Ciągi nieskończone
Ciąg nieskończony, który ma granice skończoną, nazywamy ciągiem zbieżnym. Wszystkie inne ciągi nieskończone nazywamy ciągami rozbieżnymi, w szczególności jeżeli ciąg {un} dąży do +∞, to mówimy, że jest rozbieżny do plus nieskończoności i podobnie mówimy o ciągu rozbieżnym do minus nieskończoności.
--------------------------------------------------
un= 4n2+ 5n-7- 2
a-b= a2- b2a+b
un=4n2+ 5n-72- 4n24n2+ 5n-7+2n= 5n-74n2+ 5n-7+2n
a-b= a3- b3a2+ab+ b2
un= n3n+ 5n-7n
7n < 3n + 5n + 7n < 7n + 7n + 7n
n7n< n3n+ 5n-7n< n3 * 7n
7< n3n+ 5n-7n<7n3
Wszystkie wyrazy dążą do 7
limn→∞na=1 dla a>0
limn→∞1+1nn=e
limn→∞1+an1an=e jeżeli
limn→∞an=0 dla a≠0
limn→∞nn=1
Szeregi liczbowe
*Warunek konieczny
limn→∞un=0
*Kryterium d’Alamberta o szeregach
Zbieżny:
un+1un ≤1 dla każdego n ≥N
Rozbieżny:
un+1un ≥1 dla każdego n ≥N
limn→∞ un+1un=r<1-szereg zbieżny
limn→∞un+1un=s<1-szereg rozbieżny
limn→∞un+1un=1-przypadek watpliwy
*Kryterium Cauchy’ego o szeregach (99% pewności)
nun<p<1
nun≥1
limn→∞nun=r<1-zbieżny
limn→∞nun=s>1-rozbieżny
limn→∞nun=1-wątpliwy
Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze od d’Alamberta
*Kryterium Leibniza o szeregach
Zbieżny: |un+1| ≤ |un|, i limn→∞ un=0
Pochodne
lim∆x→0∆y∆x= lim∆x→0fx+ ∆x- f(x)∆x
Wzory:
xa'= axa-1 , dla x>0
sin x'=cosx
cosx'= -sinx
tg x'= 1cos2 x=1+tg2x
ctg x'= -1sin2 x= -1+ctg2 x
arcsin x'= 11-x2 , -1<x<1, -π2<arcsinx<π2
arccos x'= -11-x2 , -1<x<1, 0<arccosx<π
arctg x'= 11+x2, -π2<arctgx<π2
arcctg x'= -11+x2, 0<arctgx<π
ex'= ex
ax'= axlna, a>0
lnx'= 1x
loga x'= 1xlna= 1x loga e
Szeregi potęgowe
Dla danego sz. potęg. istnieje:
limn→∞ an+1an=g ≠0
to promień zbieżności tego szeregu wynosi R=1/g.
Jeżeli zaś g = 0, to R = +∞, a jeżeli g = +∞, to R = 0.
Jeżeli dla danego szeregu potęgowego istnieje
limn→∞ nan=s ≠0
to promień zbieżności jest równy R = 1/s. Jeżeli zaś s =0, to R = +∞, a jeżeli s = +∞, to R = 0.
Reguła de L’Hospitala
limx→af(x)g(x) = limx→af'(x)g'(x)
Stosuje się gdy wyrażenie przyjmie postać nieoznaczoną:
0/0, ∞/∞.
Wyrażenie postaci: ∞ - ∞, ∞0, 00, 1∞
ux= 1f(x), vx= 1g(x)
fx- gx= 1ux- 1vx= vx- uxuxvx
Całki nieoznaczone
dx=x+C
dxx=2x+ C
dxx2= -1x+ C
dxx=lnx+ C
exdx= ex+ C
axdx= axlna+ C
cosx dx=sinx +C
sinx dx=-cosx +C
dxcos2 x =tg x+C
dxsin2 x= -ctg x+C
dx1-x2=arcsinx + C= -arccosx+C'
dua2-u2=arcsinua
duu2± a2=ln (u+u2± a2)
duu2- a2= 12aln |u-au+a|
dxx2+ 1=arctg x+C= -arcctg x+C'
duu2+ a2=1a arctg ua+ C
Całki funkcji wymiernych
Rozkłada się na ułamki proste, dla liniowych funkcji ma postać:
A(ax+b)k
Dla kwadratowych:
Bx+C(cx2+ dx+e)p
dxx2+ b
x= b *t, skąd dx= ...
lukasmith