WYZNACZNIE BEZWYMIAROWEGO WSPÓŁCZYNNIKA OPORU LINIOWEGO.pdf

(316 KB) Pobierz
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW
Ćwiczenie N 27
WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKA OPORU LINIOWEGO
PRZEPŁYWU LAMINARNEGO
1. Cel Ćwiczenia
Doświadczalne wyznaczenie zaleŜności współczynnika oporu liniowego przepływu
laminarnego od liczby Reynoldsa i porównanie jej z zaleŜnością teoretyczną
2. Podstawy teoretyczne:
Przepływ laminarny charakteryzuje się przewagą sił lepkości nad siłami bezwładności,
a zaburzenia powstające w czasie przepływu są tłumione, czyli przepływ laminarny jest
stabilny. Charakter przepływu płynu w przewodach zamkniętych określa liczba Reynoldsa:
= u
×
d
Re
1
v
gdzie
u
- średnia prędkość płynu w przewodzie,
d – średnica przewodu,
v – kinematyczny współczynnik lepkości.
Badania doświadczalne wskazują, Ŝe w przewodzie o przekroju kołowym przepływ
laminarny zawsze istnieje gdy Re<2300 .
PRZEPŁYW LAMINARNY HAGENA - POISEUILLEA
Weźmy pod uwagę prostoliniowy przewód o przekroju kołowym długości l i o
promieniu R (rys. 1). Aby określić pole prędkości
(r) w przekroju poprzecznym rury
rozwiązujemy równanie Naviera-Stokesa ruchu ustalonego, zapisane we współrzędnych
cylindrycznych (r,
u
q
, x) z warunkami brzegowymi:
Rys. 1
( )
( )
u
R
=
0
2
u
0
<
¥
Przepływ ten jest osiowo symetryczny, więc
u
zaleŜy od
q
. Będziemy rozwaŜać długą
rurę i przyjmiemy, Ŝe
nie zaleŜy od x . Wtedy równanie Naviera-Stokesa redukuje się do
równania róŜniczkowego zwyczajnego:
u
811747940.007.png
l
d
d
u
r
gI
r
=
-
=
const
3
r
dr
dr
m
gdzie:
r
- gęstość płynu,
m
- dynamiczny współczynnik lepkości,
I – spadek hydrauliczny.
Jako rozwiązanie równania (3) z warunkami brzegowymi (2) otrzymujemy wzór na
profil prędkości w przewodzie:
r
gI
(
)
( )
2
2
u
r
=
R
-
r
4
4
m
Strumień objętości q V obliczamy rozwiązując całkę:
R
( )
∫
∫
q
=
u
dA
=
u
r
2
p
rdr
5
V
A
0
gdzie:
A - pole powierzchni przekroju poprzecznego przewodu.
W wyniku otrzymujemy wzór:
pr
gI
4
q V
=
R
6
8
m
Wynika stąd Ŝe strumień objętości jest proporcjonalny do spadku hydraulicznego i
promienia przewodu w czwartej potędze ( prawo Hagena-Poiseuille’a ). Dla poziomego
przewodu (jak na stanowisku pomiarowym) spadek hydrauliczny określamy wzorem:
1
p
-
p
I
=
1
2
7
r
g
l
(
)
spowodowany jest tylko stratami liniowymi to
moŜemy go wyrazić za pomocą wzoru Darcy’go-Weisbacha:
JeŜeli spadek ciśnienia
p
-
p
1
2
2
2
p
-
p
l
u
8
l
q
1
2
=
l
=
l
V
8
2
5
r
g
d
2
g
p
D
g
Podstawiając wzór (7) do wzoru (6) oraz porównując wynik ze wzorem Darcy’go-
Weisbacha otrzymujemy formułę na współczynnik oporu liniowego
l
w przepływie
laminarnym:
64
l
=
9
Re
811747940.008.png 811747940.009.png 811747940.010.png 811747940.001.png 811747940.002.png 811747940.003.png
3. Stanowisko pomiarowe
Wywiercenie w kapilarach otworów impulsowych (do pomiaru ciśnienia) nie jest
technicznie moŜliwe, natomiast mierząc spadek ciśnienia na wlocie i wylocie kapilary trudno
jest oszacować wpływ strat miejscowych, gdyŜ w miejscu pomiaru ciśnienia profil prędkości
nie jest uformowany (bryła prędkości nie jest paraboloidą obrotową). Z tych powodów
zastosowano do pomiarów strat liniowych metodę kompensacyjną. UŜyto dwóch kapilar o
jednakowej średnicy ale róŜnych długościach, które połączono w układ przedstawiony na rys.
2.
Rys. 2.
Uogólnione równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-4 i 3-4:
p
p
sl
sm
1
=
4
+
D
h
+
D
h
10
14
14
r
g
r
g
p
p
3
=
4
+
D
h
sl
+
D
h
sm
11
34
34
r
g
r
g
Do strat miejscowych zaliczamy straty na wlocie do kapilar i straty wysokości
prędkości wody wypływającej do kolektorów. Między wartościami strat miejscowych
zachodzi zaleŜność:
D
h
sm
=
2D
h
sm
12
14
34
gdyŜ na odcinku 3-4 występuje strata miejscowa na wlocie i wylocie z kapilary, a na odcinku
1-4 występują dwie takie straty. Po rozwiązaniu powyŜszego układu równań otrzymujemy
formułę na wysokość straty liniowej na odcinku 1-4.
811747940.004.png 811747940.005.png
Rys.3. Schemat stanowiska pomiarowego
Stanowisko składa się ze zbiornika zasilającego, układu przewodów zasilających,
zaworu do nastawiania strumienia objętości oraz odcinka pomiarowego złoŜonego z układu
dwóch kapilar połączonych szeregowo. Ponadto do wyposaŜenia naleŜą: manometry
hydrostatyczne, zbiornik mierniczy, sekundomierz, termometr.
Średnice kapilar zostały dokładnie wyznaczone przez zwaŜenie (na wadze
laboratoryjnej) najpierw pustych kapilar, a następnie kapilar wypełnionych wodą
destylowaną. Znając długość kapilar, temperaturę oraz masę wody wypełniającej kapilary
obliczono średnią średnicę kapilar.
Stałą wartość strumienia objętości w układzie pomiarowym zapewniono przez
zastosowanie naczynia Mariotta. Stałą wartość objętości q V jest zapewniana dzięki
utrzymywaniu się ciśnienia barometrycznego na poziomie wylotu rurki napowietrzającej.
Strumień objętości nie zaleŜy zatem od poziomu cieczy w naczyniu. Prędkość wypływu ze
zbiornika moŜna obliczyć stosując uogólnione równanie Bernoulliego.
811747940.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin