Metoda doprowadzania układu równań do postaci bazowej.pdf

Metodadoprowadzaniaukładurówna«dopostacibazowej

Danyjestukładrówna«liniowych

Ax=b

orazrozwi¡zaniebazoweytegorównania,gdzieAjestmacierz¡onwierszach

imkolumnach,nm,bjestwektoremkolumnowymrozmiaruniyjest

wektoremkolumnowymrozmiarum.Abydoprowadzi¢powy»szyukładdo

postacibazowejwzgl¦demynale»ywykona¢nast¦puj¡cekroki:

1.dlaka»degoj=1,...,m,takiego,»ey j 6=0,nale»yznale¹¢i2

{1,...,n}taki,»ea i,j 6=0,orazprzekształci¢układAx=btak,by

a i,j =1oraza k,j =0,k=1,...,n,k6=i;

2.dlaka»degoi=1,...,n,takiego,»eb i =0(wprzekształconymukła-

dzierówna«)nale»yznale¹¢j2{1,...,m}takie,»ea i,j 6=0,oraz

przekształci¢układAx=btak,bya i,j =1oraza k,j =0,k=1,...,n,

k6=i;

Badaniekolejnegoindeksujwpunkciepierwszymmo»narozpocz¡¢dopiero

pozako«czeniuprzekształce«zwi¡zanychzpoprzednimindeksem.Analo-

gicznauwagadotyczyindeksówizpunktudrugiego.

Dlaprzykładurozwa»myukładrówna«

x 1 +x 3 +x 4 =1

−x 1 +x 2 −x 4 +x 5 =0

x 1 +x 2 −x 5 =0

orazjegorozwi¡zaniebazowey=[0,0,1,0,0] tr .Zauwa»my,»ejednymindek-

semj2{1,2,3,4,5}takim,»ey j 6=0jestj=3.Dlai=1mamya i,j 6=0.

Ponadtoukładnaszspełniaju»waruneka 1,3 =1,a 2,3 =0ia 3,3 =0,zatem

mo»emypomin¡¢pierwszykrok.

Poniewa»b 2 =0,wi¦cmusimyznale¹¢indeksj2{1,2,3,4,5}taki,»e

a 2,j 6=0.Takimindeksemjestj=1.Powykonaniuprzekształce«opisanych

wpunkciedrugimotrzymujemyukład

x 2 +x 3 +x 5 =1

x 1 −x 2 +x 4 −x 5 =0

2x 2 −x 4 =0

Post¦puj¡cpodobniedlai=3mo»emywybra¢j=4(coniebyłobymo»liwe,

gdyby±myniedokonaliprzekształceniaukładu),wefekcieczegootrzymujemy

układrówna«

x 2 +x 3 +x 5 =1

x 1 +x 2 −x 5 =0

−2x 2 +x 4 =0

Zauwa»my,»eniemo»emywybra¢j=5,mimoi»byłobytomo»liwegdyby-

±mynieprzekształciliukładu.