Weber - Zadania z GAL-u 2004-2005.pdf

(256 KB) Pobierz
642775797 UNPDF
ZADANIA Z GAL-U 2004/2005
LISTOPAD 2004
1 ROZWIA , ZAC UKLADY ROWNAN:
½
2X + 3Y = 1
3X + Y = 0
1.1
¡1=7; 3=7
: X + Y = 1
1.2
X + 2Y ¡ 3Z = ¡3
2X + 4Y + Z = 1
2;¡1; 1
: 3X + Y + Z =
¡1
1.3
X +
2Z = ¡6
3Y + 2Z = 0
0; 2;¡3
: 2X + 3Y + 2Z = 1
1.4
3X + 4Y + 2Z = 2
4X + 2Y + 3Z = 3
8=7;¡1=7;¡3=7
: X + Y + Z + T = 1
2X + 2Y + Z + T = 0
3X + 2Y + 3Z + 2T = 3
6X + 4Y + 3Z + 2T = 2
1.5
1;¡2; 0; 2
8
<
X
¡
2Y
+ 3S + T = 1
2X
¡
3Y + Z + 8S + 2T = 3
1.6
:
X
¡
2Y + Z + 3S
¡
T = 1
10; 3; 0;¡1; 0
Y
+ 3S + 5T = 0
X
¡
2Y
+ 5S + 8T =
¡1
: X + 2Y + Z + T = 7
1.7
2X ¡ Y ¡ Z + 4T = 2
5X + 5Y + 2Z + 7T = 1
SPRZECZNY
: X + 2Y + 3Z + T = 1
2X + 4Y ¡ Z + 2T = 2
3X + 6Y + 10Z + 3T = 3
X + Y + Z + T = 0
X = ¡1 ¡T
Y = 1
Z = 0
1.8
: X
¡
Y + Z
¡
2S + T = 0
X =
1
7
¡ 7 Z + S¡T
1.9
3X + 4Y
¡
Z + S + 3T = 1
Y =
1
7
+
7 Z ¡S
X
¡
8Y + 5Z
¡
9S + T =
¡1
2
4 3 2 1 ¡1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¡4
6
4
3
1.10
5 ¡1 1 2
7 8 1
¡7
5
SPRZECZNY
1
¡1 1 2
HTTP://WWW.MIMUW.EDU.PL/»AWEBER/ZADANIA/GAL
8
<
8
<
8
<
8
<
8
<
8
<
8
<
4
2
4 2 3 1
¡2
¡1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
6
17
1
12
3
5
1.11
4 7 2
¡5 1
Y = 7=2 + S;Z = ¡4 ¡ 2X¡S;T = 1=2
6 5 3
¡2
¡9
2 6 1
¡5
¡10
2
3
1
0
¡2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1
¡5
¡ ¡2
3
4
5
2
2
¡1
5
1.12
1
¡1 0
¡2
X = ¡1 + T;Y = 4 ¡T;Z = 1 ¡T
5
1
1
¡3
¡7
¡3 1
5
4
1
¡2
¡5
2
1 ¡3 1 ¡2 1
2 ¡6 0 ¡4 1
0 0 2 0 1
¡2 6 2 4 0
¡2 6 4 4 1
¡1 3 1 2 0
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¡5
¡10
0
10
10
5
3
1.13
4
5
X = ¡5 + 3Y + Z + 2S;T = ¡2Z
2
1 A A 2
1 B B 2
1 C C 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1
3
1.14
4
0
0
5
DLA A, B C 2 R.
1.15 NIECH A, B, C BE , DA , TRZEMA ROZNYMI LICZBAMI RZECZYWISTYMI. ZNALEZC WIELOMIAN KWADRATOWY W(X) =
¸X 2 + ¹X + º, TAKI, ZE W(A) = 7, W(B) = 4 I W(C) = 9.
2
A 1 1
1 B 1
1 1 C
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A
3
1.16
4
B
C
5
DLA A, B C 2 R.
