Algebra.odt

Raport

Zadanie 8. (Macierz Hilberta)

1 Sformułowanie problemu

Macierz Hilberta stopnia n ma nastepujace elementy: .

Wiadomo, ze macierz Hilberta jest symetryczna dodatnio okreslona. Wobec tego wszystkie

jej wartosci własne sa dodatnie. Oblicz za pomoca eig wartosci własne macierzy

Hilberta dla n = 2, 3, . . .. Czy obliczone wartosci własne sa faktycznie dodatnie? Obliczenia

powtórz dla macierzy Narysuj wykresy najmniejszej i najwiekszej wartosci własnej macierzy traktowane jako funkcje n. To samo zrób dla macierzy B. Oblicz macierzodwrotna do macierzy Hilberta i wykonaj takie same eksperymenty

jak dla . Czy obliczone wartosci własne macierzy sa faktycznie odwrotnosciami

wartosci własnych macierzy ? Oblicz normy Frobeniusa ||||F . Powtórz te

ekspertymenty dla macierzy Pei, wybierajac parametr d tak, by miała wszystkie wartosci

własne dodatnie.

2 Realizacja

Macierz Hilberta n-stopnia (Octave)

f=zeros(n);

for i=1:n

for j=1:n

f(i,j)=;                                                        f=

endfor

endfor

lub krócej f=hilb(n)

Za pomocą funkcji:

eig- obliczyłem wartości własne macierzy.

Inv- obliczyłem macierz odwrotną.

f'- obliczyłem macierz transponowaną

3 Eksperymenty

Macierz Hilberta jest podręcznikowym przykładem macierzy źle uwarunkowanej. Wskaźnik uwarunkowania macierzy Hilberta stopnia N wynosi:

Numerycznie rozwiązywanie nawet niewielkich układów równań z tą macierzą jest zatem praktycznie niemożliwe.

Macierz transponowana jest taka sama jak macierz pierwotna.

Wartości własne macierzy Hilberta dla n=2, 3 …

n=2

Obliczone wartości własne dla n=2 są dodatnie.

n=3

Obliczone wartości własne dla n=3 są dodatnie.

Wartości własne macierzy odwrotnej Hilberta dla n=2, 3.

n=2

Obliczone wartości własne dla n=2 są dodatnie.

n=3

Obliczone wartości własne dla n=3 są dodatnie.

Pytanie:

Czy obliczone wartosci własne macierzy sa faktycznie odwrotnosciami

wartosci własnych macierzy ?

Nie bo:

Macierz odwrotna Hilbertadla n=2, obliczona za pomocą funkcji inv w octave,

przyjmuje wartość .

Zaś obliczona za pomocą wzoru ,

Normy Frobeniusa

czyli pierwiastek kwadratów wszystkich składników macierzy

na przykład:                                                       

do obliczenia norm Frobeniusa użyłem następujących komend w Octave:

dla n=2;

>>>                                          >>>for i=1:2                                          >>>endfor             

>>> f=hilb(2);                                          >>>for j=1:2                                          sqrt(c)= 4.9371e-16

>>> g=inv(f);                                                        >>>x=z(i,j)*z(i,j);

>>> z=f*g-I;                                                        >>>c=c+x;

>>> c=0;                                                        >>>endfor

dla n=3;

analogicznie jak wyżej:

sqrt(c)= 1.1571e-14

Macierz Pei wygląda następująco:

Wykonałem obliczenia dla macierzy 4-stopnia.

Dla d=2

Macierz odwrotna Pei

Pytanie:

Czy obliczone wartosci własne macierzy Pei sa faktycznie odwrotnosciami

wartosci własnych macierzy ?

Tak, bo:

Macierz odwrotna Peidla n=4 i d=2, obliczona za pomocą funkcji inv w octave,

przyjmuje wartość dla , dla .

a także obliczona za pomocą wzorów:

Norma Frobeniusa Macierzy Pei

>>>                            >>>x=z(i,j)*z(i,j);

>>> z=f*g-I;                                                        >>>c=c+x;

>>> c=0;                                                        >>>endfor

>>>for i=1:4                                                        >>>endfor

>>>for j=1:4                                                        sqrt(c)= 6.6613e-16