Def. 5.1.1 (przestrzeń R3)
Przestrzenią R3 nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych;
.
Uwaga. Przestrzeń R3 będziemy interpretować geometrycznie na trzy sposoby, tzn. jako:
zbiór wszystkich punktów P = (x,y,z) w przestrzeni (rys. 5.1.1). W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy punktami i oznaczamy przez A, B, C, P, Q itd. Liczby x, y, z nazywamy wtedy współrzędnymi punktu P = (x,y,z).
zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w przestrzeni. Wektory te mają wspólny początek O = (0,0,0), a końce w punktach P = (x,y,z) (rys. 5.1.2). Wektor nazywamy wektorem wodzącym punktu P. W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy wektorami i oznaczamy przez itd. Wektory wodzące punktów będziemy oznaczali przez itd. Liczby x, y, z nazywamy współrzędnymi wektora .
zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez wektor swobody (rys. 5.1.3) rozumiemy tutaj zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek, a zwrot oraz długość co wektor . W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 także nazywamy wektorami.
Def. 5.1.2 (punkty współliniowe i współpłaszczyznowe)
Mówimy, że punkty A, B, C przestrzeni R3 są współliniowe, gdy istnieje prosta, do której należą te punkty
Mówimy, że punkty K, L, M, N przestrzeni R3 są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której należą te punkty.
Def. 5.1.3 (wektory współliniowe i współpłaszczyznowe)
Mówimy, że wektory są współliniowe, gdy istnieje prosta, w której zawarte są te wektory (rys. 5.1.6). Wektory współliniowe będziemy nazywać także wektorami równoległymi; piszemy wtedy . Przyjmujemy, że wektor jest równoległy do dowolnego wektora.
Mówimy, że wektory są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, w której zawarte są te wektory. Przyjmujemy, że wektor i dwa dowolne wektory są współpłaszczyznowe.
Def. 5.1.8 (układ współrzędnych w przestrzeni)
Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinające się w jednym punkcie 0, które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a płaszczyzny xOy, yOz, xOz płaszczyznami układu współrzędnych.
Def. 5.1.9 (orientacja układu współrzędnych w przestrzeni)
W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje: układ prawoskrętny (rys. 5.1.8) i układ lewoskrętny (rys. 5.1.9).
Def. 5.1.11 (długość wektora)
Długość wektora jest określona wzorem:
Fakt 5.1.12 (własności długości wektora)
Niech będą wektorami w R3 oraz niech a Î R. Wtedy
1. , przy czym
2.
3.
4.
Def. 5.2.1 (iloczyn skalarny)
Niech będą dowolnymi wektorami w R3. Iloczyn skalarny wektorów i określamy wzorem:
,
gdzie j jest miarą kąta między wektorami i
Uwaga. Miara kąta między wektorami niezerowymi i wyraża się wzorem:
Rzut prostopadły wektora na wektor wyraża się wzorem:
Fakt 5.5.1 (równanie normalne płaszczyzny)
Równanie płaszczyzny p przechodzącej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodzącym i prostopadłej do wektora (rys. 5.5.1) ma postać:
gdzie jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny.
W formie rozwiniętej równanie płaszczyzny p przyjmuje postać:
Powyższe zależności nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny.
Fakt 5.5.2 (równanie ogólne płaszczyzny)
Każde równanie postaci:
gdzie |A| + |B| + |C| > 0, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny i przecina oś Oz w punkcie , o ile C ¹ 0
Fakt 5.5.3 (równanie parametryczne płaszczyzny)
Równanie płaszczyzny p przechodzącej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodzącym i rozpiętej na niewspółliniowych wektorach i (rys. 5.5.3) ma postać:
, gdzie s, t Î R
lub inaczej:
, gdzie s, t Î R.
W formie rozwiniętej równanie tej płaszczyzny przyjmuje postać:
Powyższe zależności nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny.
Fakt 5.5.5 (równanie odcinkowe płaszczyzny)
Równanie płaszczyzny p odcinającej na osiach Ox, Oy, Oz układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane) a, b, c ¹ 0 (rys. 5.5.5) ma postać:
Powyższą zależność nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.
Fakt 5.6.1 (równanie parametryczne prostej)
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodzącym i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku (rys. 5.6.1) ma postać:
, gdzie t Î R
, gdzie t Î R.
Powyższą zależność nazywamy równaniem parametrycznym prostej w postaci wektorowej.
Po rozpisaniu na współrzędne parametryczne prosta przyjmuje postać:
Fakt 5.6.3 (równanie krawędziowe prostej)
Równanie prostej l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn , (rys. 5.6.3), ma postać:
Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem krawędziowym.
Uwaga. Wektor kierunkowy prostej l ma postać , gdzie , .
edudako