Jarnicki M - Wykłady z Funkcji Analitycznych.pdf - Matematyka. Analiza zespolona - heroinka94

UniwersytetJagiello«ski

WydziałMatematykiiInformatyki

InstytutMatematyki

Wykłady

zFunkcjiAnalitycznych

MarekJarnicki

(Wersjaz31maja2009)

Spis tre±ci

Rozdział 1. Wst¦p ................................................................................. 1

1.1. Liczby zespolone .......................................................................... 1

1.2. Sfera Riemanna ........................................................................... 2

1.3. Homograﬁe ............................................................................... 3

1.4. Funkcjaexp.............................................................................. 5

1.5. Odwzorowania przy pomocy funkcji elementarnych ........................................ 6

Rozdział 2. Funkcje holomorﬁczne I ............................................................... 9

2.1. Pochodna zespolona ...................................................................... 9

2.2. Funkcje holomorﬁczne .................................................................... 16

2.3. Podstawowe własno±ci funkcji holomorﬁcznych ............................................ 20

2.4. Rodziny normalne, twierdzenia Montela i Vitalego ........................................ 25

2.5. Zasada symetrii Riemanna–Schwarza ...................................................... 26

2.6. Twierdzenie Cauchy’ego–Dixona .......................................................... 26

2.7. Jednowymiarowe rozmaito±ci zespolone ................................................... 28

2.8. Funkcje holomorﬁczne w 1 ............................................................... 29

2.9. Szeregi Laurenta .......................................................................... 30

2.10. Osobliwo±ci izolowane ..................................................................... 32

2.11. Funkcje meromorﬁczne .................................................................... 34

2.12. Twierdzenie o residuach ................................................................... 35

2.13. Zastosowania do obliczania całek .......................................................... 36

2.14. Funkcje holomorﬁczne dane całk¡ ......................................................... 38

2.15. Funkcja Eulera ......................................................................... 39

2.16. Transformacja Laplace’a .................................................................. 39

Rozdział Oznaczenia ............................................................................ 41

Rozdział Indeks nazwisk ........................................................................ 43

Rozdział Indeks ................................................................................ 45

iii

ROZDZIAŁ 1

Wst¦p

Poni»szy rozdział, nie maj¡cy charakteru systematycznego wykładu, zawiera przegl¡d elementarnych

poj¦¢ i własno±ci, których znajomo±¢ jest niezb¦dna do zrozumienia dalszych cz¦±ci wykładu.

1.1. Liczby zespolone

Liczby zespoloneCto ciało(R 2 ;+;)z działaniami okre±lonymi nast¦puj¡co:

(x;y)+(u;v):=(x+u;y+v),

(x;y)(u;v):=(xuyv;xv+yu).

Liczb¦ rzeczywist¡ x 2Ridentyﬁkujemy z liczb¡ zespolon¡(x;0)2C; odwzorowanie

R3 x 7!(x;0)2C

jest monomorﬁzmem ciał. Od tej chwili przyjmujemy, »e x=(x;0)dla x 2R. W szczególno±ci, uwa»amy, »e

RC.

Na przestrze«Cmo»emy tak»e patrze¢ jako na dwuwymiarow¡ rzeczywist¡ przestrze« wektorow¡

(C;+;R;), gdzie (x;y):=(x;y); odnotujmy, »e to mno»enie zewn¦trzne jest zgodne z wy»ej zdeﬁnio-

wanym mno»eniem wewn¦trznym, tzn. (x;y)=(;0)(x;y). Baz¡ tej przestrzeni s¡ wektory(1;0)=1

i(0;1)=:i. Mamy(x;y)=x (1;0)+y (0;1)=x+iy; liczb¦ x nazywamy cz¦±ci¡ rzeczywist¡ liczby

zespolonej z=(x;y)=x+iy i piszemy x=Rez, za± liczb¦ y — cz¦±ci¡ urojon¡ z i piszemy y=Imz.

Odnotujmy, »e i 2 =1.

Liczb¦ z:=xiy nazywamy liczb¡ sprz¦»on¡ do z. OdwzorowanieC3 z J

jest norm¡ zespolon¡, tzn. jzwj=jzjjwj dla dowolnych z;w 2C. Przypomnijmy nierówno±¢ trójk¡ta:

jjzjjwjj6jz+wj6jzj+jwj:

Z topologicznego punktu widzenia przestrze«Ctraktujemy jako przestrze« metryczn¡ z odległo±ci¡ euklide-

sow¡ (z;w):=jzwj. Dla a 2Cb¦dziemy stosowa¢ nast¦puj¡ce oznaczenia:

K(a;r):=fz 2C:jzaj < rg,0< r 6+1, K(a;+1):=C,

K (a;r):=K(a;r)nfag, K(r):=K(0;r), D:=K(1),

C (a;r):=fz 2C:jzaj=rg=@K(a;r), T:= C( 1),

K(a;r):=fz 2C:jzaj6 rg,06 r <+1, K(a;0):=fag, K(r):=K(0;r),

A(a;r ;r + ):=fz 2C:r < jzaj < r + g, 16 r < r + 6+1,A(r ;r + ):=A(0;r ;r + ).

Odnotujmy, »eA(a;r ;r + )=K(a;r + )dla r <0orazA(a;0;r + )=K (a;r + ).

Dla z=x+iy, zbiór

argz:=f' 2R:x=jzjcos'; y=jzjsin'g

nazywamy argumentem liczby z. Zapis z=jzjcos'+ijzjsin'=jzj(cos'+isin'), ' 2argz, nazywamy

postaci¡ trygonometryczn¡ liczby zespolonej. Zauwa»my, »e:

arg0=R;

7! z 2Cjest izomorﬁzmem

ciał. Ponadto, J J=id C oraz Jj R =id R . Jest to jedyne nietrywialne odwzorowanie o tych własno±ciach.

Norma euklidesowa liczby zespolonej z=x+iy, zwana modułem tej liczby,

jzj:= p x 2 +y 2 =

Jarnicki M - Wykłady z Funkcji Analitycznych.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: