Geometria analityczna - przykłady.pdf

(166 KB) Pobierz
375669439 UNPDF
Geometriaanalityczna-przykłady
1.Znale¹¢równanieogólneirównaniaparametryczneprostejw R 2 ,którprzechodzi
przezpunkt(4; 3)oraz
(a)jestrównoległadoprostej x + 5y 2 = 0:
(b)jestprostopadładoprostej 3x + 4y + 7 = 0:
Rozwi¡zanie
(a)Prostarównoległadonaszejprostejmaposta¢x + 5y + C = 0:Poniewa»
przechodzionaprzezpunkt (4; 3),topunkttenmusispełnia¢jejrównanie.
Zatem
4 + 15 + C = 11 + C = 0:
St¡dC = 11:
Równanieogólneszukanejprostejdanejestwzorem
() x + 5y 11 = 0:
Zewzoru()wyliczamyx = 11 5y:Oznaczmyy = t:
Równaniaparametrycznenaszejprostejmaj¡posta¢
l :
x = 11 5t
y =
t
; gdziet 2 R :
(b)Prostaprostopadładonaszejprostejmaposta¢5xy +D = 0:Poniewa»
przechodzionaprzezpunkt (4; 3),topunkttenmusispełnia¢jejrównanie.
Zatem
5 (4) 3 + D = 17 + D = 0:
St¡dD = 17:
Równanieogólneszukanejprostejdanejestwzorem
() 5xy 17 = 0:
Zewzoru()wyliczamyy = 5x 17:Oznaczmyx = s:
Równaniaparametrycznenaszejprostejmaj¡posta¢
l :
x =
y = 17 + 5s ; gdzies 2 R :
s
2.Obliczy¢k¡tmi¦dzyprostymi
l 1 : 3xy = 0orazl 2 : 2x + y 5 = 0:
1
Rozwi¡zanie
Cosinusk¡tami¦dzyprostymil 1 il 2 jestrównyk¡towimi¦dzywektorami [3;1]
oraz[2; 1]prostopadłymidotychprostych
[3;1] [2; 1]
p 10 p 5
2:
2
cos ^ (l 1 ;l 2 ) =
=
Zatem ^ (l 1 ;l 2 ) =
4 :
3.Danyjesttrójk¡towierzchołkachA = (0; 0) ; B = (4; 0) ; C = (3; 4) :Napisa¢
równanieprostejnaktórejle»ydwusiecznak¡taowierzchołkuwpunkcieA:
Rozwi¡zanie
AB
AC
Wektory
AB
oraz
AC
s¡wektoramikierunkowymiramionk¡ta ^ BAC i
maj¡jednakowedługo±ci.Suma
AB
+
AC
tychwektorówjestwektoremkierunkowymdwusiecznejk¡ta.Obliczmyt¦sum¦
AB
+
AC
=
[4; 0]
p 16
+
[3; 4]
p 9 + 16
= [1; 0] +
5 ; 4
=
8
5 ; 4
:
AB
AC
5
5
Wektor
8
5 ; 4
jestrównoległydowektora[8; 5] :Równanieszukanejprostejma
5
posta¢
8x + 5y = 0:
4.Ułó»y¢równaniadwusiecznychk¡tówutworzonychprzezproste
l 1 : 9x 2y + 18 = 0 i l 2 : 7x + 6y 21 = 0:
Sprawdzi¢,»etedwusiecznes¡wzajemnieprostopadłe.
Rozwi¡zanie
Dwusiecznak¡tajestzbiorempunktówpłaszczyznyrównooddalonychodramion
k¡ta.Oznaczmysymbolem(X;Y )punktle»¡cynadwusiecznej.Wtedyodległo±ci
d((X;Y ) ;l 1 ) =d((X;Y ) ;l 2 ) :
2
p
AB
AC
3
375669439.001.png 375669439.002.png 375669439.003.png
St¡d
j9X 2Y + 18j
p 81 + 4
= j7X + 6Y 21j
p 49 + 36
;
j9X 2Y + 18j = j7X + 6Y 21j:
Zatem
9X 2Y + 18 = 7X + 6Y 21 lub9X 2Y + 18 = (7X + 6Y 21) :
Szukanedwusiecznedanes¡równaniami
2X 8Y + 39 = 0oraz16X + 4Y 3 = 0:
Dwusiecznes¡prostopadłe,gdy»iloczynskalarnywektorówdonichprostopadłych
[2;8] [16; 4] = 0
5.Obliczy¢obj¦to±¢równoległo±cianuowierzchołkachA = (1; 4; 0) ; B = (3; 1; 2) ; C =
(1; 3; 2) ; D = (2; 0; 0) :
Rozwi¡zanie
Obj¦to±¢równoległo±cianuowierzchołkachA;B;C;Djestrównawarto±cibezwzgl¦d-
nejiloczynumieszanegowektorów AB; AC; AD:Zkoleiiloczynmieszanywektorów
AB; AC; AD jestrównywyznacznikowiutworzonemuodpowiedniozewspółrz¦d-
nychtychwektorów.
Obliczmy AB = [2;3; 2] ; AC = [0;1; 2] ; AD = [1;4; 0] :
St¡d
2
AB AC AD
3
2 3 2
0 1 2
1 4 0
det
4
5 =
= 12:
Zatemobj¦to±¢rozwa»anegorównoległo±cianujestrówna12:
6.Obj¦to±¢równoległo±cianuzbudowanegonawektorachp,q;rjestrówna3.Obliczy¢
obj¦to±¢równoległo±cianuzbudowanegonawektorach
a = p + qr;
b = 2pq + r; c = p + 2q 3r:
Rozwi¡zanie
Obj¦to±¢równoległo±cianuzbudowanegonawektoracha,b; c jestrównawarto±ci
bezwzgl¦dnejiloczynumieszanegotychwektorów.
Obliczymyiloczynmieszany ab c:
3
Policzmynajpierwiloczynwektorowyab;
ab = (p + qr) (2pq + r) =
= 2pppq + pr + 2qpqq + qr 2rpqrrr:
Korzystaj¡czwłasno±ciiloczynuwektorowego,otrzymujemy
2pppq + pr + 2qpqq + qr 2rpqrrr =
= pq + pr 2pq + qr + 2prqr = 3pq + 3pr:
Policzmyteraziloczynskalarnywektorówaborazc;
ab c = (3pq + 3pr) (p + 2q 3r) :
Korzystaj¡czwłasno±ciiloczynuskalarnego,otrzymujemy
(3pq + 3pr) (p + 2q 3r) =
= 3 (pq) p 6 (pq) q + 9 (pq) r + 3 (pr) p + 6 (pr) q 9 (pr) r =
= 9 (pq) r + 6 (pr) q = 9 (pq) r 6 (pq) r = 3 (pq) r:
Aleobj¦to±¢równoległo±cianuzbudowanegonawektorachp,q; r jestrówna3:
ZatemObj¦to±¢równoległo±cianuzbudowanegonawektoracha,b; cwynosi
c
= 3j(pq) rj = 3 3 = 9:
7.Poda¢równanieogólnepłaszczyznyprzechodz¡cejprzezpunktP = (3; 1;2) i
równoległejdopłaszczyznydanejrównaniem : x 2y + 5z 5 = 0:
Rozwi¡zanie
Szukanapłaszczyznamaby¢równoległadopłaszczyznydanej,zatemwektorn =
[1;2; 5] jestrównie»wektoremprostopadłymdoszukanejpłaszczyzny.Równanie
szukanejpłaszczyznymawi¦cposta¢
() x 2y + 5z + D = 0:
PunktP = (3; 1;2)nale»ydoposzukiwanejpłaszczyzny.Zatemwspółrz¦dne
punktuPspełniaj¡równanie() :St¡d3 2 10 + D = 0:Codaje D = 9:
Szukanapłaszczyznadanajestwi¦crównaniem
x 2y + 5z + 9 = 0:
4
ab
8.Napisa¢równanieogólnepłaszczyzny 0 ,któraprzechodziprzezpunktyP = (3; 1;2)
iQ = (1; 1; 2)orazjestprostopadładopłaszczyznyorównaniu
: x + 3y + z 5 = 0:
Rozwi¡zanie
Wektory PQ = [2; 0; 4] n = [1; 3; 1]s¡doposzukiwanejpłaszczyzny 0 równoległe.
Zatemwektor PQ n = [12; 6;6]jestdoniejprostopadły.Poniewa»wektor
[12; 6;6]jestrównoległydowektora[2;1; 1] ;apunkt(1; 1; 2) 2 0 ;torównanie
szukanejpłaszczyzny 0 maposta¢
2xy + z 3 = 0:
9.PrzezpunktA = (1; 2;1)poprowadzi¢płaszczyzn¦równoległ¡doprostych
8
<
8
<
x = 1 + t
y = 2 t
z = 3 t
x = 2 2t
y = 2 + t
z = 2 + 5t
l 1 :
:
i l 2 :
:
; t 2 R .
Poda¢równanieogólneirównaniaparametryczneszukanejpłaszczyzny.
Rozwi¡zanie
(a)Znajdziemynajpierwrównanieogólneszukanejpłaszczyzny.Wektorprostopadły
donaszejpłaszczyznymaposta¢
n = [1;1;1] [2; 1; 5] =
;
;
=
1 1
1 5
1 1
2 5
1 1
2 1
:
PunktA = (1; 2;1)madonaszejpłaszczyznymanale»e¢.St¡d4 (x + 1) +
3 (y 2) + (z + 1) = 0:Porz¡dkuj¡costatnierównaniuotzymujemyrównanie
ogólneszukanejpłaszczyzny
4x + 3y + z 1 = 0:
(b)Podamyterazrównaniaparametryczneszukanejpłaszczyzny.
Prostel 1 ;il 2 s¡równoległedoszukanejpłaszczyzny.Wi¦cwektory[1;1;1] ;
[2; 1; 5]te»s¡doniejrównoległe.PunktA = (1; 2;1)donaszejpłaszczyzny
nale»y.Zatempłaszczyznatadanajestrównaniami
8
<
x = 1 + t 2s
y = 2 t + s
z = 1 t + 5s
:
; t;s 2 R :
:
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin