proj100.pdf

(644 KB) Pobierz
msi-bel-tymper.sxw
êìë
Dla układu o schemacie jak poniŜej (Rys. 4.1) wyznaczyć linie wpływu reakcji podporowych oraz
momentów zginających i sił poprzecznych w zaznaczonym przekroju. Rzędne tych linii wyznaczyć w
punktachorozstawiejednegometra.
x
5
3
5
5
3
2
23[m]
Rozpatrywana przez nas belka ciągła jest układem jednokrotnie statycznie niewyznaczalnym, dlatego
w celu znalezienia poszukiwanych przez nas wielkości, skorzystamy z metody sił. Zgodnie z procedurą
stosowania tej metody, rozpatrywany przez nas układ hiperstatyczny (Rys. 4.2), zamieniamy na tzw. układ
podstawowy (układ zastępczy), tak samo obciąŜony i geometrycznie identyczny z rozpatrywanym ale
statycznie wyznaczalny (Rys. 4.3). Warto przy tym dodać, Ŝe wybieramy taki układ podstawowy, który da
namnajprostszeobliczeniaamówiąckonkretniejnajłatwiejszedoprzecałkowaniawykresy„jedynkowe”.
x
8
5
5
3
2
23 [m]
x
8
5
5
3
2
23 [m]
KrzysztofTymper
AlmaMater
33235009.051.png 33235009.062.png 33235009.073.png 33235009.082.png 33235009.001.png 33235009.002.png 33235009.003.png 33235009.004.png 33235009.005.png 33235009.006.png 33235009.007.png 33235009.008.png 33235009.009.png 33235009.010.png 33235009.011.png 33235009.012.png 33235009.013.png 33235009.014.png 33235009.015.png 33235009.016.png 33235009.017.png 33235009.018.png 33235009.019.png 33235009.020.png
PowyŜszy układ podstawowy (Rys. 4.2 b)) dla dowolnych X 1 nie spełnia warunku identyczności
kinematycznej z rzeczywistym układem, poniewaŜ dozna on przemieszczenia w miejscu odrzuconej
podpory. Aby spełnić ten warunek, do układu podstawowego wprowadzamy dodatkowy warunek na X 1 , w
postaci równania liniowego (tzw. równanie kanoniczne), wyraŜającego zgodność przemieszczeń układu
rzeczywistego i podstawowego a konkretniej rzecz ujmując przez liczenie przemieszczeń w układzie
statycznie wyznaczalnym, takich punktów, których w układzie statycznie niewyznaczalnym znamy
konkretnewartości.Dlanaszegoprzypadkurównaniekanoniczneprzyjmiepostać(4.1):
11 X 1
1 p x 0
(4.1)
gdzieδ 11 i 1p (x)toodpowiednieprzemieszczeniawyraŜonenastępującymiwzorami:
11
M 1 M 1
EJ
ds
R 1 R 1
1
k
s
(4.2)
m m
kN m 2
m
kN
1
kN m 2
m
kN
m 4 m
,
m 4 m
3
1 p x
M 1 M o p x
EJ
ds
R 1 R p
1
k
s
(4.3)
m kN m
kN m 2
kN
kN m 2
m 4 m m ,
m 4 m
3
m
Analogicznie jak przy obliczaniu przemieszczeń z równania pracy wirtualnej, w celu znalezienia
współczynnika δ 11 (4.2), potrzebujemy odpowiedni wykres momentów zginających (Rys. 4.3), który
następnie po scałkowaniu (wykorzystując twierdzenie MohraWiereszczagina) da nam poszukiwaną
wielkość(4.4).
x
8
5
5
3
2
23 [m]
1
8
3
8
1
4
lw
1
8
x 1
8
1 − x 2
1
4
5
Rys.4.3WykresmomentówzginającychwukładziepodstawowympochodzącyodmomentujedynkowejprzyłoŜonegow
miejsceniewiadomejX 1 ;
11
1
1,2 J 0 E
1 8
2
2
3
1
1
J 0 E
5 1
2
2
3
1
1
0,7 J 0 E
1
4
1
4
3,9782
EJ 0
m 3
(4.4)
KrzysztofTymperMechanikaBudowliProjekty
AlmaMater
33235009.021.png 33235009.022.png 33235009.023.png 33235009.024.png 33235009.025.png 33235009.026.png 33235009.027.png 33235009.028.png 33235009.029.png 33235009.030.png 33235009.031.png 33235009.032.png 33235009.033.png 33235009.034.png 33235009.035.png 33235009.036.png 33235009.037.png 33235009.038.png 33235009.039.png 33235009.040.png 33235009.041.png 33235009.042.png 33235009.043.png 33235009.044.png 33235009.045.png 33235009.046.png 33235009.047.png 33235009.048.png 33235009.049.png 33235009.050.png 33235009.052.png 33235009.053.png 33235009.054.png 33235009.055.png 33235009.056.png 33235009.057.png 33235009.058.png 33235009.059.png
Współczynnik 1p (x) (4.3) moŜemy wyliczyć analogicznie jak współczynnik δ 11 . MoŜe to
jednak sprawić pewne trudności, szczególnie jeŜeli mamy do czynienia z bardziej skomplikowanym
układem, gdyŜ jest on funkcją zaleŜną od „x” a mówiąc konkretniej jest to przemieszczenie punktu
przyłoŜenia nadliczbowej niewiadomej po kierunku jej działania (wzajemny kąt obrotu dwóch przekrojów w
tym punkcie), wywołane zmieniającym swe połoŜenie obciąŜeniem zewnętrznym w postaci siły jedynkowej.
Reasumując w obliczeniach naleŜy uwzględniać zmianę połoŜenia tego obciąŜenia co jest dość
pracochłonne.
Wprojekciezastosowanojednakinnąmetodę,wykorzystującątwierdzenieMaxwella(4.5).
1 p x
p 1 x
(4.5)
gdzie:
p1 (x) – przemieszczenie punktu przyłoŜenia obciąŜenia zewnętrznego (w postaci siły jedynkowej),
poruszającego się wzdłuŜ belki, po kierunku pionowym (tzn. po kierunku jego działania) wywołane
przyłoŜeniem nadliczbowej niewiadomej. Jest to więc zbiór przemieszczeń pionowych czyli po prostu linia
ugięciatejbelki.
Dzięki powyŜszej zaleŜności (4.5) aby znaleźć wartość współczynnika p1 (x), wystarczy obliczyć linię
ugięcia rozpatrywanej belki, metodą jedną z pięciu poznanych: bezpośrednio z równań róŜniczkowych,
metodą róŜnic skończonych, metodą momentów wtórnych, z równania pracy wirtualnej lub przy
wykorzystaniucięŜarkówspręŜystych.
W projekcie z powodu jego małej złoŜoności, poszukiwaną linię ugięcia otrzymano bezpośrednio z równań
róŜniczkowych(4.6).
d 2 y
d x 2
M x
EJ 0
(4.6)
gdzie:
y p1 x
Liniaugięciadlaprzedziału(A,B)(Rys.4.3)
1,2 EJ 0
d 2 y 1
d x 1 2
x 1
8
1,2 EJ 0
d y 1
d x 1
x 1 2
16
C 1
1,2 EJ 0 y 1
x 1 3
48
C 1 x 1 D 1
(4.7)
Aby znaleźć stałe całkowania w powyŜszym równaniu (4.7), skorzystamy z następujących warunków
brzegowych(4.8):
dla y 1 x 1 0 0
1,2 EJ 0 0
0 3
48
0 C 1 D 1 stąd D 1 0
(4.8)
8 3
48
512
48
4
3
dla y 1 x 1 8 0
1,2 EJ 0 0
8 C 1 0 stąd C 1
KrzysztofTymperMechanikaBudowliProjekty
AlmaMater
33235009.060.png 33235009.061.png 33235009.063.png 33235009.064.png 33235009.065.png 33235009.066.png 33235009.067.png 33235009.068.png 33235009.069.png 33235009.070.png 33235009.071.png 33235009.072.png 33235009.074.png
 
Po podstawieniu otrzymanych w ten sposób wartości (4.8) do równania (4.7) otrzymamy poszukiwaną linię
ugięcia(4.9).
1,2 EJ 0 ⋅y 1 =− x 1 3
48 4
3 ⋅x 1 0= 1
3 − x 1 3
16 4⋅x 1
(4.9)
Liniaugięciadlaprzedziału(B,C)(Rys.4.3)
EJ 0 ⋅ d 2 y 2
d x 2 2 =− 1− x 5
EJ 0 ⋅ d y 2
= x 2 2
10 −x 2 C 2
EJ 0 ⋅y 2 = x 2 3
30 − x 2 2
2 C 2 ⋅x 2 D 2
(4.10)
Aby znaleźć stałe całkowania w powyŜszym równaniu (4.10), skorzystamy z następujących warunków
brzegowych(4.11):
42 ∣ (4.11)
Po podstawieniu otrzymanych w ten sposób wartości (4.11) do równania (4.10) otrzymamy poszukiwaną
linięugięcia(4.12).
 EJ 0 ⋅0= 0 3
30 − 0 2
2 0⋅C 2 D 2
stąd D 2 =0
dla y 2 x 2 =5 =
1
0,7 EJ 0
⋅ 1
4
 EJ 0 ⋅ 5
14 EJ 0
= 5 3
30 − 5
2 5⋅C 2 0 stąd C 2 = 73
EJ 0 ⋅y 2 = x 2 3
30 − x 2 2
2 73
42 ⋅x 2
(4.12)
Liniaugięciadlaprzedziału(C,D)(Rys.4.3)
d x 3 2 =0
EJ 0 ⋅ d y 3
EJ 0 ⋅ d 2 y 3
d x 3
=C 3
EJ 0 ⋅y 3 =C 3 ⋅x 3 D 3 (4.13)
Aby znaleźć stałe całkowania w powyŜszym równaniu (4.13), skorzystamy z następujących warunków
brzegowych(4.14):
KrzysztofTymperMechanikaBudowliProjekty
AlmaMater
d x 2
∣ dla y 2 x 2 =0 =0
33235009.075.png 33235009.076.png 33235009.077.png 33235009.078.png 33235009.079.png
EJ 0 =C 3 stąd C 3 =− 1 21 ∣ (4.14)
Po podstawieniu otrzymanych w ten sposób wartości (4.14) do równania (4.13) otrzymamy poszukiwaną
linięugięcia(4.15).
1
0,7 EJ 0
⋅ 1
4
 EJ 0 ⋅ 5
14 EJ 0
=0⋅C 3 D 3 stąd D 3 = 5
14
EJ 0  EJ 0 ⋅ −16
dla
d x 3 x 3 =0 = d y 2
d x 2 x 2 =5 =− 16
21 ⋅ 1
21 ⋅ 1
EJ 0 ⋅y 3 =− 16
21 ⋅x 3 5
14
(4.15)
Liniaugięciadlaprzedziału(D,E)(Rys.4.3)
d x 4 2 =0
EJ 0 ⋅ d y 4
d x 4
=C 4
EJ 0 ⋅y 4 =C 4 ⋅x 4 D 4 (4.16)
Aby znaleźć stałe całkowania w powyŜszym równaniu (4.16), skorzystamy z następujących warunków
brzegowych(4.17):
126 ∣ (4.17)
Po podstawieniu otrzymanych w ten sposób wartości (4.17) do równania (4.16) otrzymamy poszukiwaną
linięugięcia(4.18).
42 ⋅ 1
EJ 0
 EJ 0 ⋅ 145
42 EJ 0
=0⋅C 4 D 4 stąd D 4 =− 145
42
dla y 4 x 4 =3 =0
 EJ 0 ⋅0=3⋅C 4 − 145
42
stąd C 4 = 145
EJ 0 ⋅y 4 = 145
126 ⋅x 4 − 145
42
(4.18)
Liniaugięciadlaprzedziału(E,F)(Rys.4.3)
d x 5 2 =0
EJ 0 ⋅ d y 5
d x 5
=C 5
EJ 0 ⋅y 5 =C 5 ⋅x 5 D 5 (4.19)
Aby znaleźć stałe całkowania w powyŜszym równaniu (4.19), skorzystamy z następujących warunków
brzegowych(4.20):
KrzysztofTymperMechanikaBudowliProjekty
AlmaMater
∣ dla y 3 x 3 =0 =
d y 3
EJ 0 ⋅ d 2 y 4
∣ dla y 4 x 4 =0 = y 3 x 3 =5 =− 145
EJ 0 ⋅ d 2 y 5
33235009.080.png 33235009.081.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin