Funkcja 2 zmiennych jest to takie odwzorowanie zbioru X na Y , który przyporządkowuje każdej parze xy jakąś liczbę rzeczywistą
Jeżeli funkcja jest określona wzorem z =f(x,y) to jej dziedzina ( jeśli nie ma innych warunków) to zbiór punktów na płaszczyźnie Df(x,y)
Zbiór wszystkich wartości (R_ , które przyjmuje z =f(xy)w odwzorowaniu zgodnie z dziedziną nazywamy przeciwdziedziną funkcji dwóch zmiennych Df-1(xy)
Przestrzeń odpowiednio wymiarowa R2 wymiarowa przestrzeń rzeczywista składająca się z punktów powierzchni dla których zachodzi (x0,y0)
P0=(x0,y0) P(x,y)
Przestrzeń wymiarowa euklidesowa d = (P,P0)= sqr(x-x0)^2 + (y-y0)^2
1.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji z = 1/3 sqr 1-x^2 –y^2
Wyrażenie pod pierwiastkiem >=0 czyli x^2+y^2<=1 rysunek dziedzina to okrąg zamalowany wewnętrznie razem z brzegiem
2.
Z=arcsinx/2 + arccosy/3
3.
F(x,y) =ln(x^2+y^2-1)
x^2+y^2-1 >0 -> x^2+y^2>1
rysuenk to tzw słoneczko czyli okrąg z przerywaną linią I punkty na zewnątrz leżą jako dziedzina
Otoczenie i sąsiedztwo .
Otoczenie punktu przestrzeni nazywamy zbiór spełniający następujące warunki :
Otoczeni prostokątne
|x-x0|<=p
|y-y0|<=q
Wówczas mamy prostokąt o bokach p,q
Sąsiedztwo jest to zbiór tych wszystkich punktów , które spełniają warunek otoczenia po usunięciu punktu P0.
Granice
Ciągłość funkcji 2 zmiennych ( płaszczyzna bez dziór – jak ser ) funkcja 2 zmiennych jest ciągła kiedy istnieje granica lewo i prawostronna oraz w punkcie.
Pochodne cząstkowe funkcji 2 zmiennych
Niech dana będzie funkcja z=f( x,y) określona w otoczeniu punktu P(x,y)w przestrzeni 2 ymiarowej R2
Oznaczenia lajbniza takie z delatami i oznaczenie zagraża fx(x,y)
Dz/dx (x,y) =limdx->0f[(x+dx),y]-f(x,y)/dx
Dz/dx (x,y) =limdy->0f[x,(y+dx,)]-f(x,y)/Dy ??
d2z/dxdx(x,y) = f’’xx(x,y)
d2z/dxdy(x,y) = f’’xy(x,y)
d2z/dydx(x,y) = f’’yx(x,y)
d2z/dydy(x,y) = f’’yy(x,y)
Najpierw liczmy pochodne pierwsze po X a potem po Y traktując odpowiednio :
Jako stałą Y dla X
Jako stałą X dla Y
f’’xx(x,y) i f’’yy(x,y) -> pochodne czyste
f’’xy(x,y) i f’’yx(x,y) -> pochodne mieszane
Tw Szwarca
Jeżeli istnieją pochodne mieszane ciągłe f’xy(x,y) i f’yx(x,y) to w dziedzinie funkcji 2 zmiennych słuszna jest ich równość
Ekstremum funkcji 2 zmiennych
Warunek konieczny aby w punkcie P(x0,y0) posiadała ekstremum jest aby pierwsza pochodna funkcji 2 zmiennych w tym punkcie równała się 0.
f’x(x0,y0) =0
f’y(x0,y0)=0
warunek wystarczający
Wyznacznik = | f’’xx(x,y) f’’xy(x,y)|
| f’’yx(x,y) f’’yy(x,y)| >0
Przyczym o tym czy to jest maksimum czy minimum dla W >0
Decyduje
f’’xx(x0,y0) >0 f’’yy(x0,y0) >0 minimum w punkcie P0(x0,y0)
f’’xx(x0,y0) <0 f’’yy(x0,y0) <0 maksimum w punkcie P0(x0,y0)
Jeżeli W=0 to ten warunek nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum
Jeżeli W<0 to nie ma ekstremum.
Lauviah666