W11.pdf

(105 KB) Pobierz
wyklady.dvi
1 Definicja [a, b]
n
n 2 N
P = {x 0 , x 1 , . . . , x n },
a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b
f
[a, b]
P
f
P
k
2 [x k−1 , x k ] 1 k n
X
n
S =
f ( k ) x k ,
x k = x k − x k−1 .
k=1
3 Przykład
f (x) = 3
[1, 2]
P
n
k
[x k−1 , x k ]
X
n
X
n
S =
f ( k ) · (x k − x k−1 ) =
3(x k − x k−1 ) = 3(x n − x 0 ) = 3(2 − 1) = 3.
k=1
k=1
f (x) = x
[1, 2]
P
n
k = x k−1
P
X
n
X
n
x k−1 · 2 − 1
n
n
k=1 x k−1
n
S =
f (x k−1 ) · (x k − x k−1 ) =
=
k=1
P
k=1
P
n
k=1
x 0 + (k − 1) ·
1
n
nx 0 +
1
n
k=1 (k − 1)
n
n
1
n
(0+n−1)n
2
n
=
=
= x 0 +
n
= 1 + n − 1
2n
.
f (x) = x
[1, 2]
P
n
k = x k
X
n
X
n
x k · 2 − 1
n
P
k=1 x k
n
S =
f (x k ) · (x k − x k−1 ) =
=
k=1
P
k=1
n
k=1
x 0 +
k
n
nx 0 +
n ·
(1+n)n
2
= 1 + n + 1
2n
=
=
.
n
n
4 Definicja
f
[a, b]
f
[a, b]
Z
b
X
n
f (x) dx = lim
δ(P )→0
f ( k ) x k ,
a
k=1
2 Definicja
n
1
47713889.019.png 47713889.020.png 47713889.021.png 47713889.022.png 47713889.001.png 47713889.002.png 47713889.003.png 47713889.004.png 47713889.005.png 47713889.006.png 47713889.007.png
(P ) = max
1≤k≤n { x k }
P
k
Z
a
Z
a
Z
b
f (x) dx = 0
f (x) dx = −
f (x) dx
a < b.
a
b
a
5 Przykład
f (x) = x
[1, 2]
P n
n
n→∞ (P ) = 0.
k = x k−1
δ(P)→0 S = lim
lim
n→∞ S = lim
n→∞
1 + n − 1
2n
= 1 + 1
2
=
3
2 .
k = x k
δ(P)→0 S = lim
lim
n→∞ S = lim
n→∞
1 + n + 1
2n
= 1 + 1
2
=
3
2 .
k
2
3
2 .
x dx =
1
6 Definicja
f
f
7 T WIERDZENIE
f
[a, b]
8 Przykład f (x) = x [1, 2]
f
k
[a, b]
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a),
a
F
f
10 Przykład
F
G
f
C
F (x) = G(x) + C
x
F (b) − F (a) = [G(b) + C] − [G(a) + C] = G(b) + C − G(a) − C = G(b) − G(a).
lim
Z
9 T WIERDZENIE
47713889.008.png 47713889.009.png 47713889.010.png
11 T WIERDZENIE
a b c
Z
c
Z
b
Z
b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
b
12 Przykład
Z
3
3x 2 dx = x 3 | 1 = 3 3 − 1 3
= 27 − 1 = 26,
Z
1
4
3x 2 dx = x 3 | 3 = 4 3 − 3 3
= 256 − 27 = 229,
Z
3
4
3x 2 dx = x 3 | 1 = 4 3 − 1 3
= 256 − 1 = 255 = 26 + 229.
1
13 T WIERDZENIE
Z
b
Z
b
Z
b
[f (x) + g(x)]dx =
f (x) dx +
g(x) dx
a
a
a
Z
b
Z
b
[a · f (x)]dx = a ·
f (x) dx.
a
a
14 Przykład
Z
2
x 3
3
2
2 3
3
0 3
3
8
3
(x 2 + 7)dx =
+ 7x
=
+ 7 · 2 −
− 7 · 0 =
+ 14
0
0
2
0
Z
Z
2 3
3
0 3
3
x 3
3
2
2
=
−
+ 7 · 2 − 7 · 0 =
+ 7x| 0 =
x 2 dx +
7 dx
0
0
15 T WIERDZENIE
u
v
[a, b]
Z
b
Z
b
u(x)v ′ (x) dx = [u(x)v(x)] a −
u ′ (x)v(x) dx.
a
a
16 Przykład
Z
π/2
u = x
v ′ = sin x
u ′ = 1
v = − cos x
Z
π/2
x sin x dx =
= [−x cos x] π/2
0 +
cos x dx
0
0
= 0 + [sin x] π/2
0 = 1.
17 T WIERDZENIE
g
[a, b]
f
[g(a), g(b)]
47713889.011.png 47713889.012.png
Z
b
Z
g(b)
f (g(x)) g ′ (x) dx =
f (t) dt.
a
g(a)
18 Przykład
Z
π/2
t = sin x
dt = cos x dx
Z
1
t 3
3
1
1
3 .
sin 2 x cos x dx =
=
t 2 dt =
=
0
0
0
+
19 T WIERDZENIE
f
[a, b]
g
f
g
[a, b] Z
b
Z
b
g(x) dx =
f (x) dx.
a
a
20 T WIERDZENIE
[a, b]
f (x) 0
y = f (x)
X
x = a
x = b
Z
b
f (x dx).
a
21 Przykład
f (x) = x + 1
x = 1
x = 2
x 2 [1, 2]
f (x) > 0
Z
2
x 2
2
2
1
2 2
2
+ 2 − 1 2
2
5
2 .
A =
(x + 1)dx =
+ x
=
− 1 =
1
2 x = 1 3 x = 2
1
(2 + 3) · 1
2
5
2 .
A =
=
22 T WIERDZENIE
f
g
[a, b]
f (x) g(x)
x 2 [a, b]
f
g
x = a
x = b
Z
b
P =
[g(x) − f (x)] dx.
a
47713889.013.png 47713889.014.png 47713889.015.png
23 Przykład
24 T WIERDZENIE
f
[a, b]
x, f (x)
: x 2 [a, b]
Z
b
p
L =
1 + |f ′ (x)| 2 dx.
a
25 Przykład
26 T WIERDZENIE
f
[a, b]
T
f
OX
x = a
x = b
T
OX
Z
b
V =
f 2 (x) dx,
a
T
OY
Z
b
V = 2
xf (x) dx.
a
27 Przykład
28 T WIERDZENIE
f
[a, b]
f
OX
Z
b
p
P = 2
f (x)
1 + |f ′ (x)| 2 dx,
a
f
OY
Z
b
p
P = 2
x
1 + |f ′ (x)| 2 dx.
a
29 Przykład
30 Definicja
f
[a, 1)
f
[a, 1)
Z
∞
Z
T
f (x) dx = lim
T →∞
f (x) dx.
a
a
47713889.016.png 47713889.017.png 47713889.018.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin