Górska J - Wykłady z analizy matematycznej I.pdf

(2405 KB) Pobierz
Wykady z analizy matematycznej dla I roku Elektroniki i
Telekomunikacji
Wiadomoci wstpne
Literatura
1) W. akowski, G. Decewicz Matematyka cz. I Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1991
2) W. akowski, W. Koodziej Matematyka cz. II Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995
3) L. Drukowski Analiza matematyczna. Podstawy , Wydawnictwo Uniwersytetu Jegieloskiego, Kraków 1998
4) G. M. Fichtenholz Rachunek róniczkowy i cakowy, PWN, Warszawa 1978
5) M. Malec Elementarny wstp do wspóczsnej analizy matematycznej, Wydawnictwa AGH, Kraków 1996
6) M. Malec Przestrzenie metryczne , Wydawnictwa AGH, Kraków 2000
7) J. Bana, S. Wdrychowicz Zbiór zada z analizy matematycznej, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1993, 1997
8) W. Stankiewicz Zadania z matematyki dla wyszych uczelni technicznych cz.I, PWN, Warszawa 1997
9) W. Stankiewicz, J. Wojtowicz Zadania z matematyki dla wyszych uczelni technicznych cz. II, PWN Warszawa
1976
Oznaczenia:
" dla kadego ( uogólnienie pojcia koniunkcji na dowoln liczb zda logicznych )
$ istnieje ( uogólnienie pojcia alternatywy )
:= równe z definicji
:
równowane z definicji
1,2,3,...
-zbiór liczb naturalnych ,
0
0,1,2,...
0
- zbiór liczb cakowitych
- zbiór liczb wymiernych
- zbiór liczb rzeczywistych
- zbiór liczb zespolonych
Charakterystyczn cech zbioru
jest zasada indukcji matematycznej :
Jeli jakie twierdzenie
T
n
ma zachodzi
n
n 0
,
n , n o
, to dowód indukcyjny
przeprowadzamy w II etapach:
I. Sprawdzamy, czy twierdzenie zachodzi dla n 0 :
T
n 0
II. Dowodzimy nastpnie lemat indukcyjny:
Lemat
Za. T(n 0 ), T(n 0 +1), ... , T(k) dla k n 0 ,
k
Teza T (k+1)
- 1 -
998747997.030.png 998747997.031.png 998747997.032.png 998747997.033.png
Czsto wystarczy udowodni
Lemat
Za.
T
k
, k
n 0
Teza
T
k
1
Przykad.
Udowodni nierówno Bernoulliego
n
(1+p ) n 1 + np, gdzie p > -1
Dowód indukcyjny.
I. Nierówno jest prawdziwa dla n=1 bo
1 + p 1+p
II. Za. Zakadamy, e nierówno zachodzi dla n=k
(1+p ) k 1 + kp
Teza Wykaemy prawdziwo nierównoci dla n=k+1
(1+p ) k+1 1 + (k+1)p
Dowód
Przeksztacamy nierówno z tezy lematu indukcyjnego
(1+p ) k+1 1 + (k+1)p
(1+p ) k (1+p) 1 + kp + p
(1+p ) k (1+p) (1+p) + kp
(1+p)[ (1+p ) k - 1] kp
Ostatnia nierówno jest prawdziwa, poniewa (1+p ) k - 1 kp na podstawie zaoenia
indukcyjnego, std
(1+p)[ (1+p ) k - 1] (1+p)kp = kp+kp 2 kp.
Definicje rekurencyjne
Np.
- definicja rekurencyjna silni:
{ 0 !
1
=>
n !
n
n
1
... 2 1,
n ! "
n
1 !
n
1 n ! ,
n
0
definicja symbolu :
1
n+1
n
a j := a 1
a j =
a j &
a n+1
dla n ’ (
$
j = 1
$
j = 1
$
j = 1
- 2 -
998747997.001.png 998747997.002.png 998747997.003.png 998747997.004.png 998747997.005.png
Std
n+1
a j = a 1 *
a 2 +
... ,
a n
.
)
j = 1
Niech
.
Def. Kresem górnym (supremum) zbioru
A -/.
i A 021
A 354
nazywamy liczb oznaczon supA
speniajc warunki:
{ 9
a ;
supA
supA
a :
A
- kres górny zbioru A : 8
r =
supA
a ?
A
:
a @
r
Def. Kresem dolnym (infinium) zbioru
A A5B
nazywamy liczb oznaczon infA
speniajc warunki:
{ F
a H
infA
infA
- kres dolny zbioru A : E
a G
A
r J
infA
a L
A
:
a M
r
Zasada osigania kresów w
(zasada zupenoci zbioru
):
I. Kady zbiór ograniczony z góry posiada kres górny, tzn.
A -
zbiór ograniczony z góry
supA U V
II.Kady zbiór ograniczony z dou posiada kres dolny, tzn.
zbiór ograniczony z dou
infA []\
A -
Rozszerzenie zbioru
:
Definiujemy
:=
Wtedy
a ikj
a pcq
b s
b ycz
- 3 -
998747997.006.png
Suma i iloczyn dowolnej rodziny zbiorów
Niech I dowolny zbiór,
I {}|
.
A i
Niech
bdzie rodzin zbiorów indeksowan wskanikami ze zbioru wskaników I.
i ~
I
Definiujemy
A i := x :
A i
x ƒ
A i
- suma (unia) zbiorów
i ‚
I
i €
I
A i :=
x : †
x ˆ
A i
A i
- iloczyn (przecicie) zbiorów
i ‡
I
i …
I
Para uporzdkowana
(a,b) := {{a},{a,b}}
(a,b) = (c,d)
a = c
b = d
Uporzdkowany ukad n elementów
(a 1 , a 2 , ..., a n ) := ((a 1 , ..., a n-1 ), a n ) dla n 3,
n ‹Œ
Iloczyn kartezjaski zbiorów A i B:
A
B :=
x , y :
x Ž
A
y
B
n
X
i ‘
A i ’
A 1 “
A 2 ”
... •
A n –
a 1 ,a 2 ,... ,a n : a 1 —
A 1 , a 2 ˜
A 2 , ... , a n ™
A n
1
Cigi liczbowe
Def.
Cig (a n ) nazywamy ograniczonym z góry : š
M œ
R :
a n ¡
M
n ž Ÿ
Def.
Cig (a n ) nazywamy ograniczonym z dou : ¢
m ⁄
R : ¥
a n ¤
m
n ƒ   §
Def.
Cig (a n ) nazywamy ograniczonym
: '
K «
0 : ‹
a n
K
n ›  ®
Tw.
a n
b n
Niech
,
- cigi.
n ° †–
n ‡†·
- 4 -
998747997.007.png 998747997.008.png 998747997.009.png 998747997.010.png 998747997.011.png 998747997.012.png 998747997.013.png
lim
n µ •¶
a n ‚
0
b n
Jeli
i
- ograniczony , to
n „»”
lim
n …f‰
a n
b n
0
.
Przykad
1
n ¨
1
n ˆ
, poniewa
lim
n ¯˙˘
0
, a cig
b n É
sin n
jest ograniczony.
lim
n ÀÂ `
sin n
0
Tw. (o trzech cigach)
a n
b n
c n
Niech
,
,
- cigi
n ˚†¸
n Ì †˝
n ˛   ˇ
Jeeli
n Ñ
n 0
a n Ò
b n Ó
c n
oraz
lim
n ÔÖÕ
a n
lim
n ØÚÙ
c n
g
,
to
lim
n Ü f Ý
b n Þ
g
.
Kryterium zbienoci d'Alemberta
a n Æ
1
lim
n ß / à
1 ª
lim
n Ł/Ø
a n Œ
0
ci g
a n
jest zbie ny
n äæå
a n
Przykad
2 n
2 n
n !
n n
n !
n n
a n
lim
n íïî
Niech
. Obliczy
Stosujemy kryterium zbienoci d'Alemberta
2 n ó
1 ô
n ı
1 !
n ÷
1
n ö
1
2 ü
n ý
1
2
2
e
lim
n æ Âò
lim
n œ   ß
lim
n
1
n
n
2 n
n !
n n
n þ
1
n
1
n
1
n
n
std
2 n
n !
n n
lim
n
0
.
- 5 -
998747997.014.png 998747997.015.png 998747997.016.png 998747997.017.png 998747997.018.png 998747997.019.png 998747997.020.png 998747997.021.png 998747997.022.png 998747997.023.png 998747997.024.png 998747997.025.png 998747997.026.png 998747997.027.png 998747997.028.png 998747997.029.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin