Metody numeryczne w6.pdf

(125 KB) Pobierz
Microsoft Word - Metody numeryczne w6.doc
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 6
Właściwości metod iteracyjnych
iteratio=powtarzanie (procesu numerycznego w celu ulepszenia
wcześniejszych wyników)=kolejne przybliżanie
metoda iteracji prostej:
x=F(x)
równanie iteracji
x
i
=
F
(
x
i
)
F
szybkość zbieżności tym większa im mniejszy
'
(
x
)
<
1
F
'
(
x
)
Def.:
Niech x i będzie ciągiem kolejnych przybliżeń zbieżnej metody iteracyjnej:
a
x
i
=
. Jeżeli istnieje liczba
≥ p taka, że
1
i
→
∞
x
−
a
lim
i
+
1
=
C
≠
0
,
C
<
1
gdy
p
=
1
x
−
a
p
i
→
∞
i
to mówimy, że metoda jest rzędu p w punkcie a . Liczba C jest nazywana
stałą asymptotyczną błędu.
W6 - 1
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 6
Jeżeli z jedną iteracją związany jest koszt K to
E
1
= nazywamy
p
K
wskaźnikiem efektywności metody.
Tw.
Jeżeli równaniem iteracji jest
x
=
Φ
(
x
)
i dla k=1,..,p-1
Φ )
(
k
)
(
a
=
0
,
i
+ 1
i
to metoda jest rzędu p.
dow.
(
x
−
a
)
2
Φ
'
'
(
a
)
x
=
Φ
(
x
)
=
Φ
(
a
)
+
(
x
−
a
)
Φ
'
(
a
)
+
i
+
L
+
i
+
1
i
i
2
!
(
x
−
a
)
p
Φ
(
p
)
(
a
)
p
+
1
+
i
+
O
(
(
x
−
a
)
p
i
x
−
a
Φ
(
p
)
(
a
)
lim
i
+
1
=
i
→
∞
(
x
−
a
)
p
p
i
W6 - 2
+ 1
dostateczny warunek zbieżności:
lim
115603064.003.png
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 6
Metody iteracyjne rozwiązywania równań nieliniowych
Szukamy rzeczywistego pierwiastka równania
f
(
x
)
=
0
. Jeżeli jest nim ξ
, a
x jest przybliżeniem ξ (
i
x leży w otoczeniu ξ ), to
i
f
(
ξ
)
=
0
=
(
ξ
−
x
)
2
(
ξ
−
x
)
3
=
f
(
x
)
+
(
ξ
−
x
)
f
'
(
x
)
+
i
f
'
'
(
x
)
+
i
f
(
3
)
(
x
)
+
L
i
i
i
i
i
2
!
3
!
zaniedbując wyrazy rzędy większego niż ν otrzymujemy równanie do
wyznaczenia kolejnego przybliżenia
x
i
+
1
Dla
ν (metoda Newtona-Raphsona stopnia I ):
)
1
0
=
f
(
x
)
+
(
x
−
x
)
f
'
(
x
i
i
+ 1
i
i
f
(
x
)
x
=
x
−
i
i
+ 1
i
f
'
(
x
)
i
W6 - 3
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 6
Dla
ν (metoda Newtona-Raphsona stopnia II):
2
(
x
−
x
)
2
0
=
f
(
x
)
+
(
x
−
x
)
f
'
(
x
)
+
i
+
1
i
f
'
'
(
x
)
i
i
+
1
i
i
2
!
i
f
'
(
x
)
±
f
'
(
x
)
2
−
2
f
'
(
x
)
f
'
'
(
x
)
x
=
x
−
i
i
i
i
i
+
1
i
f
'
'
(
x
)
i
Zbieżność lokalna!
Rząd zbieżności metody N-R I dla jednokrotnego zera (
f ξ ):
'
(
)
≠
0
x
=
Φ
(
x
),
Φ
(
x
)
=
x
−
f
(
x
)
i
+ 1
i
f
'
(
x
)
Φ
'
(
ξ
)
=
1
−
f
'
(
x
)
+
f
(
x
)
f
'
'
(
x
)
=
0
, czyli p=2
f
'
(
x
)
f
'
(
x
)
2
x
=ξ
W6 - 4
115603064.004.png
 
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 6
Rząd zbieżności metody N-R I dla m -krotnego zera
(
f
(
x
)
=
(
x
−
ξ
)
m
g
(
x
),
g
(
ξ
)
≠
0
):
f
'
(
x
)
=
m
(
x
−
ξ
)
m
−
1
g
(
x
)
+
(
x
−
ξ
)
m
−
1
g
(
x
),
(
x
−
ξ
)
m
g
(
x
)
Φ
(
x
)
=
x
−
,
m
(
x
−
ξ
)
m
−
1
g
(
x
)
+
(
x
−
ξ
)
m
−
1
g
(
x
)
Φ ξ
'
(
)
=
1 −
1
, czyli p=1
C
=
1 −
1
m
m
W6 - 5
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 6
Metoda siecznych
x
=
x
−
f
(
x
i
)
≈
x
−
f
(
x
i
)(
x
i
−
x
i
−
1
)
=
f
(
x
i
)
x
i
−
1
−
f
(
x
i
−
1
)
x
i
i
+
1
i
i
f
'
(
x
)
f
(
x
)
−
f
(
x
)
f
(
x
)
−
f
(
x
)
i
i
i
−
1
i
i
−
1
p=1.618..
Regula falsi
dane
x
i
,
a
i
,
f
(
x
i
)
f
(
a
i
)
<
0
obliczamy
µ
=
a
i
f
(
x
i
)
−
x
i
f
(
a
i
)
,
i
f
(
x
)
−
f
(
a
)
i
i
wybieramy
x
i
+
1
=
µ
i
⇐
f
(
x
)
f
(
µ
)
>
0
a
=
a
i
i
i
+
1
i
x
i
+
1
=
µ
i
⇐
f
(
x
)
f
(
µ
)
<
0
a
=
x
i
i
i
+
1
i
p=1
W6 - 6
115603064.005.png 115603064.001.png
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 6
Układy równań nieliniowych
f
(
x
,
x
,
L
,
x
)
=
0
,
i
=
1
,...,
n
i
1
2
n
f
1
(
⋅
)
[
]
f
(
⋅
)
F
(
X
)
=
0
,
X
=
x
,
x
,
L
,
x
T
,
F
(
⋅
)
=
2
1
2
n
M
f
n
(
⋅
)
Dla
ν (metoda Newtona-Raphsona stopnia I ):
1
0
=
F
(
X
i
)
+
F
'
(
X
i
)(
X
i
+ 1
−
X
i
)
∂
f
1
(
x
1
,
L
x
n
)
∂
f
1
(
x
1
,
L
x
n
)
L
∂
f
1
(
x
1
,
L
x
n
)
∂
x
∂
x
∂
x
1
2
n
∂
f
(
x
,
L
x
)
∂
f
(
x
,
L
x
)
∂
f
(
x
,
L
x
)
2
1
n
2
1
n
L
2
1
n
F
'
(
X
)
=
∂
x
∂
x
∂
x
1
2
n
M
M
M
M
∂
f
(
x
,
L
x
)
∂
f
(
x
,
L
x
)
∂
f
(
x
,
L
x
)
n
1
n
n
1
n
L
n
1
n
∂
x
∂
x
∂
x
1
2
n
W6 - 7
115603064.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin