5-RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE.doc

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

1)Równania liczbowe: f(x)=0 → rozwiązanie: wszystkie liczby xi, które są miejscami zerowymi

     funkcji f(x)

1.1)równanie funkcyjne → rozwiązaniami są funkcje

1.1.1)równania różniczkowe

• Definicja równania różniczkowego zwyczajnego:

W równaniu funkcyjnym, w którym niewiadomą jest funkcja jednej zmiennej i występuje w tym równaniu pochodna funkcji niewiadomej nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym.

Przykład: y’+2xy=0

              y=y(x) – niewiadoma (funkcja poszukiwana)

xI

F(x,y,y’)=0 – postać ogólna równania różniczkowego

F – funkcja trzech zmiennych

Rozwiązaniem równania F(x,y,y’)=0 nazywamy funkcję y=φ(x) w przedziale xI, posiadającą pochodną φ’(x) w xI i zamienia ona w/w równanie w tożsamość:

,              xI

Przykład: y’+2xy=0 – równanie pierwszego rzędu

y=y(x) – szukana

- rozwiązanie równania y’+2xy=0,              xR

y’=-2x

-2x+ 2x≡ 0, x(-∞,+∞)

Każda funkcja y=C∙, CR jest rozwiązaniem równania y’+2xy=0.

Jest to przykład rozwiązania ogólnego.

• Definicja rzędu równania różniczkowego:

Rzędem równania różniczkowego nazywamy rząd najwyższej pochodnej występującej w tym równaniu.

Przykład:               y”+4x2y2+y’=0 – równanie rzędy drugiego

                            y(5)+lny”=0 – równanie rzędu piątego

(1)              F(x,y,y’,y”,...,y(n))=0 – równanie n-tego rzędu

F – funkcja n+2 zmiennych

y=y(x) – funkcja szukana

• Definicja zagadnienia Cauchy’ego (początkowego):

Mówimy, że funkcja y=y(x) jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego (zagadnienia początkowego) dla równania (1), jeżeli spełnia ona to równanie i następujące warunki początkowe:

y(x0)=y0, y’(x0)=y1, ..., y(n-1)(x0)=yn-1

gdzie: x0I i y0,y1, ...,yn-1 – dane liczby rzeczywiste zwane wartościami początkowymi

W szczególnym przypadku, gdy n=1 mamy tylko jeden warunek początkowy:

y(x0)=y0

Przykład: Jeżeli równanie jest rzędu 3, to mamy 3 warunki początkowe: dla funkcji niewiadomej i dla pierwszej i drugiej pochodnej.

• Definicja rozwiązania ogólnego (całki ogólnej) równania różniczkowego:

Funkcję y=φ(x,C1,C2,...,Cn) zależną od n parametrów rzeczywistych C1,C2,...,Cn nazywamy rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania (1), jeżeli przy każdym wyborze C1,C2,...,Cn funkcja ta jest rozwiązaniem tego równania i wszystkie rozwiązania tego równania da się otrzymać przez odpowiedni wybór parametrów.

Gdy n=1, to funkcja zależy tylko od jednego parametru.

§1. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH I RZĘDU

Niech funkcja x→f(x) będzie ciągła w przedziale (a,b), a funkcja y→g(y) będzie ciągła w przedziale (c,d) i g(y)≠0 w (c,d).

Równanie różniczkowe rzędy pierwszego postaci:

              (1.1)

                                                        lub:

g(y)dy = f(x)dx              (1.2)

nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.

y=y(x) – funkcja szukana

Scałkujmy teraz równanie (1.2), traktując y jako zmienną niezależną:

Jest to całka ogólna (rozwiązanie ogólne) równania (1.2)

Przykład: Znaleźć całkę ogólną równania: x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0.

x(y2-1)dx + y(x2-1)dy=0 / :(y2-1)(x2-1)

- jest to równanie zmiennych rozdzielonych

Scałkujmy w/w równanie zmiennych rozdzielonych:

- całka ogólna

Dobierając odpowiednio C otrzymamy rozwiązanie szczególne.

§2. RÓWNANIA JEDNORODNE I RZĘDU

Niech będzie dana funkcja f jednej zmiennej, ciągła w przedziale (a,b) i taka, że f(u)≠u.

• Definicja równania różniczkowego jednorodnego:

Równanie różniczkowe rzędy pierwszego postaci:

              (2.1)

nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.

Aby rozwiązać równanie (2.1) wprowadza się następujące podstawienie:

Liczymy pochodną po x: i wstawiamy ją do równania (2.1):

- równanie różniczkowe zmiennych rozdzielonych

- całka ogólna równania (2.1)

Przykład: Rozwiązać równanie: .

              u + xu’ = 1+u

§3. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE I RZĘDU

• Definicja równania różniczkowego liniowego:

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci:

              (3.1)

p i f są to dane funkcje ciągłe w przedziale (a,b)

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym

Jeżeli w równaniu tym f(x) ≡ 0 [f(x) jest tożsamościowo równa zero], równanie przyjmuje postać:

              (3.2)

i jest równanie różniczkowe liniowe jednorodne.

Jeśli f(x) ≡ 0 to równanie (3.1) jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym.

Zauważmy, że równanie (3.2) jest równaniem zmiennych rozdzielonych:

- całka ogólna równania liniowego jednorodnego (3.2)

Całka ogólna równania liniowego jednorodnego = C.O.R.L.J.

Całka szczególna równania liniowego jednorodnego = C.S.R.L.J.

Całka ogólna równania niejednorodnego = C.O.R.N.

Całka szczególna równania niejednorodnego = C.S.R.N.

Przykład: Znaleźć całkę szczególną równania liniowego jednorodnego: y’+sinx∙y=0, spełniającą warunek: y(0)=1

y’+sinx∙y=0

y=C∙ecosx  – C.O.R.L.J.

1=C∙ecos0

y=ecosx-1 – C.S.R.L.J.

• Twierdzenie:

Jeżeli y1(x) jest jakąkolwiek całką szczególną równania niejednorodnego (3.1), a funkcja jest całką ogólną równania jednorodnego (3.2), to całka ogólna równania niejednorodnego (3.1) jest w następującej postaci:

                                                        lub:

C.O.R.N. = C.O.R.J. + C.S.R.N.

• Metoda uzmienniania stałej:

Całki ogólnej równania niejednorodnego (3.1) szukamy w postaci:

Liczymy pochodną:   i wstawiamy do równania (3.1):

Przykład: Znaleźć całkę szczególną równania , spełniającą warunek początkowy y(0)=.

Szukamy całki ogólnej równania jednorodnego:

y=C∙e-x – C.O.R.J.

Następnie uzmienniamy stałą:

y=C(x)∙e-x

- C.O.R.N.

=c1+c1=0

y=(sinx+cosx) – całka szczególna równania

§4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZUPEŁNE

Załóżmy, że funkcja (x,y)→P(x,y) i (x,y)→Q(x,y) są klasy C1 w pewnym obszarze DR2 i Q(x,y)≠0 w obszarze D.

• Definicja równania różniczkowego zupełnego:

Równanie różniczkowe I rzędu postaci: lub w postaci równoważnej:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0              (4.1)

nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym, jeżeli istnieje funkcja (x,y)→u(x,y) klasy C2...