BADANIA OPERACYJNE

„ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI”

W naszej pracy chcielibyśmy przedstawić jedną z analitycznych metod stosowanych do rozwiązywania problemów gospodarczych i omawianych na zajęciach z badań operacyjnych-METODĘ SIECIOWĄ na którą składają się:

q       Metoda ścieżki krytycznej- CPM

q       Metoda PERT

METODY SIECIOWE- służą do obliczania przedsięwzięć złożonych ze skończonej ilości powiązanych ze sobą zadań cząstkowych , które nazywamy czynnościami. Powiązania te bardzo często polegają na określonej kolejności wykonywania poszczególnych czynności. Ponadto , każdej czynności przyporządkowany jest pewien parametr( czas trwania czynności, koszt wykonania czynności, odległość). Punkty w czasie odpowiadające momentom zakańczania pewnych czynności i rozpoczęcia wykonania innych, bezpośrednio po nich następujących , nazywane są zdarzeniami.

Każda czynność przedsięwzięcia łączy ze sobą dwa zdarzenia:

v     Jedno umożliwiające jej rozpoczęcie

v     Drugie pozwala rozpocząć czynności bezpośrednio po niej następujące

Pomiędzy tymi zdarzeniami nie powinna występować więcej niż jedna czynność. Jeżeli w rzeczywistości tych czynności jest więcej, wówczas można wprowadzić czynności pozorne z zerowymi czasami ich trwania bądź zerowym kosztem ich wykonania.

    Dowolny zbiór czynności przedsięwzięcia z zadanymi obciążeniami oraz wzajemną kolejnością można przedstawić graficznie. Najbardziej znanymi prezentacjami są wykresy Gantta oaz grafy przedsięwzięć .

Wykresy Gantta przedstawione są w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie jednostką osi  OX jest odpowiednia jednostka obciążenia, natomiast na osi OY w kolejności zaznaczane są  numery(symbole, nazwy) czynności. Jeśli przedsięwzięcie przedstawione jest za pomocą grafu, to czynnościom odpowiadają łuki grafu, z zdarzeniom wierzchołki.

    Graf przedsięwzięcia jest tak konstruowany , aby był siecią. Początkiem sieci jest zdarzenie polegające na możliwości  rozpoczęcia pierwszych czynności, natomiast końcem sieci moment zakańczania wykonywania czynności składających się na całe przedsięwzięcie. Jeśli czynnościom przyporządkowane są  czasy potrzebne do ich wykonania , to mamy do czynienia z siecią obciążoną ilustrującą całe przedsięwzięcie w czasie. Aby analiza sieci przedsięwzięcia oraz stosowane odpowiednie metody sieciowe były prawidłowe, należy przestrzegać podstawowe zasady konstrukcji sieci.

ZASADY PRAWIDŁOWEJ SIECI PRZEDSIĘWZIECIA:

§         Dowolna czynność może rozpocząć się wówczas, kiedy wszystkie czynności poprzedzające ją zostaną ukończone.

§         Łuki sieci mają tylko znaczenie logicznych powiązań gdzie ich długość oraz kształt nie mają żadnego znaczenia.

§         Żadne dwa wierzchołki sieci nie mogą być połączone więcej niż jednym łukiem.

§         Wskazane jest, aby numeracja wierzchołków sieci ( zdarzeń) zachowywał, a kolejność zdarzeń, tzn. początek sieci miał numer 1, koniec sieci numer najwyższy oraz każdy wierzchołek, do którego wchodzi łuk miał numer wyższy od wierzchołka, z którego łuk ten wychodzi.

Pierwszym krokiem w zarządzaniu złożonymi przedsięwzięciami jest zbudowanie takiej sieci czynności dla danego przedsięwzięcia.  Jeżeli rozpatrujemy przedsięwzięcie  jedynie w aspekcie czasowym, dysponując czasami realizacji poszczególnych czynności, wykorzystujemy w tym celu metodę ścieżki krytycznej ( CPM).

:

METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ-CPM:

Pozwala wyznaczyć najwcześniejszy termin zakańczania całego przedsięwzięcia , najwcześniejsze i najpóźniejsze czasy rozpoczęcia i zakańczania poszczególnych czynności, rezerwy czasowe oraz ścieżkę  krytyczną przedsięwzięcia.

Ścieżka krytyczna- łączy początek sieci z jej wierzchołkiem końcowym.

Suma czasów wykonania  wszystkich czynności tworzących ścieżkę nazywana jest czasem przejścia ścieżki .Przedsięwzięcie jest wykonane , jeśli zostaną zakończone wszystkie czynności , w szczególności wtedy, kiedy zostaną ukończone czynności wszystkich ścieżek łączących początek i koniec sieci. Najdłuższy czas przejścia ścieżki sieci łączącej początek i koniec sieci nazywany jest czasem krytycznym. Ścieżki sieci, którym odpowiada czas krytyczny nazywane są ścieżkami krytycznymi, czynności składowe takich ścieżek nazywane są czynnościami krytycznymi. Najkrótszy czas zakończenia przedsięwzięcia jest równy czasowi krytycznemu.

    W celu wyznaczania czasu krytycznego przedsięwzięcia zadanego siecią obciążoną wystarczy wyznaczyć wszystkie ścieżki łączące początek i koniec sieci, obliczyć czas przejścia dla tych ścieżek, a następnie wybrać czas najdłuższy. Metoda ta, chociaż całkowicie poprawna, w praktyce jest mało efektywna i dla większych sieci zupełnie niepraktyczna.

    Numerycznie efektywną procedurą wyznaczania czasu krytycznego jest metoda polegająca na wyznaczaniu pewnych granic czasowych dla każdej czynności:

Najwcześniejszego i najpóźniejszego momentu zajścia zdarzenia, z którego czynność wychodzi oraz zdarzenia, w którym się kończy. Najwcześniejsze momenty zaistnienia zdarzeń obliczane są kolejno od zdarzenia pierwszego do ostatniego, natomiast najpóźniejsze momenty oblicza się w kolejności odwrotnej czyli od ostatniego zdarzenia do pierwszego.

PROCEDURA WYZNACZANIA CZASU KRYTYCZNEGO ORAZ ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ.

PROCEDURA CPM.

Krok 1.- wyznaczać najwcześniejsze momenty zaistnienia wszystkich zdarzeń począwszy do początku sieci w następujący sposób:

t(1)=0

t(i)=max ít(k)+t k i , k< iý i=2,3,...,n

Krok 2.- wyznaczyć  najpóźniejsze momenty zaistnienia wszystkich zdarzeń począwszy od końca sieci następująco:

T(n)=t(n) i jest to czas krytyczny,

T(i)=miníT(k)- t i k, k> i ý oraz i=n-1, n-2,...,1

Krok 3.- wyznaczyć zapasy czasu dla każdej czynności w następujący sposób:

Z i k =T(k)-t(i)-  t i k

Krok 4.- wyznaczyć ścieżkę krytyczną, czyli ciąg następujących kolejno po sobie czynności, dla których zapas całkowity czasu Z i k = 0

t i k- czas trwania czynności( i, k)

t(i)- najwcześniejszy moment zaistnienia i-tego zdarzenia

T(k)- najpóźniejszy moment zaistnienia k- tego zdarzenia

Z i k- zapas czasu ( luz czasowy) czynności (i, k)

W praktyce ważną rolę odgrywają czynności krytyczne. Rozpoczęcie  czynności krytycznej ( i, k)później, niż w najwcześniejszym momencie zaistnienia zdarzenia i- tego powoduje opóźnienia terminu zakańczania przedsięwzięcia. Czynności nie należące do ścieżki krytycznej mają dodatnie luzy czasowe Z i k, co znaczy , że opóźnienie momentów ich rozpoczęcia w granicach tych luzów czasowych nie powoduje zmiany czasu trwania przedsięwzięcia . Zapasy czasu czynności mówią nam o tym , o ile można opóźnić rozpoczęcie danej czynności nie zmieniając czasu realizacji całego przedsięwzięcia.

     Analiz sieci przedsięwzięcia służy również do wyznaczania harmonogramu czynności.

HARMONOGRAM – są to decyzje odnoszące się do czasu rozpoczęcia i zakończenia każdej  czynności przedsięwzięcia. Czasy trwania poszczególnych czynności są zdeterminowane, więc zmiennymi decyzyjnymi będą momenty rozpoczęcia poszczególnych czynności.

     Optymalny harmonogram to taki, który pozwala zakończyć przedsięwzięcie w możliwie najkrótszym czasie.

W tej metodzie gdy dopuszczalne jest również możliwość przyspieszania realizacji czynności , związana z  poniesieniem dodatkowego kosztu , przeprowadzamy analizę czasowo – kosztową . Możemy tu sformalizować dwa modele optymalizacyjne:

q       Zadanie najszybszego czasu realizacji przedsięwzięcia przy nieprzekraczalnym koszcie dodatkowym , związanym z przyspieszeniem realizacji.

q       Zadanie minimalizacji kosztu przy nieprzekraczalnym czasie trwania przedsięwzięcia.

PROCEDURA CZASOWO-KOSZTOWA:

Krok 1.- dla każdej czynności wyznaczyć   współczynnik redukcji czasu

Krok 2.- wyznaczyć ścieżki krytyczne

Krok 3.- wybrać te czynności krytyczne , dla których t n – t g ¹0 oraz współczynnik redukcji jest najmniejszy. Jeśli nie istnieją takie czynności procedura jest zakończona; w przeciwnym razie przechodzi się do kroku 4.

Krok 4.- skrócić czas trwania wskazanych czynności  krytycznych o możliwie największą wielkość y, gdzie y £ t n – t g . Przy doborze y należy uważać  , aby jego wielkość nie przekraczała najmniejszych wielkości zapasów czasu powiększonych o dopuszczalna redukcję dla czynności ścieżek krytycznych kończących się tym samym zdarzeniem co skracana czynność krytyczna. Takiej samej redukcji czasu należy dokonać w każdej innej ścieżce krytycznej równoległej do rozpatrywanej , jeśli taka istnieje.

Krok.5- sprawdzić , czy w wyniku redukcji czasu pojawiły się czynności niekrytyczne z zerowymi zapasami czasu. Jeśli tak, to przejść do kroku 2 ; w przeciwnym razie przejść do kroku 3.

Natomiast, gdy nie dysponujemy czasami trwania poszczególnych czynności , a jedynie ich oszacowaniami : pesymistycznym, najbardziej prawdopodobnym i optymistycznym, wykorzystujemy metodę PERT.

W metodzie tej wymagane jest określenie trzech lub dwóch szacunkowych czasów dla każdej czynności:

- t m – czas najbardziej prawdopodobny czyli czas wykonywania czynności w normalnych warunkach.

-t p - czas pesymistyczny , najdłuższy czas potrzebny do wykonania czynności w warunkach najmniej korzystnych

-t o - czas optymistyczny, najkrótszy możliwy czas wykonania czynności w najbardziej sprzyjających  okolicznościach.

Wielkości wyżej wymienione służą  do wyznaczania czasu trwania, korzystając ze wzorów:

                                    e =

Wzór  ten oparty jest na estymacji rozkładu beta. Rozkład w tym wzorze jest jednomodalny , ma skończoną  i nieujemną granicę przedziału zmienności i niedokończenie jest rozkładem symetrycznym. W praktyce takie charakterystyki są najczęściej własnościami rozkładu prawdopodobieństwa losowego czasu trwania czynności.

      Po wyznaczeniu czasu oczekiwanego każdej czynności należy określić również spodziewaną wielkość odchylenia od tego czasu. W tym celu , dla każdej czynności obliczana jest wariancja czasu trwania czynności. Korzystamy wówczas  z następującego wzoru:

                                            σ 2 =

w celu określenia ścieżki krytycznej oraz oczekiwanego czasu zakończenia przedsięwzięcia postępuje się zgodnie z procedurą CPM , przy czym obciążeniami sieci będą czasy oczekiwane t e . Oczekiwany czas zakończenia przedsięwzięcia jest czasem przejścia oczekiwanej ścieżki krytycznej. Wariancja przedsięwzięcia ( najkrótszego czasu zakańczania wszystkich czynności) jest równa sumie wariancji wszystkich czynności ścieżki krytycznej. Spodziewany błąd przy określaniu oczekiwanego czasu zakańczania jest pierwiastkiem kwadratowym tej wariancji.

  W analizie PERT rozpatruje się również prawdopodobieństwa zakańczania przedsięwzięcia w dowolnie innym czasie niż w czasie oczekiwanym. W tym celu korzysta się z tezy centralnego twierdzenia granicznego i przyjmuje, że rozkład prawdopodobieństwa czasu trwania przedsięwzięcia jest rozkładem normalnym. Jeśli oznaczymy rzeczywisty czas trwania przedsięwzięcia przez T , czas oczekiwany przez T e oraz wariancję przedsięwzięcia przez  s 2  , to prawdopodobieństwo tego , że czas trwania przedsięwzięcia nie przekroczy z góry ustalonego terminu T o wynosi:

Z-     jest to zmienna losowa o rozkładzie normalnym standaryzowanym. Prawdopodobieństwa odczytuje się z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego.

Analiza sieciowa wykorzystywana jest nie tylko w planowaniu wykonania  przedsięwzięcia , ale także w kontroli przebiegu jego realizacji. Oczywiste jest , że czynności znajdujące się  na ścieżce krytycznej podlegają ścisłej kontroli. Jednak powstawanie opóźnień w realizacji czynności niekrytycznych, które przekraczają dopuszczalne luzy czasowe wydaje się nieuniknione. Zdarza się , że w trakcie realizacji przedsięwzięcia wyznaczona wcześniej ścieżka krytyczna przestaje być aktualna. Wobec tego należy powtórnie obliczać najwcześniejsze i najpóźniejsze momenty zaistnienia kolejnych zdarzeń , a tym samym wyznaczyć nowa ścieżkę krytyczną oraz dokonać korekty wcześniej ustalonego harmonogramu.

Zarządzanie projektami – część praktyczna.

Treść zadania:

Grupa studentów ma napisać pracę zaliczeniową z międzynarodowych badań porównawczych. W ramach przygotowań do napisania pracy trzeba było zebrać dane statystyczne i teoretyczne związane z tematem.

Sporządzili więc listę czynności koniecznych przy napisaniu pracy oraz oszacowali czas ich trwania (w dniach).

Listę czynności, czas ich trwania oraz opis zależności czasowych między czynnościami zawiera tabela.