calka.doc

Całka Riemanna

Domyślnie funkcja jest ograniczona i .

Definicja. Podziałem przedziału nazywamy ciąg punktów , i-tym przedziałem podziału nazywamy przedział . Długość przedziału oznaczamy , a średnicą podziału . jest rodziną wszystkich podziałów przedziału .

Definicja. Dla funkcji i dla podziału definiujemy i . Górną sumą Riemanna dla funkcji wzg. podziału nazywamy liczbę , a dolną sumą Riemanna liczbę .

Uwaga. Dla dowolnej funkcji oraz dowolnego podziału , .

Definicja. Podział nazywamy zagęszczeniem podziału , gdy , czyli jeżeli i to . Podział nazywamy wspólnym zagęszczeniem podziałów , gdy .

Uwaga. Jeżeli jest zagęszczeniem podziału , i , to .

Twierdzenie. Jeżeli jest zagęszczeniem przedziału , to .

Wniosek. .

Definicja. Dolną całką Riemanna z funkcji na przedziale nazywamy liczbę , a górną całką Riemanna liczbę .

Uwaga. i są określone dla dowolnej funkcji ograniczonej , oraz .

Definicja. Mówimy, że jest całkowalna w sensie Riemanna (R – całkowalna), gdy . Wtedy liczbę nazywamy całką (Riemanna) funkcji na przedziale i oznaczamy .

Twierdzenie. Funkcja jest R – całkowalna .

Twierdzenie Riemanna. Zał, że jest ciągła. Wtedy jest R-całkowalna.

Twierdzenie. Zał, że jest monotoniczna. Wtedy jest R-całkowalna.

Uwaga. Istnieją funkcje monotoniczne, które nie są ciągłe.

Definicja. Zał, że ograniczona, , . Funkcję nazywamy funkcją wyboru dla przedziału , gdy .

Definicja. Sumą Riemanna dla funkcji względem podziału i funkcji nazywamy liczbę .

Uwaga. Dla dowolnej funkcji wyboru zachodzą nierówności .

Definicja. Ciąg podziałów przedziału nazywamy normalnym, gdy .

Twierdzenie. Zał, że jest ciągła. Wtedy dla dowolnego normalnego ciągu przedziałów przedziału oraz dla dowolnego ciągu , gdzie jest funkcją wyboru podziału , .

Twierdzenie. Zał, że jest ograniczona. Jeżeli jest zbiorem punktów nieciągłości, oraz istnieje skończony ciąg przedziałów otwartych i rozłącznych takich, że (1) i (2) . Wtedy jest R-całkowalna.

Wniosek. Jeżeli zbiór punktów nieciągłości jest skończony, to jest R-całkowalna.

Twierdzenie. Zał, że jest R-całkowalna, , jest ciągła. Wtedy jest R-całkowalna.

Wniosek. Jeżeli jest R-całkowalna, , to funkcje , , są R-całkowalne.

Twierdzenie. Jeżeli jest R-całkowalna, , to .

Twierdzenie. Jeżeli są R-całkowalne, to jest R-całkowalna, i .

Wniosek. Jeżeli są R-całkowalne, to jest R-całkowalna, i .

Twierdzenie. Jeżeli jest R-całkowalna, oraz to .

Wniosek. Jeżeli są R-całkowalne oraz , to .

Twierdzenie. Jeżeli są R-całkowalne, to jest R-całkowalna.

Twierdzenie. Jeżeli jest R-całkowalna, to .

Wniosek. Jeżeli i jest R-całkowalna, to .

Twierdzenie całkowe o wartości średniej. Zał, że jest ciągła. Wtedy .

Twierdzenie o podziale przedziału całkowania. Zał, że jest R-całkowalna, . Wtedy jest R-całkowalna na przedziałach i , oraz .

Uwaga. Z faktu, że i są R-całkowalne wynika, że jest R-całkowalna.

Wniosek. Jeżeli jest R-całkowalna, , to jest R-całkowalna na .

Definicja. Zał, że jest R-całkowalna. Wtedy , .

Twierdzenie. Zał, że jest R-całkowalna. Wtedy dla dowolnych liczb zachodzi .

Twierdzenie. Zał, że jest R-całkowalna, jest określona wzorem . Wtedy jest ciągła.

Twierdzenie. Zał, że jest ciągła. Wtedy jest różniczkowalna na oraz .

Definicja. Zał, że . Mówimy, że jest funkcją pierwotną dla funkcji, gdy .

Wniosek. Jeżeli jest funkcją ciągłą, to posiada funkcję pierwotną. Funkcja pierwotna dla funkcji jest określona wzorem .

Uwaga. (1) Jeżeli jest funkcją pierwotną dla funkcji , to też jest funkcją pierwotną dla .

(2) Jeżeli są funkcjami pierwotnymi dla , to .

(3) Jeżeli jest ciągła, jest funkcją pierwotną dla , to .

Twierdzenie. Zał, że jest R-całkowalna, jest funkcją pierwotną dla . Wtedy .

Definicja. Zał, że jest ciągła. Całką nieoznaczoną z funkcji nazywamy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych dla , .

Twierdzenie o całkowaniu przez części. Zał, że są klasy . Wtedy .

Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Zał, że taka, że oraz , , . Wtedy dla dowolnej funkcji ciągłej zachodzi .

Twierdzenie. Zał, że ; , jest R-całkowalna oraz . Wtedy też jest R-całkowalna oraz .

Wniosek. Jeżeli jest jednostajnie zbieżny na oraz jest R-całkowalna na , to jest funkcją R-całkowalną, oraz .

Uwaga. Zał, że jest istotne.

Całki niewłaściwe.

Definicja. Zał, że . Jeżeli jest R-całkowalna oraz istnieje , to mówimy, że dla istnieje całka niewłaściwa na półprostej i oznaczamy ją . Dodatkowo, jeżeli jest skończona, to mówimy że jest R-całkowalna na . Analogicznie, jeśli .

Jeżeli oraz jest R-całkowalna oraz istnieje , to tę granicę nazywamy całką niewłaściwą z na prostej i oznaczamy .

Twierdzenie. ...