedna dozwolona fale przypada jedna komorka w

przestrzeni wektorow falowych, o objetosci ( a ) 3 . Ilosc dozwolonych fal o

koncu wektora k lezacym w warstwie o promieniu k i grubosci dk wynosi

c 3 = n()d; (czynnik 1 8 wystepuje, poniewaz bierzemy taki

ulamek powierzchni kuli, dla ktorego wszystkie wspolrzedne sa dodatnie).

Wynik nalezy jeszcze pomnozyc przez 2 ze wzgledu na 2 mozliwe polaryza-

cje.

Obliczona klasycznie srednia energia przypadajaca na jedna fale wynosi

0 E exp(−E)dE

R 1

E =

0 exp(−E)dE

gdzie = 1

k B T ; k B jest stala Boltzmanna. Poszukiwana gestosc energii wynosi

() =

a 3 n()E =

8 2 k B T

c 3 .

c . Po odbiciu od scianki

(ze skokiem fazy o ) powstaje fala odbita E =−A cos(−kx−!t), a w wyniku

ich interferencji - fala stojaca E = 2A sin kx cos !t. Na brzegach musi byc

wezel, czyli sin ka = 0, czyli k = n x

4k 2 dk

( a ) 3 = a 3 4 2 d

R 1

Wielkosc ta rosnie nieograniczenie dla duzych czestosci (katastrofa ultraﬁo-

letowa). Planck w 1900 roku zauwazyl, ze wynik zasadniczo sie zmienia, jesli

sztucznie zalozyc skwantowanie energii, tzn. E = nh, gdzie h jest stala. Jej

wartosc wyznaczono potem jako h = 6.626×10 −34 Js=2h. Wtedy srednia

energie nalezy liczyc inaczej

E =

P 1 n=0 nh exp(−nh)

P 1 n=0 exp(−nh)

Wielkosc ta jest rowna

− d d P 1 n=0 exp(−nh)

P 1 n=0 exp(−nh)

d ln

1 X

exp(−nh) =− d

d ln

1−exp(−h)

exp(h)−1 .

n=0

W konsekwencji

() = 8h 3

c 3 [exp(h)−1] ().

Rozklad energii w zaleznosci od dlugosci fali otrzymamy jako

˜ () = ( c

)| d

d |= ( c

) c

2 .

Gdy h << 1, exp(h)1 + h i otrzymamy wynik klasyczny.

Calkowita energie na jednostke objetosci otrzymamy calkujac

Z 1

0 ()d =

8 5 T 4

15h 3 c 3 k 4 B .

Jest to prawo Stefana-Boltzmanna. Skorzystano z faktu, ze

Z 1

x 3 dx

exp(x)−1

= 4

15 .

Maksimum funkcji lub ˜ () mozna obliczyc kladac lub ˜ 0 () = 0). Otrzy-

muje sie warunek

hc max = x 0 = 4.965,

− d

4 ().

2. Zjawisko fotoelektryczne.

Zjawisko fotoelektryczne zewnetrzne polega na wybijaniu elektronow z met-

alu pod wplywem promieniowania elektromagnetycznego. Energia wybitych

elektronow nie zalezy od natezenia swiatla, zalezy natomiast, i to progowo, od

czestosci fali. Ilosc fotoeletronow jest proporcjonalna do natezenia promieniowa-

nia. Einstein w roku 1904 wyjasnil to zjawisko postulujac, ze energia fali

elektromagnetycznej jest skwantowana: E = nh.

Jeden kwant powoduje wybicie jednego elektronu. Energia kwantu promieniowa-

nia jest zamieniona na pokonanie pracy wyjscia W i nadanie elektronowi

energii kinetycznej

h = W + 1

2 mv 2 ().

3. Cieplo wlasciwe cial stalych (Einstein 1907, Debye 1914).

Wedlug teorii klasycznej cieplo wlasciwe cial stalych powinno byc niezalezne

od temperatury. Zgodnie z zasada ekwipartycji energii na jeden stopien swo-

body czastki swobodnej wypada energia 1 2 k B T, dla atomu w sieci krystal-

icznej - 2 3 2 k B T, gdzie czynnik 2 pochodzi stad, ze dla oscylatora harmon-

icznego srednia energia potencjalna jest rowna sredniej energii kinetycznej.

Tymczasem w niskich temperaturach cieplo wlasciwe zmierza do zera. Daje

sie to wyjasnic dzieki dodatkowemu zalozeniu, ze energia drgan atomow w

krysztale jest skwantowana.

4. Widma atomowe (Ritz-Rydberg 1908)

Zaobserwowano, ze atomy emituja lub absorbuja promieniowanie o scisle

okreslonych dlugosciach (linie widmowe). Czestosci fal dla wodoru spelniaja

relacje

n 2 − 1

m 2 )(),

gdzie m i n sa liczbami naturalnymi, a R = 109677.581cm −1 nazywa sie stala

Rydberga. Dowodzi to skwantowania energii atomu. Wartosc dozwolonych

energii atomu wodoru wynosi −Rhc

n 2 .

Linie widmowe ukladaja sie w serie – dla emisji ciagi linii odpowiadajacych

gdzie x 0 jest piewiastkiem rownania 1−exp(−x) = x 5 . W konsekwencji za-

chodzi relacja max T = 0.29 cm K. Relacja ta znana jest jako prawo prze-

suniec Wiena.

Zdolnosc emisyjna, czyli moc emitowana przez jednostke powierzchni w

dowolnym kierunku przypadajaca na jednostke czestosci, wynosi R() =

nm = Rc(

Mechanika Kwantowa - skrypt.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: