www.studentagh.z.pl

Cel ćwiczenia

              Wyznaczanie siły kierującej sprężyn i modułu sztywności drutu, z którego są zrobione.

Wprowadzenie

              Ruch harmoniczny zachodzi pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia układu od stanu równowagi x, lecz przeciwnie do niego skierowanej (1):

F = -kx

k nazywamy współczynnikiem sprężystości. Dla ruchu harmonicznego zależność wychylenia układu od czasu jest przedstawiona zależnością (2):

Wielkość A (równa maksymalnej wartości wychylenia x) nazywamy amplitudą drgań, zaś wyrażenie w nawiasie, mające wymiar kąta, fazą. T jest okresem drgań, który wynosi (3):

              Stała k zależna od charakteru sił, pod wpływem których porusza się drgająca masa. Np. dla wahadła matematycznego o długości l siła powodująca powrót układu do położenia równowagi jest siłą ciężkości i wtedy k=mg/l. Gdy o ruchu decyduje sprężystość ciała (np. drgania sprężyny, drgania pręta), stała k związana jest właśnie z własnościami sprężystymi materiału, tj. modułem Younga E lub z modułem sztywności G, oraz zależy od wymiarów geometrycznych układu. W przypadku sprężyny (rys.1) teoria sprężystości pozwala obliczyć stałą k na podstawie modułu sztywności G materiału oraz wymiarów geometrycznych: promienia zwoju sprężyny R, promienia r drutu, z którego wykonano sprężynę i liczby zwojów sprężyny n (4):

              Przy wyprowadzaniu wzoru (3) przyjęliśmy dwa założenia upraszczające. Po pierwsze, nie uwzględniliśmy sił grawitacji. Po drugie nie uwzględniliśmy masy sprężyny, która, obok masy ciężarka, też uczestniczy w drganiach. Obecnie rozpatrzymy kolejno wpływ obydwu czynników.

W przypadku nieważkiej sprężyny przedstawionej na rysunku 1, na której zawieszono masę M oprócz siły sprężystości działa jeszcze stała ciężkości, tak że całkowita siła wynosi (5):

F = -kx + Mg

W powiązaniu z II zasadą dynamiki daje to równanie ruch w postaci (6):

Ma = -kx + Mg

Ponieważ  a= d2x/dt2, otrzymujemy równanie różniczkowe (7):

Rozwiązanie tego równania różniczkowego na nieznaną funkcję x(t) ma postać (8):

gdzie (9)

oraz (10)

Z porównania z równaniem (2) widać, że jest to ruch harmoniczny, lecz zachodzący względem położenia xo = Mg/k, jakie przybierze masa M statycznie zawieszona na sprężynie.

              W przypadku realnej sprężyny, której masy m nie można zaniedbać wobec masy obciążnika M odpowiednie wyrażenie na T ma postać (11):

Tę zależność można otrzymać porównując energię kinetyczną ciężarka M (12):

i energię kinetyczną sprężyny m, której koniec ruchomy porusza się z tą samą prędkością v, natomiast punkt zaczepienia spoczywa. Rozpatrzmy element sprężyny o długości dx o masie równej dm=m(dx/lo) (rys.1). Jego prędkość wynosi v(x)=v(x/lo). Zatem energia kinetyczna elementu sprężyny dm wynosi (13):

Całkowita energia kinetyczna sprężyny wynosi (14):

Całkowita energia kinetyczna układu ciężarka i sprężyny wynosi (15):

i wskazuje, że w celu uwzględnienia wpływu masy sprężyny na okres drgań do masy ciężarka M należy dodać jedną trzecią masy sprężyny (wzór 11).

                                                         x

                                           dx                                                 a(x)                 lo

Rys.1. Drgania sprężyny

                                                              A                 M

1

nowa pizzeria stworzona specjalnie dla studentów – zobacz - www.indeks.w.pl