1.17 W ZALEZNOSCI OD PARAMETRU A 2 R POWIEDZIEC CZY UKLAD ROWNAN MA DOKLADNIE JEDNO ROZWIA , ZANIE /
MA WIELE ROZWIA , ZAN / JEST SPRZECZNY: 8
<
: AX + Y + Z = A¡ 1
X + Y + AZ =
X + AY + Z = 1 ¡A
HTTP://WWW.MIMUW.EDU.PL/»AWEBER/ZADANIA/GAL
2 CIALA
2.1 UDOWODNIC, ZE W DOWOLNYM CIELE SA , PRAWDZIWE NASTE , PUJA , CE TOZSAMOSCI
(I) ¡(¡X) = X,
(II) ¡(X + Y) = (¡X) + (¡Y),
(III) (¡X)Y = ¡XY,
(IV) (X¡Y)Z = XZ ¡YZ, GDZIE X¡Y := X + (¡Y).
2.2 NIECH P > 1 BE , DZIE LICZBA , NATURALNA , . W ZBIORZE F P = F0; 1; 2;:::;P ¡ 1G DE¯NIUJEMY DZIALANIA
A©B = (A + B) MOD P ORAZ A¯B = (A¢B) MOD; P. ZNALEZC P DLA KTORYCH (F P ; 0; 1;©;¯) JEST CIALEM.
2.3 NIECH F = F|;};~;ÄG. ZDE¯NIOWAC W F DZIALANIA, TAK BY OTRZYMAC CIALO.
2.4 SPRAWDZIC LA , CZNOSC MNOZENIA NA LICZBACH ZESPOLONYCH.
2.5 ZNALEZC ELEMENT ODWROTNY DO A + BI 2 C.
2.6 SKONSTRUOWAC GEOMETRYCZNIE ELEMENT ODWROTNY W C.
HTTP://WWW.MIMUW.EDU.PL/»AWEBER/ZADANIA/GAL
3 LICZBY ZESPOLONE
3.1 W ZBIORZE LICZB ZESPOLONYCH ROZWIA , ZAC ROWNANIA
A)
Z¡1+4I =
2+I
1¡I
Z =
1¡Z
1
,
D) Z 8 = 1,
E) Z 12 = 1,
F) Z 7 = Z,
G) Z 4 = (1 ¡I) 4 ,
H) (Z ¡ 1) 6 = (I¡Z) 6 ,
I) ¤ Z 5 = 1.
3.2 NA PLASZCZYZNIE ZESPOLONEJ NARYSOWAC ZBIOR LICZB SPELNIAJA , CYCH WARUNEK:
A) RE(IZ + 2) > 0,
B) (Z ¡I) 2 = (Z ¡I) 2 ,
C) IM 1+IZ
¯ ¯ ¯
1¡IZ = 1,
¯ ¯ ¯
= 1,
E) ARG( Z 6 ) = ¼,
F) ARG(Z ¡ 1 ¡ 2I) =
Z ¡ 2I
Z+1
3¼
2
,
G) JZJ 3 = IZ 3 ,
H) IM(IZ 4 + 2) ¸ 0.
3.3 ZAPISAC W POSTACI TRYGONOMETRYCZNEJ LICZBY
A) ¡ 2 + 2I,
B)
P
3 ¡I,
C) ¡5 + 5
P
3I.
3.4 OBILICZYC WYRAZENIA (WYNIK W POSTACI A + BI)
A) (1 ¡I) 12 ,
B) (1 +
P
3I) 8 ,
C)
(1+I ) 22
(1¡ P
3I) 6 .
3.5 KORZYSTAJA , C ZE WZORU MOIVRE'A WYRAZIC COS(7X) PRZEZ FUNKCJE COS(X).
3.6 OBICZYC
A) SIN X + SIN 2X + ::: + SIN NX
(WSK. ZE WZORU NA SUME , CIA , GU GEOMETRYCZNEGO),
B)
Μ
2N
0
Μ
2N
2
Μ
2N
4
Μ
2N
2N
¡
+
¡::: + (¡1) N
.
HTTP://WWW.MIMUW.EDU.PL/»AWEBER/ZADANIA/GAL
2Z+I ,
B) Z 2 ¡ 4Z + 13 = 0,
C)
1
D)
642775797.001.png 642775797.002.png
4 PRZESTRZENIE LINIOWE I PODPRZESTRZENIE
4.1 NIECH C(R) BE , DZIE ZBIOREM FUNCKCJI CIA , GLYCH
R ! R
Z DZIALANIEM DODAWANIA I MNOZENIEM PRZEZ
STALA , . SPRAWDZIC, ZE C(R) JEST PRZESTRZENIA , LINIOWA , .
4.2 KTORE PODZBIORY C(R) SA , PODPRZESTRZENIAMI LINIOWYMI?
A) WIELOMIANY?
B) FUNKCJE SPELNIAJA , CE F(0) = 1?
C) FUNKCJE SPELNIAJA , CE F(1) = 0?
D) FUNKCJE SPELNIAJA , CE F(X) = F(¡X), DLA KAZDEGO X 2 R?
E) FUNKCJE SPELNIAJA , CE F(X) > 0 DLA X > 0?
F) FUNKCJE SPELNIAJA , CE: F JEST DWUKROTNIE ROZNICZKOWALNA I F = ¡F
00
?
G) FUNKCJE OKRESOWE?
H) FUNKCJE OKRESOWE O OKRESIE T?
4.3 ILE JEST PODPRZESTRZENI LINIOWYCH W (F 2 ) 3 ? OPISAC JE ROWNANIAMI.
4.4 ILE JEST PODPRZESTRZENI LINIOWYCH W (F P ) N ?
4.5 CZY WEKTOR (1; 1; 1) NALEZY DO PODPRZESTRZENI LINIOWEJ
R 3
ROZPIE , TEJ PRZEZ (1; 3; 2), (1; 2; 1), (2; 5; 3)?
A WEKTOR (1; 4; 3)?
4.6 UDOWODNIC, ZE KAZDY WEKTOR PRZESTRZENI C 4
ROZPIE , TEJ NA WEKTORACH
(I; 1;¡I;¡1); (I;¡I; 1;¡1); (1; 0; 0;¡1)
SPELNIA WARUNEK: X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 0. NATOMIAST NIE KAZDY SPELNIA X 4 = ¡1.
4.7 OPISAC ROWNANIAMI NAJMNIEJSZA , PODPRZESTRZEN LINIOWA , ZAWIERAJA , CA , WEKTORY:
A) (1;¡1; 1; 0); (1; 1; 0; 1); (2; 0; 1; 1) W R 4 ,
B) (1;¡1; 1;¡1; 1); (1; 1; 0; 0; 3); (3; 1; 1;¡1; 7); (0; 2;¡1; 1; 2) W R 5 .
4.8 WYKAZAC, ZE PRZECIE , CIE V 1
\V 2 DWU PODPRZESTRZENI LINIOWYCH JEST PODPRZESTRZENIA , LINIOWA , .
4.9 NIECH V 1 I V 2 BE , DA , PODPRZESTRZENIAMI LINIOWYMI V . WYKAZAC, ZE NAJMNIEJSZA , PODPRZESTRZENIA ,
LINIOWA , ZAWIERAJA , CA , V 1
[V 2 JEST SUMA ALGEBRAICZNA V 1 + V 2 = FV 1 + V 2
2 V : V 1
2 V 1 ; V 2
2 V 2
G.
4.10 NIECH A, B 1 , B 2 BE , DA , PODPRZESTRZENIAMI LINIOWYMI V .
A) CZY PRAWDZIWA JEST FORMULA A\ (B 1 + B 2 ) = (A\B 1 ) + (A\B 2 )?
B) ZALOZMY DODATKOWO, ZE B 1 ½ A. CZY JUZ BE , DZIE DOBRZE?
C) A MOZE WYSTARCZY A ½ B 1 ?
4.11 ZNALEZC TAKIE WARTOSCI A 2 F, BY WEKTORY (A; 1; 0), (1;A; 3), (A; 1; 1) 2 F 3
BYLY LINIOWO ZALEZNE.
4.12 UDOWODNIC, ZE ISTNIEJE NIEPRZELICZALNY LINIOWO NIEZALEZNY PODZBIOR W PRZESTRZENI FUNKCJI (F 2 ) N
=
FF : N ! F 2 G.
HTTP://WWW.MIMUW.EDU.PL/»AWEBER/ZADANIA/GAL

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin