SKRYPT_DO_ZAJEC_WYRWNAWCZYCH-MATEMATYKA.pdf

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Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
SKRYPTDOZJĘĆWYRÓWNWCZYCHZMATEMATYKI
DLSTUDENTÓWIROKUKDEMIIMORSKIEJ
W SZCZECINIE
drinż.RyszardKrupiński
PUBLIKCJDYSTRYBUOWNBEZPŁTNIE
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Spistreści
Wstęp ...................................................................................................................................................... 5
Symbole matematyczne ....................................................................................................................... 5
Liczby rzeczywiste ................................................................................................................................ 5
Liczby naturalne ...................................................................................................................................6
Licbycałkowite ...................................................................................................................................6
Liczby wymierne ..................................................................................................................................6
Liczby niewymierne .............................................................................................................................6
Prediałylicbowe...............................................................................................................................7
Diałanianalicbachrecywitych .....................................................................................................7
Ułamki............................................................................................................................................... 10
Wartodbewgldna....................................................................................................................... 12
Zadania ............................................................................................................................................. 13
Funkcja ................................................................................................................................................ 1 4
Definicja funkcji ................................................................................................................................ 14
Włanociunkcji .............................................................................................................................. 16
Funkcjałożona ................................................................................................................................ 18
Funkcja odwrotna ............................................................................................................................. 19
Zadania ............................................................................................................................................. 20
Funkcja liniowa .................................................................................................................................. 21
Wajemnepołożeniedwóchprotycharodajukładurównao ..................................................... 23
Zadania ............................................................................................................................................. 24
Funkcja kwadratowa ........................................................................................................................ 25
Potadkanonicna ............................................................................................................................ 26
Miejsca zerowe ................................................................................................................................. 26
Potadilocynowa ............................................................................................................................. 27
Równaniainierównocikwadratowe .............................................................................................. 28
Równaniadwukwadratowe .............................................................................................................. 29
Zadania ............................................................................................................................................. 29
Wielomiany ......................................................................................................................................... 31
Dieleniewielomianów ..................................................................................................................... 31
Twierdzenie Bezout .......................................................................................................................... 32
Równania .......................................................................................................................................... 32
Nierównoci ...................................................................................................................................... 34
2
Zadania ............................................................................................................................................. 35
Funkcja wymierna ............................................................................................................................. 36
Równaniawymierne ......................................................................................................................... 36
Nierównociniewymierne ................................................................................................................ 37
Zadania ............................................................................................................................................. 38
Ciągi ...................................................................................................................................................... 38
Monotonicnodciągu ...................................................................................................................... 38
Zadania ............................................................................................................................................. 40
Graniceciągów ................................................................................................................................. 41
Liczba e ............................................................................................................................................. 44
Graniceniewłaciweciągów ............................................................................................................. 45
Zadania ............................................................................................................................................. 46
Ciągarytmetycny ............................................................................................................................ 47
Zadania ............................................................................................................................................. 49
Ciąggeometrycny ............................................................................................................................ 50
Zadania ............................................................................................................................................. 52
Szereg geometryczny ........................................................................................................................ 52
Zadania ............................................................................................................................................. 53
Funkcjawykładnicza ........................................................................................................................ 53
Definicja ............................................................................................................................................ 53
Włanocifunkcji wykładnicej ......................................................................................................... 54
Równaniawykładnice ..................................................................................................................... 54
Nierównociwykładnice ................................................................................................................. 57
Zadania ............................................................................................................................................. 58
Funkcja logarytmiczna ..................................................................................................................... 60
Pojcielogarytmu ............................................................................................................................. 60
Definicja funkcji logarytmicznej ........................................................................................................ 60
Włanociunkcjilogarytmicnej ..................................................................................................... 60
Równaniainierównocilogarytmiczne ............................................................................................ 61
Zadania ............................................................................................................................................. 64
Funkcje trygonometryczne .............................................................................................................. 66
Funkcjetrygonometrycnedowolnegokąta .................................................................................... 66
Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej............................................................................ 67
Wzory redukcyjne.............................................................................................................................. 69
3
Zadania ............................................................................................................................................. 70
Równaniainierównocitrygonometrycne ..................................................................................... 72
Zadania ............................................................................................................................................. 79
Funkcjecyklometryczne(kołowe) ................................................................................................. 83
Funkcja odwrotna ............................................................................................................................. 83
Zadania ............................................................................................................................................. 84
Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych........................................................................... 85
Zadania ............................................................................................................................................. 87
Geometria analityczna ..................................................................................................................... 88
Wektorynapłacynie .................................................................................................................. 88
Sumawektorów ................................................................................................................................ 88
Mnożeniewektoraprelicb ........................................................................................................ 89
Ilocynkalarnywektorów ............................................................................................................... 89
Coinukątamidywektorami ........................................................................................................ 90
Zadania ............................................................................................................................................. 94
Protanapłacynie ....................................................................................................................... 95
Kątmidydwiemaprotymi ........................................................................................................... 98
Zadania ........................................................................................................................................... 101
Okrąg .............................................................................................................................................. 103
Zadania ........................................................................................................................................... 105
4
I. Wstęp
Niniejszy podrcnikjetprenaconydlatudentówIrokukademiiMorkiejwScecinieucet-
nicącychwajciachwyrównawcychmatematykiwramachprojektu„Rowójipromocjakierun-
kówtechnicnychwkademiiMorkiejwScecinie”Wkrypciepredtawiono podstawowe za-
gadnieniamatematykiakreukołyredniejktórychnajomodjetniebdnadorealiacjipro-
gramumatematykiiykiiróżnychpredmiotówtechnicnychnaIiIIrokutudiówLicneprykłady
ikomentaredorowiąanychadaoumożliwią studentom szybsze opanowanie prezentowanych
agadnieo. Wceluutrwaleniaponanegomateriałudokażdegorodiałudołąconodużąlicb
różnicowanychadaodoamodielnegorowiąaniaWielenich to zadania bardzo proste, ilustru-
jącepreentowanepojciaDowikoci nich podano odpowiedzi.
II. Symbole matematyczne
Matematykapoiadawójpecyicnyjykkładającyiobernegoetawunakówymbolii
ormułowao Niektórenichbdąctowykorytywanewniniejymkrypcieinaajciachpod-
catudiówDlategoponiżejwyjaniamynacenienajcciejużywanychymboli
Symbolprynależnoci . Zapis „ x A” onacaże x jest elementem zbioru A, awyrażenie „x A”
onacaże x nie jest elementem zbioru A .
Zapis „A B” onacaże biór A awieraiwbiore B.
Zapi„ A B ” onacaumbiorów A i B (łącenie)
Zapi„ A B ”onacailocynbiorów A i B (cdwpólną)
Zapi„ A \ B ”onacaróżnicbiorów A i B (teelementyktóreąw A , ale nie ma ich w B ).
nazywamy kwantyikatoremogólnymjetonrównoważnywyrażeniu„ dlakażdegox
Symbol xA
onacający „ istnieje taki xnależącydo ”, nazywamy
należącegodo ”Natomiast symbol xA
kwantyikatoremcególnym
Wyrażenie „tegowynika,że” możnaatąpidymbolem ;
Wyrażenie „wtedyitylkowtedy,gdy” możnaatąpidymbolem ;
Spójnik „i” ctowtektachmatematycnychmapotad apójnik „lub” wytpujejako .
III. Liczby rzeczywiste
Pierwąrecą, którakojaryimatematykąąlicby. Dlatego zaczniemy od opisu i klasyfikacji
licbktórymipotykaikażdycłowiekcytowżyciucodiennymcypryrowiąywaniułożo-
nychproblemówtechnicnych Wniniejymkrypcietakjakwkoleredniejbdiemyporuad
itylkowakreielicbrecywitychNawatychlicbonacażepotykamyinimiwnaej
5

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